Funcția Gudermanniană

Este definit ca

{\rm {gd}}(x)=2\arctan e^{x}-{\pi  \over 2}.

{\ displaystyle {\ rm {gd}} (x) = 2 \ arctan e ^ {x} - {\ pi \ over 2}.}

{{\ rm {gd}}} (x) = 2 \ arctan e ^ {x} - {\ pi \ over 2}.

Din definiție derivă următoarele identități:

\sinh(x)\,=\,\tan({\mbox{gd}}(x))

{\ displaystyle \ sinh (x) \, = \, \ tan ({\ mbox {gd}} (x))}

{\ displaystyle \ sinh (x) \, = \, \ tan ({\ mbox {gd}} (x))}

\cosh(x)\,=\,\sec({\mbox{gd}}(x))

{\ displaystyle \ cosh (x) \, = \, \ sec ({\ mbox {gd}} (x))}

{\ displaystyle \ cosh (x) \, = \, \ sec ({\ mbox {gd}} (x))}

{\mbox{csch}}(x)\,=\,\cot({\mbox{gd}}(x))

{\ displaystyle {\ mbox {csch}} (x) \, = \, \ cot ({\ mbox {gd}} (x))}

{\ displaystyle {\ mbox {csch}} (x) \, = \, \ cot ({\ mbox {gd}} (x))}

\tanh(x)\,=\,\sin({\mbox{gd}}(x))

{\ displaystyle \ tanh (x) \, = \, \ sin ({\ mbox {gd}} (x))}

{\ displaystyle \ tanh (x) \, = \, \ sin ({\ mbox {gd}} (x))}

{\mbox{sech}}(x)\,=\,\cos({\mbox{gd}}(x))

{\ displaystyle {\ mbox {sech}} (x) \, = \, \ cos ({\ mbox {gd}} (x))}

{\ displaystyle {\ mbox {sech}} (x) \, = \, \ cos ({\ mbox {gd}} (x))}

\coth(x)\,=\,\csc({\mbox{gd}}(x))

{\ displaystyle \ coth (x) \, = \, \ csc ({\ mbox {gd}} (x))}

{\ displaystyle \ coth (x) \, = \, \ csc ({\ mbox {gd}} (x))}

Funcția sa inversă este

{\rm {gd}}^{-1}(x)\,=\,\ln(\tan x+\sec x),

{\ displaystyle {\ rm {gd}} ^ {- 1} (x) \, = \, \ ln (\ tan x + \ sec x),}

{\ displaystyle {\ rm {gd}} ^ {- 1} (x) \, = \, \ ln (\ tan x + \ sec x),}

Acesta este nucleul proiecției Mercator .

Sunt de asemenea demonstrate următoarele identități:

{d \over dx}\,{\mbox{gd}}(x)={\mbox{sech}}(x)

{\ displaystyle {d \ over dx} \, {\ mbox {gd}} (x) = {\ mbox {sech}} (x)}

{\ displaystyle {d \ over dx} \, {\ mbox {gd}} (x) = {\ mbox {sech}} (x)}

{d \over dx}\,{\mbox{gd}}^{-1}(x)=\sec(x)

{\ displaystyle {d \ over dx} \, {\ mbox {gd}} ^ {- 1} (x) = \ sec (x)}

{\ displaystyle {d \ over dx} \, {\ mbox {gd}} ^ {- 1} (x) = \ sec (x)}

Bibliografie

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcția Gudermanniană

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică