Criza bazelor matematicii

Expresia criză a fundamentelor matematicii se referă la eșecul încercării de a oferi o justificare formală riguroasă setului de definiții și deducții pe care se bazează aritmetica (și, în consecință, și matematica în întregime), care a fost urmată la începutul secolul al XX-lea printr-o revizuire radicală a conceptelor fundamentale ale disciplinei. ^{[1] [2]}

În urma marelui impuls primit de formalizare în secolul al XIX-lea, grație muncii unor matematicieni precum George Boole , Giuseppe Peano și Richard Dedekind , între sfârșitul secolului al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea, un grup mare de cărturari s-a angajat în încercare să ofere o bază logică riguroasă conținutului propozițiilor matematice, cu scopul de a produce o justificare absolută a valabilității lor (în aceasta lucrarea lui Gottlob Frege a fost deosebit de importantă); cu toate acestea, apariția unor dificultăți neașteptate (în special o serie de paradoxuri duse la consecințele lor extreme de Kurt Gödel în 1931 ), a ajuns să demonstreze incompletitudinea tuturor matematicii.

În general, este recunoscut rolul pe care l-a jucat criza bazelor matematicii în criza mai largă care la începutul secolului al XX-lea a afectat și fizica , psihologia și filozofia , provocând o pierdere a certitudinilor în domeniul epistemologiei și filozofiei științei. ceea ce a dus în cele din urmă la prăbușirea teoriilor filosofice pozitiviste . ^[3]

Logicism

Gottlob Frege în jurul anului 1879.

Același subiect în detaliu: Logicism .

Nevoia de a întemeia matematica într-un mod strict formal, astfel încât să-și pună bazele protejate de toate contradicțiile posibile, a apărut pentru prima dată în a doua jumătate a secolului al XIX-lea ca o consecință a impulsului mare primit de formalizarea în diferite domenii. de matematică. În cartea sa Ideography , matematicianul și filosoful german Gottlob Frege a declarat: ^[4]

Cu alte cuvinte, complexitatea crescândă a științelor matematice, combinată cu apariția treptată a unor noi mijloace conceptuale capabile să trateze elementele fundamentale într-un mod care nu mai este discursiv și intuitiv, ci simbolic și formal, a condus mulți cărturari (inclusiv Frege în primis ) să nu se mulțumească mai mult cu conținutul propozițiilor matematice, ci să pună la îndoială justificarea validității lor.

Prin urmare , logicismului a fost configurat ca o încercare de a reduce definițiile fundamentale ale aritmetică a strict logic - set termeni, deoarece - așa cum Cantor a ghicit deja si ca Gödel ar demonstra ulterior prin intermediul celor care iau numele de numere Gödel de la el - matematică este în întregime atribuibile aritmeticii. ^[5] Frege (cel mai important exponent al logicismului împreună cu Russell) s-a concentrat pe problema exprimării în termeni logici ( clase , relații , funcții ) a conceptelor pe care alți matematicieni, Dedekind și Peano , le plasaseră ca baze axiomatice ale aritmeticii în jurul anii 1880. Aceste concepte fundamentale, strâns legate de axiomele lui Peano pentru definirea numerelor naturale , sunt „zero”, „următor” și „număr natural”. ^[6]

Frege, după ce a terminat redactarea și publicarea Ideografiei sale ( 1879 ), a crezut că a ajuns la rezultatul definirii acestor concepte cu un limbaj formal, simbolic („ideografic”, de fapt), astfel încât a făcut bazele matematicii apodictice , și nu mai intuitiv: adică, el credea că a finalizat fundamentul pe o bază solidă din punct de vedere logic a întregului edificiu conceptual al matematicii. ^{[7] [8]}

Limbajul ideografic al lui Frege a folosit instrumente matematice substanțial echivalente cu cele ale naivei teorii a mulțimilor lui Cantor. ^[8]

Paradoxul lui Russell

Bertrand Russell, circa 1916.

Același subiect în detaliu: paradoxul lui Russell .

Limitele fundamentului matematicii propuse de Logicismul lui Frege au fost evidențiate în 1902 prin descoperirea paradoxului lui Russell , care își ia numele de la filosoful și logicul britanic Bertrand Russell care l-a formulat pentru prima dată. ^[9]

Russell, lucrând la teorema lui Cantor , a realizat că ansamblul tuturor mulțimilor care nu le aparțin aparțin ei înșiși dacă și numai dacă nu aparține ei înșiși . Cu aceasta, el a demonstrat contradicția uneia dintre axiomele pe care Frege le considerase apodictice , așa - numita axiomă a abstractizării , conform căreia „fiecare proprietate identifică setul de obiecte care se bucură de ea”. ^{[9] [10]} Proprietatea de a nu-ți aparține , de fapt, a dat naștere unui întreg cu caracteristici contradictorii.

Soluții provizorii la paradoxul lui Russell

Descoperirea paradoxului lui Russell a evidențiat inadecvarea încercării lui Frege de a întemeia matematica. Prin urmare, între începutul secolului al XX-lea și anii ’20 au fost dezvoltate diverse teorii (întotdeauna vizând producerea unei justificări valabile a fundamentelor și metodologiilor matematicii), astfel încât să nu cadă în contradicții similare cu cele ale primului Logicism.

Cele trei teorii principale dezvoltate în acest context au fost teoria tipurilor, teoriile intuiționiste și teoriile formaliste .

Teoria tipurilor

Același subiect în detaliu: teoria tipurilor .

Logicismul ca program teoretic nu a încetat să mai existe odată cu descoperirea antinomiei și a fost într-adevăr Russell însuși, în colaborare cu un alt matematician britanic, Alfred North Whitehead , cel care a încercat să-l perfecționeze pentru a-și ocoli propriul paradox. ^[11]

Întrucât Russell a identificat rădăcina antinomiei în auto-referențialitate , teoria complexă pe care a dezvoltat-o ​​(cunoscută sub numele de teoria tipurilor ) s-a concentrat pe problema imposibilității de a face afirmații de auto-referențialitate: această problemă a fost rezolvată prin diferențierea diferitelor niveluri. („tipuri”, de fapt) de obiecte, definite în așa fel încât relații precum cea de apartenență pot fi stabilite numai între obiecte de „tip diferit”. Dacă „tip 0” este compus din elemente simple, „tip 1” de seturi de elemente, „tip 2” de seturi de seturi etc., atunci fiecare obiect (element sau set) de tip n poate aparține doar unui singur obiect ( în acest moment neapărat împreună) de tip n + 1 sau mai mare. ^{[11] [12]}

Teoria tipurilor, care constituia în esență o extensie a logicismului în concordanță cu tradiția lui Frege, avea totuși limitări. În plus față de complexitatea sa ^[12], avea defectul de a se baza pe unele axiome „care nu sunt evidente din punct de vedere logic” (în special axioma infinitului, axioma alegerii și axioma reducibilității). Deși a permis ca toată matematica să se bazeze pe teoria mulțimilor, nu a fost deci atât de imediată (la fel de apodictică) precum ar fi vrut-o Frege. ^[11]

Intuitionismul

Același subiect în detaliu: Intuitionismul .

Curentul intuiționistilor s-a opus logicismului, ale cărui poziții (anticipate de Henri Poincaré ) au fost susținute cu o convingere deosebită de matematicianul olandez Luitzen Brouwer . ^[13]

Intuitiștii au susținut că este imposibil să se găsească matematica pe o bază logică, deoarece în interpretarea lor matematica (care este o activitate constructivă ) precede logica (care este o activitate descriptivă ). Pentru Brouwer, în special, logica constituie pur și simplu o descriere a construcțiilor matematicii, care din acest motiv nu este cu adevărat contestată de niciun paradox logic: departe de a fi bazată pe logică, ea apare din intuiția trecerii timpului, pe care se construiește succesiunea numerelor naturale și, pornind de la ele, toate celelalte. ^[13]

Chiar și intuiționismul, cu toate acestea, avea defecte. Pe lângă renunțarea substanțială la orice tip de fundație, de fapt, intuiționistii au fost obligați să respingăprincipiul terțului exclus , având în vedere descrierea unui fapt (o construcție sau demonstrarea imposibilității sale) care nu poate fi verificat în orice caz. ^[13]

Formalism

David Hilbert în 1912.

Același subiect în detaliu: Filosofia matematicii și programul lui Hilbert .

Matematicianul german David Hilbert a abordat diferit problema întemeierii matematicii atât de către logiciști, cât și de către intuiționisti. Pe baza ideii că matematica și logica trebuie să meargă mână în mână, paralel una cu cealaltă, Hilbert a propus o viziune formalistă, conform căreia fiecare teorie matematică (pornind de la aritmetică) este valabilă atunci când este non-contradictorie este demonstrată. ^[13]

Hilbert credea că dovezile, în domeniul teoriilor axiomatic-deductive, cum ar fi geometria sau aritmetica , sunt guvernate de reguli logice riguroase și că, prin urmare, ele nu pot fi în niciun caz bazate pe intuiție. Dimpotrivă, pentru a justifica bazele matematicii, formaliștii au încercat în mod logic să demonstreze consistența și completitudinea aritmeticii. Pentru a face acest lucru, Hilbert a dezvoltat o teorie metamatematică , adică o teorie bazată pe un limbaj matematic care făcea afirmații despre matematica însăși; pentru a fi sigur de validitatea acestei metamatematici (adică pentru a evita necesitatea unei meta-metamatematice pentru a dovedi validitatea metamatematicii și așa mai departe), el s-a asigurat că era compus dintr-un număr finit de simboluri și, prin urmare, era capabil să se auto -valida. ^[15]

Într-o prelegere din 1922, Hilbert a declarat: ^[14]

Teoremele lui Gödel

Kurt Gödel în jurul anului 1925.

Același subiect în detaliu: teoremele incompletei lui Gödel .

Soluția definitivă la paradoxul lui Russell, care era și răspunsul tuturor celor care în cele mai variate moduri încercaseră să producă o anumită bază a matematicii, a venit în 1931 , când logicianul austriac Kurt Gödel și-a dovedit cele două teoreme ale incompletitudinii . ^[16]

Opera lui Gödel s-a bazat pe formalismul lui Hilbert: primul rezultat important al tânărului austriac a fost, de fapt, în 1930 demonstrația teoremei completitudinii , conform căreia în logica primului ordin o propoziție este adevărată dacă și numai dacă este demonstrabil. Acest rezultat a arătat că, având în vedere un sistem de axiome și un set de reguli de deducție valabile pentru acel sistem, o propoziție adevărată este întotdeauna demonstrabilă în acel sistem (care, din acest motiv, se numește complet ). ^[17]

Dacă teorema completitudinii părea să sugereze că era posibil să se demonstreze consistența diferitelor sisteme axiomatice și, astfel, să se întemeieze formal matematica, deja în 1931 Gödel a redus toate aspirațiile cărturarilor care aspirau la acest tip de fundație dovedindu-și faimosul său teoremele incompletitudinii. ^[17]

Dovada lui Gödel a fost împărțită în două părți: pe de o parte, el a demonstrat că, dacă sistemul axiomelor aritmeticii este consecvent, atunci nu este complet , adică un sistem coerent, în care nu există contradicții, conține afirmații indecidabile. (nici demonstrabil, nici refutabil); pe de altă parte, el a arătat că nu este posibil să se demonstreze consistența aritmeticii prin intermediul sistemului de axiome ale aritmeticii în sine . ^[18]

În consecință, orice demonstrație referitoare la validitatea unui sistem formal trebuie făcută folosind un sistem formal diferit, care este mai „puternic” și mai complex decât cel original, adică un metalimbaj de un „grad” superior. Prin urmare, trebuie să fondăm o teorie, este întotdeauna necesară o metateorie care la rândul său nu poate fi validată decât printr-o meta-metateorie și așa mai departe. Prin urmare, nu există „teorie finală” capabilă să întemeieze pe deplin aritmetica și nici mai mult matematica în întregime. ^{[18] [19]}

Notă

Bibliografie

• F. Cioffi, F. Gallo, G. Luppi, A. Vigorelli, E. Zanette, Diálogos , Bruno Mondadori Scholastic Editions, 2000, vol. 3, ISBN 88-424-5264-5 .
• Clementina Ferrandi, Filosofie și știință - O întrepătrundere fructuoasă , Torino, Il Capitello, 1991.
• W. Maraschini, M. Palma, ForMat, Spe , Paravia, 2002, vol. 3, ISBN 88-395-1435-X .
• P. Odifreddi, Diavolul în scaun , Einaudi, 2003, ISBN 88-06-18137-8 .

Elemente conexe

Portalul de filosofie

Portalul de matematică