Formula lui Bretschneider

Un patrulater.

În geometrie , formula Bretschneider pentru calcularea ariei unui patrulater corespunde următoarei expresii:

A={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}

{\ displaystyle A = {\ sqrt {(pa) (pb) (pc) (pd) -abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right)} }}

A = {\ sqrt {(p-a) (p-b) (p-c) (p-d) -abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right)}}

Unde a, b, c, d sunt laturile patrulaterului, p este jumătatea perimetrului, $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ sunt cele două colțuri opuse.

Descoperirea acestei formule se datorează matematicianului german Carl Anton Bretschneider în 1842. Formula Bretschneider funcționează pentru orice patrulater, indiferent dacă este ciclic sau nu.

Demonstrație

Notăm cu A aria patrulaterului. Atunci noi avem

{\begin{aligned}A&=\operatorname {Area} ({\stackrel {\vartriangle }{ADB}})+\operatorname {Area} ({\overset {\vartriangle }{BDC}})=\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A & = \ operatorname {Area} ({\ stackrel {\ vartriangle} {ADB}}) + \ operatorname {Area} ({\ overset {\ vartriangle} {BDC}}) = \ \ & = {\ frac {ad \ sin \ alpha} {2}} + {\ frac {bc \ sin \ gamma} {2}} \ end {align}}}

{\ begin {align} A & = \ operatorname {Area} ({\ stackrel {\ vartriangle} {ADB}}) + \ operatorname {Area} ({\ overset {\ vartriangle} {BDC}}) = \\ & = {\ frac {ad \ sin \ alpha} {2}} + {\ frac {bc \ sin \ gamma} {2}} \ end {align}}

Prin urmare

4A^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,

{\ displaystyle 4A ^ {2} = (ad) ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha + (bc) ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma + 2abcd \ sin \ alpha \ sin \ gamma . \,}

4A ^ {2} = (ad) ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha + (bc) ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma + 2abcd \ sin \ alpha \ sin \ gamma. \,

Teorema cosinusului implică faptul că

a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,\,

{\ displaystyle a ^ {2} + d ^ {2} -2ad \ cos \ alpha = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos \ gamma, \,}

a ^ {2} + d ^ {2} -2ad \ cos \ alpha = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos \ gamma, \,

întrucât ambele laturi sunt egale cu pătratul lungimii diagonalei BD . Acest lucru poate fi rescris în formular

{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .

{\ displaystyle {\ frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} {4}} = (ad) ^ {2} \ cos ^ {2} \ alpha + (bc) ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma -2abcd \ cos \ alpha \ cos \ gamma.}

{\ frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} {4}} = (ad) ^ {2} \ cos ^ { 2} \ alpha + (bc) ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma -2abcd \ cos \ alpha \ cos \ gamma.

Înlocuind acest lucru în formula de mai sus pentru $4A^{2}$ ${\ displaystyle 4A ^ {2}}$ $4A ^ {2}$ , primesti

4A^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).\,

{\ displaystyle 4A ^ {2} + {\ frac {(b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2} -d ^ {2}) ^ {2}} {4}} = (anunț ) ^ {2} + (bc) ^ {2} -2abcd \ cos (\ alpha + \ gamma). \,}

4A ^ {2} + {\ frac {(b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2} -d ^ {2}) ^ {2}} {4}} = (ad) ^ { 2} + (bc) ^ {2} -2abcd \ cos (\ alpha + \ gamma). \,

Acest lucru poate fi scris ca

16A^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).

{\ displaystyle 16A ^ {2} = (a + b + cd) (a + b + dc) (a + c + db) (b + c + da) -16abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right).}

16A ^ {2} = (a + b + cd) (a + b + dc) (a + c + db) (b + c + da) -16abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alfa + \ gamma} {2}} \ dreapta).

Introducerea jumătății perimetrului

p={\frac {a+b+c+d}{2}},

{\ displaystyle p = {\ frac {a + b + c + d} {2}},}

{\ displaystyle p = {\ frac {a + b + c + d} {2}},}

formula de mai sus devine

16A^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)

{\ displaystyle 16A ^ {2} = 16 (pa) (pb) (pc) (pd) -16abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right) }

16A ^ {2} = 16 (p-a) (p-b) (p-c) (p-d) -16abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right)

de aici și formula Bretschneider.

Formule conexe

Formula lui Bretschneider generalizează formula lui Brahmagupta pentru aria unui patrulater ciclic , care la rândul său generalizează formula lui Heron pentru aria unui triunghi . De fapt, observăm că, pentru un patrulater ciclic, argumentul cosinusului este ${\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} = {\ frac {\ pi} {2}}$ , deci cosinusul este zero și al doilea termen al radicandului dispare.

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Formula lui Bretschneider , în MathWorld Wolfram Research.
Dovada formulei generalizate Brahmagupta.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică