Funcția poligamă

În matematică , prin funcție poligamică de ordinul m se înțelege funcția specială definită ca derivată logaritmică m + 1-a funcției Gamma :

\psi _{m}(z):=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln {\Gamma (z)}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi _{0}(z)

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z): = \ left ({\ frac {d} {dz}} \ right) ^ {m + 1} \ ln {\ Gamma (z)} = \ left ({ \ frac {d} {dz}} \ right) ^ {m} {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}} = \ left ({\ frac {d} {dz}} \ dreapta) ^ {m} \ psi _ {0} (z)}

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z): = \ left ({\ frac {d} {dz}} \ right) ^ {m + 1} \ ln {\ Gamma (z)} = \ left ({ \ frac {d} {dz}} \ right) ^ {m} {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}} = \ left ({\ frac {d} {dz}} \ dreapta) ^ {m} \ psi _ {0} (z)}

.

Aici

\psi _{0}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}

{\ displaystyle \ psi _ {0} (z) = {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}}}

{\ displaystyle \ psi _ {0} (z) = {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}}}

denotă funcția digamă și $\Gamma (z)$ ${\ displaystyle \ Gamma (z)}$ $\ Gamma (z)$ denotă funcția gamma .

Generalitate

Funcția poligon este de asemenea notată $\,\psi ^{(m)}$ ${\ displaystyle \, \ psi ^ {(m)}}$ ${\ displaystyle \, \ psi ^ {(m)}}$ . Functia $\,\psi _{1}$ ${\ displaystyle \, \ psi _ {1}}$ ${\ displaystyle \, \ psi _ {1}}$ se mai numește funcția trigamma și $\,\psi _{2}$ ${\ displaystyle \, \ psi _ {2}}$ ${\ displaystyle \, \ psi _ {2}}$ funcția tetragamma .

În semiplanul complex Re z > 0 funcția poligamma poate fi tratată prin intermediul următoarei reprezentări integrale.

\psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{n}e^{-tz}}{1-e^{-t}}}dt\

{\ displaystyle \ psi _ {n} (z) = (- 1) ^ {n + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n} e ^ {- tz}} {1-e ^ {- t}}} dt \}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (z) = (- 1) ^ {n + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n} e ^ {- tz}} {1-e ^ {- t}}} dt \}

.

Relația de recurență se menține

\psi _{n}(z+1)=\psi _{n}(z)+(-)^{n}\;n!\;z^{-(n+1)}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (z + 1) = \ psi _ {n} (z) + (-) ^ {n} \; n! \; z ^ {- (n + 1)}}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (z + 1) = \ psi _ {n} (z) + (-) ^ {n} \; n! \; z ^ {- (n + 1)}}

Un poligam are următoarea reprezentare pe serii

\psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\;n!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{n+1}}}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (z) = (- 1) ^ {n + 1} \; n! \; \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {( z + k) ^ {n + 1}}}}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (z) = (- 1) ^ {n + 1} \; n! \; \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {( z + k) ^ {n + 1}}}}

care este valabil pentru n> 0 și pentru orice argument complex care nu este un număr întreg negativ. Această identitate poate fi scrisă mai concis folosind funcția Hurwitz zeta

\psi _{n}(z)=(-1)^{n+1}\;n!\;\zeta (n+1,z)

{\ displaystyle \ psi _ {n} (z) = (- 1) ^ {n + 1} \; n! \; \ zeta (n + 1, z)}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (z) = (- 1) ^ {n + 1} \; n! \; \ zeta (n + 1, z)}

.

Prin urmare, se observă că zeta Hurwitz constituie o familie de funcții care extinde familia constituită de poligamă: aceasta se caracterizează printr-un parametru care variază în setul de numere întregi pozitive și prima familie îl extinde, permițând parametrului să varieze în câmp complex.

Expansiunea Taylor cu centrul la z ₀ = 1 este

\psi _{n}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{n+k+1}(n+k)!\;\zeta (n+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (z + 1) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + k + 1} (n + k)! \; \ zeta (n + k + 1) \; {\ frac {z ^ {k}} {k!}}}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (z + 1) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + k + 1} (n + k)! \; \ zeta (n + k + 1) \; {\ frac {z ^ {k}} {k!}}}

care converge pentru | z | <1. Aici $\,\zeta (s)$ ${\ displaystyle \, \ zeta (s)}$ ${\ displaystyle \, \ zeta (s)}$ denotă funcția zeta Riemann .

Se aplică și formula de reflecție

\psi _{n}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi _{n}(z)=(-1)^{n}\,\pi \,{d^{n} \over dz^{n}}\cot(\pi z)

{\ displaystyle \ psi _ {n} (1-z) + (- 1) ^ {n + 1} \ psi _ {n} (z) = (- 1) ^ {n} \, \ pi \, { d ^ {n} \ over dz ^ {n}} \ cot (\ pi z)}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (1-z) + (- 1) ^ {n + 1} \ psi _ {n} (z) = (- 1) ^ {n} \, \ pi \, { d ^ {n} \ over dz ^ {n}} \ cot (\ pi z)}

și formula multiplicării

\psi _{n}(mz)=\delta _{n,0}\ln m+{1 \over m^{n+1}}\sum _{k=0}^{m-1}\psi _{n}\left(z+{k \over m}\right)

{\ displaystyle \ psi _ {n} (mz) = \ delta _ {n, 0} \ ln m + {1 \ peste m ^ {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {m-1 } \ psi _ {n} \ left (z + {k \ peste m} \ right)}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (mz) = \ delta _ {n, 0} \ ln m + {1 \ peste m ^ {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {m-1 } \ psi _ {n} \ left (z + {k \ peste m} \ right)}

Câteva valori speciale

Dovedește că

{\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z+k}}-{\frac {1}{k}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ ln {\ Gamma {(z)}} = {\ frac {\ Gamma '{(z)}} {\ Gamma {(z)}}} = \ psi _ {0} (z) = - \ gamma - {\ frac {1} {z}} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {z + k }} - {\ frac {1} {k}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ ln {\ Gamma {(z)}} = {\ frac {\ Gamma '{(z)}} {\ Gamma {(z)}}} = \ psi _ {0} (z) = - \ gamma - {\ frac {1} {z}} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {z + k }} - {\ frac {1} {k}} \ right)}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este constanta Euler-Mascheroni . Această serie, pentru $z=m$ ${\ displaystyle z = m}$ ${\ displaystyle z = m}$ întreg pozitiv, se reduce la o sumă finită

{\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=\psi _{0}(m)=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Gamma '{(m)}} {\ Gamma {(m)}}} = \ psi _ {0} (m) = - \ gamma +1 + {\ frac {1} { 2}} + \ dots + {\ frac {1} {m-1}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Gamma '{(m)}} {\ Gamma {(m)}}} = \ psi _ {0} (m) = - \ gamma +1 + {\ frac {1} { 2}} + \ dots + {\ frac {1} {m-1}}}

Derivarea de membru la membru cu privire la $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ inca ai

{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} {\ frac {\ Gamma '{(z)}} {\ Gamma {(z)}}} = \ psi _ {1} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(z + k) ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} {\ frac {\ Gamma '{(z)}} {\ Gamma {(z)}}} = \ psi _ {1} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(z + k) ^ {2}}}}

că pentru $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z = 0}$ divergă, în timp ce pentru $z=1$ ${\ displaystyle z = 1}$ ${\ displaystyle z = 1}$ devine seria armonică generalizată de ordinul 2