Teorema lui Bohr-Mollerup

În analiza matematică , teorema Bohr-Mollerup este o teoremă numită după matematicienii danezi Harald Bohr și Johannes Mollerup , care au dovedit-o în 1922 . Teorema caracterizează funcția Gamma , definită de $x>0$ ${\ displaystyle x> 0}$ ${\ displaystyle x> 0}$ din

\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt

{\ displaystyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \, dt}

{\ displaystyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \, dt}

ca singura functie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe interval $x>0$ ${\ displaystyle x> 0}$ ${\ displaystyle x> 0}$ care, simultan, posedă următoarele trei proprietăți:

$f(1)=1$ ${\ displaystyle f (1) = 1}$ ${\ displaystyle f (1) = 1}$ ,
$f(x+1)=xf(x)$ ${\ displaystyle f (x + 1) = xf (x)}$ ${\ displaystyle f (x + 1) = xf (x)}$ pentru $x>0$ ${\ displaystyle x> 0}$ ${\ displaystyle x> 0}$ ,
$f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este logaritmic convex , adică logaritmul său este o funcție convexă

O discuție elegantă a acestei teoreme poate fi găsită în cartea lui Artin The Gamma Function , care a fost retipărită de American Mathematic Society (AMS) într-o colecție de scrieri ale lui Artin.

Teorema a fost publicată pentru prima dată într-un manual de analiză complexă , deoarece Bohr și Mollerup credeau că a fost deja dovedită.

Afirmație

Teorema lui Bohr-Mollerup.

\Gamma (x)

{\ displaystyle \ Gamma (x)}

{\ displaystyle \ Gamma (x)}

este singura funcție pe care o îndeplinește

f(x+1)=xf(x)

{\ displaystyle f (x + 1) = xf (x)}

{\ displaystyle f (x + 1) = xf (x)}

cu

\log {f(x)}

{\ displaystyle \ log {f (x)}}

{\ displaystyle \ log {f (x)}}

convex și, de asemenea, cu

f(1)=1

{\ displaystyle f (1) = 1}

{\ displaystyle f (1) = 1}

.

Demonstrație

Este $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ o funcție cu proprietățile menționate mai sus: $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$ , $\log {\Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ log {\ Gamma (x)}}$ ${\ displaystyle \ log {\ Gamma (x)}}$ este o funcție convexă și $\Gamma (1)=1$ ${\ displaystyle \ Gamma (1) = 1}$ ${\ displaystyle \ Gamma (1) = 1}$ . Din $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$ putem spune că

\Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\Gamma (x)

{\ displaystyle \ Gamma (x + n) = (x + n-1) (x + n-2) (x + n-3) \ cdots (x + 1) x \ Gamma (x)}

{\ displaystyle \ Gamma (x + n) = (x + n-1) (x + n-2) (x + n-3) \ cdots (x + 1) x \ Gamma (x)}

Scopul de a fi impus asta $\Gamma (1)=1$ ${\ displaystyle \ Gamma (1) = 1}$ ${\ displaystyle \ Gamma (1) = 1}$ este de a se asigura că proprietatea $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$ ne conduc înapoi la factorialele întregi, astfel încât să putem concluziona că $\Gamma (n)=(n-1)!$ ${\ displaystyle \ Gamma (n) = (n-1)!}$ ${\ displaystyle \ Gamma (n) = (n-1)!}$ de sine $n\in N$ ${\ displaystyle n \ in N}$ ${\ displaystyle n \ in N}$ si daca $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ există peste tot. Mulțumesc raportului scris pentru $\Gamma (x+n)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x + n)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x + n)}$ , dacă putem înțelege pe deplin comportamentul lui $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ pentru $0<x\leqslant 1$ ${\ displaystyle 0 <x \ leqslant 1}$ ${\ displaystyle 0 <x \ leqslant 1}$ , putem înțelege comportamentul lui $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ pentru toate valorile reale ale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Panta segmentului care leagă două puncte $(x_{1},f(x_{1}))$ ${\ displaystyle (x_ {1}, f (x_ {1}))}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, f (x_ {1}))}$ Și $(x_{2},f(x_{2}))$ ${\ displaystyle (x_ {2}, f (x_ {2}))}$ ${\ displaystyle (x_ {2}, f (x_ {2}))}$ , să o indicăm cu $S(x_{1},x_{2})$ ${\ displaystyle S (x_ {1}, x_ {2})}$ ${\ displaystyle S (x_ {1}, x_ {2})}$ , este strict în creștere pentru o funcție convexă cu $x_{1}<x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2}}$ . De când am impus asta $\log {\Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ log {\ Gamma (x)}}$ ${\ displaystyle \ log {\ Gamma (x)}}$ este convex, știm asta

{\begin{aligned}S(n-1,n)&\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)&&0<x\leq 1\\[6pt]{\frac {\log(\Gamma (n))-\log(\Gamma (n-1))}{n-(n-1)}}&\leq {\frac {\log(\Gamma (n))-\log(\Gamma (n+x))}{n-(n+x)}}\leq {\frac {\log(\Gamma (n))-\log(\Gamma (n+1))}{n-(n+1)}}\\[6pt]{\frac {\log((n-1)!)-\log((n-2)!)}{1}}&\leq {\frac {\log(\Gamma (n+x))-\log((n-1)!)}{x}}\leq {\frac {\log(n!)-\log((n-1)!)}{1}}\\[6pt]\log \left({\frac {(n-1)!}{(n-2)!}}\right)&\leq {\frac {\log(\Gamma (n+x))-\log((n-1)!)}{x}}\leq \log \left({\frac {n!}{(n-1)!}}\right)\\[6pt]\log(n-1)&\leq {\frac {\log(\Gamma (n+x))-\log((n-1)!)}{x}}\leq \log(n)\\x\log(n-1)&\leq \log(\Gamma (n+x))-\log((n-1)!)\leq x\log(n)\\\log \left((n-1)^{x}\right)+\log((n-1)!)&\leq \log(\Gamma (n+x))\leq \log \left(n^{x}\right)+\log((n-1)!)\\\log \left((n-1)^{x}(n-1)!\right)&\leq \log(\Gamma (n+x))\leq \log \left(n^{x}(n-1)!\right)\\(n-1)^{x}(n-1)!&\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!&&\log {\text{is monotonically increasing}}\\[6pt](n-1)^{x}(n-1)!&\leq (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!\\[6pt]{\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}\\[6pt]{\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} S (n-1, n) & \ leq S (n, n + x) \ leq S (n, n + 1) && 0 <x \ leq 1 \\ [6pt] {\ frac {\ log (\ Gamma (n)) - \ log (\ Gamma (n-1))} {n- (n-1)}} & \ leq {\ frac {\ log (\ Gamma (n )) - \ log (\ Gamma (n + x))} {n- (n + x)}} \ leq {\ frac {\ log (\ Gamma (n)) - \ log (\ Gamma (n + 1 ))} {n- (n + 1)}} \\ [6pt] {\ frac {\ log ((n-1)!) - \ log ((n-2)!)} {1}} & \ leq {\ frac {\ log (\ Gamma (n + x)) - \ log ((n-1)!)} {x}} \ leq {\ frac {\ log (n!) - \ log ((n - 1)!)} {1}} \\ [6pt] \ log \ left ({\ frac {(n-1)!} {(N-2)!}} \ Right) & \ leq {\ frac { \ log (\ Gamma (n + x)) - \ log ((n-1)!)} {x}} \ leq \ log \ left ({\ frac {n!} {(n-1)!}} \ right) \\ [6pt] \ log (n-1) & \ leq {\ frac {\ log (\ Gamma (n + x)) - \ log ((n-1)!)} {x}} \ leq \ log (n) \\ x \ log (n-1) & \ leq \ log (\ Gamma (n + x)) - \ log ((n-1)!) \ leq x \ log (n) \ \ \ log \ left ((n-1) ^ {x} \ right) + \ log ((n-1)!) & \ leq \ log (\ Gamma (n + x)) \ leq \ log \ left ( n ^ {x} \ right) + \ log ((n-1)!) \\\ log \ left ((n-1) ^ {x} (n-1)! \ right) & \ leq \ log ( \ Gamma (n + x)) \ leq \ log \ left (n ^ {x} (n-1)! \ Right) \\ (n-1) ^ {x} (n-1)! & \ Leq \ Gamma (n + x) \ leq n ^ {x} (n-1)! && \ log {\ text {crește monoton}} \\ [6pt] (n-1) ^ {x} (n-1) ! & \ leq (x + n- 1) (x + n-2) \ cdots (x + 1) x \ Gamma (x) \ leq n ^ {x} (n-1)! \\ [6pt] {\ frac {(n-1) ^ {x} (n-1)!} {(x + n-1) (x + n-2) \ cdots (x + 1) x}} & \ leq \ Gamma (x) \ leq {\ frac {n ^ {x} (n-1)!} {(x + n-1) (x + n-2) \ cdots (x + 1) x}} \\ [6pt] {\ frac {(n-1) ^ {x} (n-1)!} {(x + n-1) (x + n-2) \ cdots (x + 1) x}} & \ leq \ Gamma (x) \ leq {\ frac { n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}} \ left ({\ frac {n + x} {n}} \ right) \ \ [6pt] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} S (n-1, n) & \ leq S (n, n + x) \ leq S (n, n + 1) && 0 <x \ leq 1 \\ [6pt] {\ frac {\ log (\ Gamma (n)) - \ log (\ Gamma (n-1))} {n- (n-1)}} & \ leq {\ frac {\ log (\ Gamma (n )) - \ log (\ Gamma (n + x))} {n- (n + x)}} \ leq {\ frac {\ log (\ Gamma (n)) - \ log (\ Gamma (n + 1 ))} {n- (n + 1)}} \\ [6pt] {\ frac {\ log ((n-1)!) - \ log ((n-2)!)} {1}} & \ leq {\ frac {\ log (\ Gamma (n + x)) - \ log ((n-1)!)} {x}} \ leq {\ frac {\ log (n!) - \ log ((n - 1)!)} {1}} \\ [6pt] \ log \ left ({\ frac {(n-1)!} {(N-2)!}} \ Right) & \ leq {\ frac { \ log (\ Gamma (n + x)) - \ log ((n-1)!)} {x}} \ leq \ log \ left ({\ frac {n!} {(n-1)!}} \ right) \\ [6pt] \ log (n-1) & \ leq {\ frac {\ log (\ Gamma (n + x)) - \ log ((n-1)!)} {x}} \ leq \ log (n) \\ x \ log (n-1) & \ leq \ log (\ Gamma (n + x)) - \ log ((n-1)!) \ leq x \ log (n) \ \ \ log \ left ((n-1) ^ {x} \ right) + \ log ((n-1)!) & \ leq \ log (\ Gamma (n + x)) \ leq \ log \ left ( n ^ {x} \ right) + \ log ((n-1)!) \\\ log \ left ((n-1) ^ {x} (n-1)! \ right) & \ leq \ log ( \ Gamma (n + x)) \ leq \ log \ left (n ^ {x} (n-1)! \ Right) \\ (n-1) ^ {x} (n-1)! & \ Leq \ Gamma (n + x) \ leq n ^ {x} (n-1)! && \ log {\ text {crește monoton}} \\ [6pt] (n-1) ^ {x} (n-1) ! & \ leq (x + n- 1) (x + n-2) \ cdots (x + 1) x \ Gamma (x) \ leq n ^ {x} (n-1)! \\ [6pt] {\ frac {(n-1) ^ {x} (n-1)!} {(x + n-1) (x + n-2) \ cdots (x + 1) x}} & \ leq \ Gamma (x) \ leq {\ frac {n ^ {x} (n-1)!} {(x + n-1) (x + n-2) \ cdots (x + 1) x}} \\ [6pt] {\ frac {(n-1) ^ {x} (n-1)!} {(x + n-1) (x + n-2) \ cdots (x + 1) x}} & \ leq \ Gamma (x) \ leq {\ frac { n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}} \ left ({\ frac {n + x} {n}} \ right) \ \ [6pt] \ end {align}}}

Ultima linie este o afirmație puternică. În special, este adevărat pentru toate valorile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Aceasta înseamnă că $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ nu este mai mare decât membrul potrivit pentru fiecare alegere a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și, la fel, $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ nu este mai puțin decât membrul stâng pentru orice altă alegere $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Fiecare inegalitate nu are legătură cu cealaltă și poate fi interpretată ca o afirmație independentă. Din această cauză, suntem liberi să alegem diferite valori ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru membrul drept și pentru membrul stâng. Mai exact, dacă plecăm $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru membrul potrivit și alegem $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ pentru cel stâng, avem:

{\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {((n + 1) -1) ^ {x} ((n + 1) -1)!} {(x + (n + 1) -1) ( x + (n + 1) -2) \ cdots (x + 1) x}} & \ leq \ Gamma (x) \ leq {\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n -1) \ cdots (x + 1) x}} \ left ({\ frac {n + x} {n}} \ right) \\ {\ frac {n ^ {x} n!} {(X + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}} & \ leq \ Gamma (x) \ leq {\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n -1) \ cdots (x + 1) x}} \ left ({\ frac {n + x} {n}} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {((n + 1) -1) ^ {x} ((n + 1) -1)!} {(x + (n + 1) -1) ( x + (n + 1) -2) \ cdots (x + 1) x}} & \ leq \ Gamma (x) \ leq {\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n -1) \ cdots (x + 1) x}} \ left ({\ frac {n + x} {n}} \ right) \\ {\ frac {n ^ {x} n!} {(X + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}} & \ leq \ Gamma (x) \ leq {\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n -1) \ cdots (x + 1) x}} \ left ({\ frac {n + x} {n}} \ right) \ end {align}}}

Din această ultimă linie este evident că delimităm o funcție între două expresii, o tehnică obișnuită în analiză pentru a demonstra diverse lucruri, cum ar fi existența unei limite sau o convergență. Este $n\to \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ :

\lim _{n\to \infty }{\frac {n+x}{n}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n + x} {n}} = 1}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n + x} {n}} = 1}

astfel partea stângă a ultimei inegalități tinde să devină egală cu partea dreaptă, când trece la limită și

{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}

{\ displaystyle {\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}}}

{\ displaystyle {\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}}}

reprezintă delimitarea către ambii membri. Acest lucru poate însemna doar asta

\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}=\Gamma (x).

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}} = \ Gamma (x).}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}} = \ Gamma (x).}

În contextul acestei demonstrații, aceasta înseamnă că

\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}}}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}}}

posedă cele trei proprietăți specificate, care aparțin $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ . În plus, dovada oferă o expresie specifică pentru $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ . Ultima parte a acestei dovezi este să ne amintim că limita unei secvențe este unică. Aceasta înseamnă că, pentru fiecare alegere de $0<x\leqslant 1$ ${\ displaystyle 0 <x \ leqslant 1}$ ${\ displaystyle 0 <x \ leqslant 1}$ , un singur număr posibil $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ poate exista. Prin urmare, nu există altă funcție cu toate proprietățile atribuite $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ .

Rămâne să dovedim doar asta $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ are sens pentru toți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru care

\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}}}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}}}

există. Problema este că prima noastră inegalitate dublă

S(n-1,n)\leq S(n+x,n)\leq S(n+1,n)

{\ displaystyle S (n-1, n) \ leq S (n + x, n) \ leq S (n + 1, n)}

{\ displaystyle S (n-1, n) \ leq S (n + x, n) \ leq S (n + 1, n)}

a fost construit cu restricție $0<x\leqslant 1$ ${\ displaystyle 0 <x \ leqslant 1}$ ${\ displaystyle 0 <x \ leqslant 1}$ . De sine $x>1$ ${\ displaystyle x> 1}$ ${\ displaystyle x> 1}$ , apoi faptul că $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este strict în creștere ar însemna că $S(n+1,n)<S(n+x,n)$ ${\ displaystyle S (n + 1, n) <S (n + x, n)}$ ${\ displaystyle S (n + 1, n) <S (n + x, n)}$ , contrazicând inegalitatea pe care se bazează întreaga dovadă. Dar să observăm asta

{\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim _{n\to \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x + 1) & = \ lim _ {n \ to \ infty} x \ cdot \ left ({\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}} \ right) {\ frac {n} {n + x + 1}} \\\ Gamma (x) & = \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \ Gamma (x + 1) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x + 1) & = \ lim _ {n \ to \ infty} x \ cdot \ left ({\ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}} \ right) {\ frac {n} {n + x + 1}} \\\ Gamma (x) & = \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \ Gamma (x + 1) \ end {align}}}

și asta arată cum să se prelungească $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ la toate valorile de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru care este definită limita.

Bibliografie

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Teorema lui Bohr - Mollerup” ^{[ link rupt ]} , Enciclopedia Matematicii , Springer Science, ISBN 978-1-55608-010-4
Emil Artin, The Gamma Function , Holt, Rinehart, Winston, 1964.
Michael Rosen, Expoziție de Emil Artin: A Selection , American Mathematical Society, 2006.
Bohr, H. Mollerup, J., Lærebog i Kompleks Analyze vol. III, Copenhaga , 1922. ( Manual în analize complexe )