Asimptotă

Curba asimptotică în raport cu axa ordonată și linia y = x

O linie se numește asimptotă a graficului unei funcții atunci când distanța oricărui punct al funcției de la acea linie tinde la 0 pe măsură ce tinde spre $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ de abscisă sau ordonată a punctului. ^[1]

Termenul de asimptotă este folosit în matematică pentru a desemna o linie dreaptă, sau mai general o curbă, la care o funcție dată se apropie la nesfârșit. Cu termenul de asimptotă , fără alte specificații, ne referim, în general, la o linie dreaptă, cu excepția cazului în care din context apare o altă semnificație, atunci când vrem să fim mai specifici vorbim de o linie asimptotică sau, mai general, de o curbă asimptotică .

Definiție

În matematică, expresii precum „a aborda la nesfârșit” (sau echivalentul „a tinde spre”) nu sunt definite strict, decât prin utilizarea explicită a conceptului de limită . Dacă dorim să adoptăm un limbaj mai consistent cu cel utilizat în studiul limitelor, putem spune că „curba A este o asimptotă a curbei C” dacă, cu toate acestea, este fixată o distanță minimă, există o secțiune contiguă, nu limitată. curba C care este îndepărtată de asimptota A mai mică decât distanța minimă fixată.

În general, curba C își poate intersecta asimptota A. de câteva ori. Cu toate acestea din punct de vedere istoric și intuitiv, asimptota a fost considerată o curbă A la care curba noastră C se apropie fără a o atinge vreodată. Aceasta explică etimologia termenului, care derivă din limba greacă ἀσύμπτωτος a-Sym-ptōtos, în cazul în care are o valoare de a- privativ, în timp ce Sym-ptōtos este compus din syn-, „cu“, și ptōtós, un adjectiv care conotează ce „cade”. Astfel, sým-ptōtos descrie ceea ce „cade împreună”, adică ce „se intersectează”, iar a-sým-ptōtos descrie etimologic ceea ce „nu se intersectează”, în sensul pe care l-am spus cu puțin timp în urmă. Dacă doriți, puteți folosi un limbaj figurativ și să spuneți că există o „intersecție la infinit” între A și C. Anume această „intersecție la infinit” face ca A „asimptotă” a lui C.

Liniile asimptotice

Asimptotă verticală

Linia de ecuație $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ este o asimptotă verticală la curba reprezentativă a funcției $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ , dacă cel puțin una dintre următoarele relații are ^[2] ^[1]

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {-}} f (x) = \ pm \ infty}$ $\ lim_ {x \ to a ^ {-}} f (x) = \ pm \ infty$
$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty .$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {+}} f (x) = \ pm \ infty.}$ $\ lim_ {x \ to a ^ {+}} f (x) = \ pm \ infty.$

Linia de ecuație $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ poate fi asimptotă verticală ascendentă sau descendentă în funcție de aceasta $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ tinde spre mai mult sau mai puțin infinit. În general, căutarea asimptotelor verticale pentru o funcție se efectuează prin calcularea limitelor dreapta și stânga (sau una dintre acestea) și, în acest caz, definiția dată este încă valabilă.

De exemplu, funcția tangentă are un număr infinit de asimptote verticale la valori ${\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$ , adică liniile $x={\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle x = {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ sunt asimptote verticale.

Un alt exemplu este logaritmul natural care are drept asimptotă linia dreaptă $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

Asimptotă orizontală

Linia de ecuație $y=c$ ${\ displaystyle y = c}$ $y = c$ este o asimptotă orizontală la curba ecuației $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ , dacă ^[3] :

\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=c

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ pm \ infty} f (x) = c}

\ lim_ {x \ to \ pm \ infty} f (x) = c

În general, o asimptotă orizontală apare atunci când funcția se poate scrie în forma: $y=c+h(x)$ ${\ displaystyle y = c + h (x)}$ $y = c + h (x)$ unde este $h(x)$ ${\ displaystyle h (x)}$ $h (x)$ este o funcție infinitesimală în vecinătatea infinitului (tinde la zero pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ tindând la infinit) e $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este o valoare finită.

Asimptotă oblică

Uneori poate exista o asimptotă oblică, adică funcția tinde asimptotic la o linie dreaptă de ecuație $y=mx+q$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ $y = m x + q$ ^[4] .

Acest lucru se întâmplă când ai

{\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+q)\right]=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) - (mx + q) \ right] = 0 \ end {align}}}

\ begin {align} \ lim_ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) - (mx + q) \ right] = 0 \ end {align}

și există o condiție similară pentru limitele a $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ .

Există o teoremă care afirmă ^[5] că condiția necesară și suficientă pentru $y=mx+q$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ $y = m x + q$ este o asimptotă oblică a graficului $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pentru $x_{0}\to +\infty$ ${\ displaystyle x_ {0} \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ to + \ infty}$ este că există terminat:

\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}\;

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {f (x)} {x}} \;}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {f (x)} {x}} \;}

si asta e

\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=m

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {f (x)} {x}} = m}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {f (x)} {x}} = m}

și că există, de asemenea, terminat:

{\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-mx\right]\end{aligned}}\;

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) -mx \ right] \ end {align}} \;}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) -mx \ right] \ end {align}} \;}

si asta e

{\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-mx\right]=q\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) -mx \ right] = q \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to + \ infty} \ left [f (x) -mx \ right] = q \ end {align}}}

Declarația pentru $x_{0}\to -\infty$ ${\ displaystyle x_ {0} \ to - \ infty}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ to - \ infty}$ este identic.

Ca exemplu notabil, luăm în considerare funcția

f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}

f (x) = \ sqrt {1 + x ^ 2}

al cărui grafic este conținut într-o hiperbolă . Puteți verifica cu ușurință dacă liniile $y=\pm x$ ${\ displaystyle y = \ pm x}$ $y = \ pm x$ sunt asimptote respectiv a $\pm \infty$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$ .

Punct de vedere proiectiv

Cele trei situații precedente formează doar una în geometria proiectivă , cu o asimptotă văzută ca tangentă la infinit.

Alte asimptote

Punct asimptotic

Un exemplu este spirala .

Curba asimptotică

Tridentul lui Newton

O curbă de ecuație $y={\frac {(ax^{3}+bx^{2}+cx+d)}{x}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {(ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d)} {x}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {(ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d)} {x}}}$ admite o parabolă asimptotică a ecuației $y=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$ $y = ax ^ {2} + bx + c$ și o hiperbolă asimptotică a ecuației $y={\frac {d}{x}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {d} {x}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {d} {x}}}$ . Figura constituie un trident al lui Newton .

Notă

^ ^a ^b Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, p. U63, ISBN 978-88-08-03933-0 .
^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, 1993, p. 256 , ISBN 88-251-7090-4 .
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, p. U65, ISBN 978-88-08-03933-0 .
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, pp. U142-143, ISBN 978-88-08-03933-0 .
^ Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, 1993, p. 258 , ISBN 88-251-7090-4 .

Bibliografie

Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 .
Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « asimptotă »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe asimptotă

linkuri externe

Asimptotă , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.

Controlul autorității	NDL ( EN , JA ) 00574602

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Bergamini63-1] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, p. U63, ISBN 978-88-08-03933-0 .

[2] Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, 1993, p. 256 , ISBN 88-251-7090-4 .

[3] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, p. U65, ISBN 978-88-08-03933-0 .

[4] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, pp. U142-143, ISBN 978-88-08-03933-0 .

[5] Maderna C. și Soardi PM, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, 1993, p. 258 , ISBN 88-251-7090-4 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy