Asimptotă

Curba asimptotică în raport cu axa ordonată și linia y = x

O linie dreaptă se numește asimptotă a graficului unei funcții atunci când distanța oricărui punct al funcției până la această linie tinde la 0 să tindă la ' $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ dell ' abscisa sau dell' ordonată a punctului. ^[1]

Termenul de asimptotă este folosit în matematică pentru a desemna o dreaptă, sau mai general o curbă, care abordează o funcție dată la nesfârșit. Termenul de asimptotă, fără alte specificații, înseamnă, în general, o linie dreaptă, cu excepția cazului în care contextul apare nu un alt sens, atunci când vrei să fii mai specific, se ajunge la curba asimptotică dreaptă sau, mai general, a curbei asimptotice.

Definiție

În expresii matematice precum „abordare la nesfârșit” (sau echivalentul „tind spre”) nu sunt strict definite, dacă nu folosind în mod explicit limita conceptului. Dacă vrem să adoptăm un limbaj mai consistent cu cel utilizat în studiul limitelor, putem spune că „curba A este o asimptotă a curbei C” dacă, cu toate acestea, este fixată o distanță minimă, există o secțiune contiguă, nu limitată. curba C care este îndepărtată de asimptota A mai mică decât distanța minimă fixată.

În general, curba C își poate intersecta asimptota A. de mai multe ori. Cu toate acestea din punct de vedere istoric și intuitiv, asimptota a fost considerată o curbă A la care curba C se apropie fără a o atinge vreodată. Aceasta explică etimologia termenului, care derivă din limba greacă ἀσύμπτωτος a-Sym-ptōtos, în cazul în care are o valoare de a- privativ, în timp ce Sym-ptōtos este compus din syn-, „cu“, și ptōtós, un adjectiv care conotează ce „cade”. Deci, Sym-ptōtos descrie ceea ce „cade împreună” sau ce „încrucișează” și a-sym-ptōtos descrie etimologic ceea ce „nu se intersectează” în sensul pe care l-ați spus mai devreme. Dacă doriți, puteți folosi un limbaj figurativ și să spuneți că există o „intersecție la infinit” între A și C. Anume această „intersecție la infinit” face ca A „asimptotă” a lui C.

Liniile asimptotice

Asimptotă verticală

Linia de ecuație $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ Este asimptotă verticală a curbei reprezentativă a funcției $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ , Dacă este cel puțin unul dintre următoarele rapoarte ^[2] ^[1]

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {-}} f (x) = \ pm \ infty}$ $\ lim_ {x \ to a ^ {-}} f (x) = \ pm \ infty$
$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty .$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {+}} f (x) = \ pm \ infty.}$ $\ lim_ {x \ to a ^ {+}} f (x) = \ pm \ infty.$

Linia de ecuație $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ poate fi asimptotă verticală ascendentă sau descendentă în funcție de aceasta $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ tinde spre mai mult sau mai puțin infinit. În general, căutarea asimptotelor verticale pentru o funcție se efectuează prin calcularea limitelor dreapta și stânga (sau una dintre acestea) și, în acest caz, definiția dată este încă valabilă.

De exemplu, funcția tangentă are un număr infinit de asimptote verticale în corespondență cu valorile ${\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$ , adică liniile $x={\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle x = {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ sunt asimptote verticale.

Un alt exemplu este logaritmul natural care are ca asimptotă verticală linia dreaptă $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

Asimptotă orizontală

Linia de ecuație $y=c$ ${\ displaystyle y = c}$ $y = c$ este asimptotă orizontală la ecuația curbei $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ Dacă ^[3] :

\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=c

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ pm \ infty} f (x) = c}

\ lim_ {x \ to \ pm \ infty} f (x) = c

În general, o asimptotă orizontală apare atunci când funcția se poate scrie în forma: $y=c+h(x)$ ${\ displaystyle y = c + h (x)}$ $y = c + h (x)$ unde este $h(x)$ ${\ displaystyle h (x)}$ $h (x)$ este o funcție infinitesimală în vecinătatea infinitului (tinde la zero pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ tindând la infinit) e $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este o valoare finită.

Asimptotă oblică

Uneori poate exista o asimptotă oblică, adică funcția tinde asimptotic la o linie dreaptă de ecuație $y=mx+q$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ $y = m x + q$ ^[4] .

Acest lucru se întâmplă când ai

{\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+q)\right]=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) - (mx + q) \ right] = 0 \ end {align}}}

\ begin {align} \ lim_ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) - (mx + q) \ right] = 0 \ end {align}

și există o condiție analogă pentru limitele a $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ .

Există o teoremă care afirmă ^[5] că condiția necesară și suficientă în ordine $y=mx+q$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ $y = m x + q$ este o asimptotă oblică a graficului $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pentru $x_{0}\to +\infty$ ${\ displaystyle x_ {0} \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ to + \ infty}$ este că există terminat:

\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}\;

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {f (x)} {x}} \;}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {f (x)} {x}} \;}

si asta e

\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=m

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {f (x)} {x}} = m}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {f (x)} {x}} = m}

și că există, de asemenea, terminat:

{\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-mx\right]\end{aligned}}\;

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) -mx \ right] \ end {align}} \;}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) -mx \ right] \ end {align}} \;}

si asta e

{\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-mx\right]=q\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) -mx \ right] = q \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) -mx \ right] = q \ end {align}}}

Declarația pentru $x_{0}\to -\infty$ ${\ displaystyle x_ {0} \ to - \ infty}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ to - \ infty}$ este identic.

Ca exemplu notabil, luăm în considerare funcția

f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}

f (x) = \ sqrt {1 + x ^ 2}

al cărui grafic este conținut într-o hiperbolă . Puteți verifica cu ușurință dacă liniile $y=\pm x$ ${\ displaystyle y = \ pm x}$ $y = \ pm x$ sunt asimptote respectiv a $\pm \infty$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$ .

Punct de vedere proiectiv

Cele trei situații anterioare vor forma doar o geometrie proiectivă , cu o asimptotă văzută ca tangentă la infinit.

Alte asimptote

Punct asimptotic

Un exemplu este spirala .

Curba asimptotică

Tridentul lui Newton

O curbă de ecuație $y={\frac {(ax^{3}+bx^{2}+cx+d)}{x}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {(ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d)} {x}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {(ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d)} {x}}}$ admite o parabolă asimptotică a ecuației $y=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$ $y = ax ^ {2} + bx + c$ și o hiperbolă asimptotică a ecuației $y={\frac {d}{x}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {d} {x}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {d} {x}}}$ . Figura reprezintă un trident al lui Newton .

Notă

^ ^A ^b Massimo Bergamini, Anna Tryphon, Graziella Barozzi, Blue Course Basic Mathematics-Volumul 5, Freeman, 2009, p. U63, ISBN 978-88-08-03933-0 .
^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, 1993, p. 256 , ISBN 88-251-7090-4 .
^ Massimo Bergamini, Anna Tryphon, Graziella Barozzi, Blue Course Basic Mathematics-Volumul 5, Freeman, 2009, p. U65, ISBN 978-88-08-03933-0 .
^ Massimo Bergamini, Anna Tryphon, Graziella Barozzi, Blue Course Basic Mathematics-Volumul 5, Zanichelli, 2009, pp. U142-143, ISBN 978-88-08-03933-0 .
^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, 1993, p. 258 , ISBN 88-251-7090-4 .

Bibliografie

Massimo Bergamini, Anna Tryphon, Graziella Barozzi, Curs de bază de matematică Volumul-5 Albastru, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 .
C. Maderna și Soardi PM, lecții de matematică, Ediții CittàStudi - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține intrarea în dicționar „ asimptotă ”
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pentru asimptotă

linkuri externe

Asimptotă , în Treccani.it - enciclopedii online, Institutul italian de enciclopedie.

Controlul autorității	NDL (EN, JA) 00.574.602

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Bergamini63-1] A ^b Massimo Bergamini, Anna Tryphon, Graziella Barozzi, Blue Course Basic Mathematics-Volumul 5, Freeman, 2009, p. U63, ISBN 978-88-08-03933-0 .

[2] Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, 1993, p. 256 , ISBN 88-251-7090-4 .

[3] Massimo Bergamini, Anna Tryphon, Graziella Barozzi, Blue Course Basic Mathematics-Volumul 5, Freeman, 2009, p. U65, ISBN 978-88-08-03933-0 .

[4] Massimo Bergamini, Anna Tryphon, Graziella Barozzi, Blue Course Basic Mathematics-Volumul 5, Zanichelli, 2009, pp. U142-143, ISBN 978-88-08-03933-0 .

[5] Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, 1993, p. 258 , ISBN 88-251-7090-4 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Numărul real · infinitezimal · Big O · Succesiunea ( funcțiilor ) · Succesiunea Cauchy · Teorema Bolzano-Weierstrass · Estimarea asimptotică · Limita ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limita considerabilă · Punct de acumulare · Punct de izolat · Aproximativ · Series ( funcții ) · criterii de convergență · limita funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitatea triunghiular · Cauchy-Schwarz inegalitatea · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · locală Difeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuația diferențială · problema Cauchy