Formula lui Brahmagupta

Formula lui Brahmagupta vă permite să determinați aria unui patrulater . În forma sa cea mai comună, permite determinarea ariei unui patrulater ciclic (adică înscris într-o circumferință ) odată cunoscute lungimile laturilor.

Forma de bază

În forma sa tipică și cea mai memorabilă, formula lui Brahmagupta afirmă că aria unui patrulater ciclic ale cărui laturi au lungimi a , b , c , d este egală cu:

A={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}

{\ displaystyle A = {\ sqrt {(pa) (pb) (pc) (pd)}}}

A = {\ sqrt {(p-a) (p-b) (p-c) (p-d)}}

unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este jumătatea perimetrului , adică

p={\frac {a+b+c+d}{2}}.

{\ displaystyle p = {\ frac {a + b + c + d} {2}}.}

p = {\ frac {a + b + c + d} {2}}.

Generalizare la patrulaterele generice

În cazul patrulaterelor neciclice, extensia formulei Brahmagupta este constituită din formula Bretschneider , care implică și măsurarea a două colțuri opuse ale patrulaterului:

A={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}(\theta )}}

{\ displaystyle A = {\ sqrt {(pa) (pb) (pc) (pd) -abcd \ cos ^ {2} (\ theta)}}}

{\ displaystyle A = {\ sqrt {(p-a) (p-b) (p-c) (p-d) -abcd \ cos ^ {2} (\ theta)}}}

unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este jumătate din suma a două unghiuri opuse (alegerea perechii este irelevantă: dacă luăm în considerare celelalte două unghiuri, jumătate din suma lor este suplimentară la $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ; De cand $\cos(\pi -\theta )=-\cos(\theta )$ ${\ displaystyle \ cos (\ pi - \ theta) = - \ cos (\ theta)}$ ${\ displaystyle \ cos (\ pi - \ theta) = - \ cos (\ theta)}$ , avem $\cos ^{2}(\pi -\theta )=\cos ^{2}(\theta )$ ${\ displaystyle \ cos ^ {2} (\ pi - \ theta) = \ cos ^ {2} (\ theta)}$ ${\ displaystyle \ cos ^ {2} (\ pi - \ theta) = \ cos ^ {2} (\ theta)}$ .

O proprietate binecunoscută a patrulaterelor ciclice este faptul că unghiurile opuse sunt suplimentare. În consecință, în acest caz $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ , prin urmare $abcd\cdot \cos ^{2}(\theta )=abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=abcd\cdot 0=0$ ${\ displaystyle abcd \ cdot \ cos ^ {2} (\ theta) = abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) = abcd \ cdot 0 = 0 }$ ${\ displaystyle abcd \ cdot \ cos ^ {2} (\ theta) = abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) = abcd \ cdot 0 = 0 }$ , reducându-se la forma de bază.

Teoreme conexe

Formula Heron pentru aria unui triunghi este cazul special obținut prin setare $d=0$ ${\ displaystyle d = 0}$ ${\ displaystyle d = 0}$ .

Relația dintre forma de bază și forma generalizată a formulei lui Brahmagupta este similară cu modul în care teorema lui Carnot extinde teorema lui Pitagora .

linkuri externe

MathWorld: formula lui Brahmagupta , la mathworld.wolfram.com .
Dovada formulei lui Brahmagupta

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică