Nucleul Dirichlet

În analiza matematică , nucleul Dirichlet este familia polinoamelor trigonometrice definită de

D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.

{\ displaystyle D_ {n} (x) = \ sum _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = 1 + 2 \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ cos (kx) = {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + 1/2 \ right) x \ right)} {\ sin (x / 2)}}.}

{\ displaystyle D_ {n} (x) = \ sum _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = 1 + 2 \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ cos (kx) = {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + 1/2 \ right) x \ right)} {\ sin (x / 2)}}.}

Este numit în onoarea lui Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Graficul primilor 35 de termeni ai nucleului. Se poate observa convergența către distribuția delta Dirac .

Criteriul convergenței seriei Fourier

Nucleul Dirichlet găsește o largă aplicare în teoria seriei Fourier . Convoluția lui D _n ( x ) cu orice funcție de perioadă ƒ $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ este egală cu aproximarea seriei Fourier a ƒ trunchiată la al n-lea termen, adică avem

(D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},

{\ displaystyle (D_ {n} * f) (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (y) D_ {n} (xy ) \, dy = \ sum _ {k = -n} ^ {n} {\ hat {f}} (k) e ^ {ikx},}

{\ displaystyle (D_ {n} * f) (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (y) D_ {n} (xy ) \, dy = \ sum _ {k = -n} ^ {n} {\ hat {f}} (k) e ^ {ikx},}

unde este

{\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx

{\ displaystyle {\ widehat {f}} (k) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e ^ {- ikx} \ , dx}

{\ displaystyle {\ widehat {f}} (k) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e ^ {- ikx} \ , dx}

este k- coeficientul Fourier al lui ƒ .

Acest fapt poate fi util în studiul convergenței punctuale a expansiunii Fourier a unei funcții periodice. Într-adevăr loc $S_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}$ ${\ displaystyle S_ {n} (x) = \ sum _ {k = -n} ^ {n} {\ hat {f}} (k) e ^ {ikx}}$ ${\ displaystyle S_ {n} (x) = \ sum _ {k = -n} ^ {n} {\ hat {f}} (k) e ^ {ikx}}$ avem, folosind rezultatul anterior,

S_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y+x){\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy.

{\ displaystyle S_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (y + x) {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + 1/2 \ right) y \ right)} {\ sin (y / 2)}} \, dy.}

{\ displaystyle S_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (y + x) {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + 1/2 \ right) y \ right)} {\ sin (y / 2)}} \, dy.}

Această expresie se aplică în special funcției constante $f(x)=1$ ${\ displaystyle f (x) = 1}$ ${\ displaystyle f (x) = 1}$ pentru care toți coeficienții seriei Fourier sunt zero cu excepția celui pentru care $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ asta merită $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Vedem deci că pentru această funcție constantă se menține

S_{n}(x)=1={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy.

{\ displaystyle S_ {n} (x) = 1 = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin \ left (\ left ( n + 1/2 \ right) y \ right)} {\ sin (y / 2)}} \, dy.}

{\ displaystyle S_ {n} (x) = 1 = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin \ left (\ left ( n + 1/2 \ right) y \ right)} {\ sin (y / 2)}} \, dy.}

(Acest lucru este, de asemenea, ușor de verificat prin integrarea termen cu termen a seriei trigonometrice care definește nucleul Diriclet).

Dacă dorim acum să verificăm condițiile pentru care seria Fourier a f converge punctual într-un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ trebuie să studiem comportamentul celui de - al n - lea rest

|S_{n}(x)-f(x)|={\frac {1}{2\pi }}{\biggl \vert }\int _{-\pi }^{\pi }f(y+x){\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy-f(x){\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy{\biggl \vert },

{\ displaystyle | S_ {n} (x) -f (x) | = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ biggl \ vert} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (y + x) {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + 1/2 \ right) y \ right)} {\ sin (y / 2)}} \, dy-f (x) {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + 1/2 \ right) y \ right)} {\ sin (y / 2)}} \, dy {\ biggl \ vert},}

{\ displaystyle | S_ {n} (x) -f (x) | = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ biggl \ vert} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (y + x) {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + 1/2 \ right) y \ right)} {\ sin (y / 2)}} \, dy-f (x) {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + 1/2 \ right) y \ right)} {\ sin (y / 2)}} \, dy {\ biggl \ vert},}

sau

\vert S_{n}(x)-f(x)\vert ={\frac {1}{2\pi }}{\biggl \vert }\int _{-\pi }^{\pi }(f(y+x)-f(x)){\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)y\right)}{\sin(y/2)}}\,dy{\biggl \vert }.

{\ displaystyle \ vert S_ {n} (x) -f (x) \ vert = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ biggl \ vert} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi } (f (y + x) -f (x)) {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + 1/2 \ right) y \ right)} {\ sin (y / 2)}} \ , dy {\ biggl \ vert}.}

{\ displaystyle \ vert S_ {n} (x) -f (x) \ vert = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ biggl \ vert} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi } (f (y + x) -f (x)) {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + 1/2 \ right) y \ right)} {\ sin (y / 2)}} \ , dy {\ biggl \ vert}.}

Mulțumită lemei Riemann-Lebesgue știm că o condiție suficientă pentru ca restul al n-lea să dispară pentru $n\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ este asta ${\frac {f(x+y)-f(y)}{\sin({\frac {y}{2}})}}$ ${\ displaystyle {\ frac {f (x + y) -f (y)} {\ sin ({\ frac {y} {2}})}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {f (x + y) -f (y)} {\ sin ({\ frac {y} {2}})}}}$ poate fi integrat în $[-\pi ,+\pi ]$ ${\ displaystyle [- \ pi, + \ pi]}$ ${\ displaystyle [- \ pi, + \ pi]}$ . Pornind de la acest rezultat putem demonstra cu ușurință condiția de convergență Dini pentru seria Fourier ^[1] .

Relația cu delta Dirac

Putem defini distribuția periodică a deltei Dirac în așa fel încât să o avem

f*(2\pi \delta )=f

{\ displaystyle f * (2 \ pi \ delta) = f}

{\ displaystyle f * (2 \ pi \ delta) = f}

pentru fiecare funcție de perioadă ƒ $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ . Reprezentarea seriei Fourier a acestei funcții generalizate este

2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).

{\ displaystyle 2 \ pi \ delta (x) \ sim \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {ikx} = \ left (1 + 2 \ sum _ {k = 1} ^ { \ infty} \ cos (kx) \ right).}

{\ displaystyle 2 \ pi \ delta (x) \ sim \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {ikx} = \ left (1 + 2 \ sum _ {k = 1} ^ { \ infty} \ cos (kx) \ right).}

Prin urmare, nucleul Dirichlet poate fi văzut ca o aproximare a acestei distribuții.

Dovada identității trigonometrice

Identitatea trigonometrică

\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = {\ frac {\ sin ((n + 1/2) x)} {\ sin (x / 2)}}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = {\ frac {\ sin ((n + 1/2) x)} {\ sin (x / 2)}}}

poate fi demonstrat în felul următor. Amintind că suma unei progresii geometrice este

\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {k} = a {\ frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}}.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {k} = a {\ frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}}.}

Avem asta mai ales

\sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = -n} ^ {n} r ^ {k} = r ^ {- n} \ cdot {\ frac {1-r ^ {2n + 1}} {1-r}} .}

{\ displaystyle \ sum _ {k = -n} ^ {n} r ^ {k} = r ^ {- n} \ cdot {\ frac {1-r ^ {2n + 1}} {1-r}} .}

Înmulțind atât numeratorul, cât și numitorul cu r ^{-1 / 2 pe care} îl avem

{\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.

{\ displaystyle {\ frac {r ^ {- n-1/2}} {r ^ {- 1/2}}} \ cdot {\ frac {1-r ^ {2n + 1}} {1-r} } = {\ frac {r ^ {- n-1/2} -r ^ {n + 1/2}} {r ^ {- 1/2} -r ^ {1/2}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {r ^ {- n-1/2}} {r ^ {- 1/2}}} \ cdot {\ frac {1-r ^ {2n + 1}} {1-r} } = {\ frac {r ^ {- n-1/2} -r ^ {n + 1/2}} {r ^ {- 1/2} -r ^ {1/2}}}.}

Acum, dacă r = e ^ix găsim

\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = {\ frac {e ^ {- (n + 1/2) ix} -e ^ {(n + 1/2) ix}} {e ^ {- ix / 2} -e ^ {ix / 2}}} = {\ frac {-2i \ sin ((n + 1/2) x)} {- 2i \ sin (x / 2)}} = {\ frac {\ sin ((n + 1/2) x)} {\ sin (x / 2)}}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = {\ frac {e ^ {- (n + 1/2) ix} -e ^ {(n + 1/2) ix}} {e ^ {- ix / 2} -e ^ {ix / 2}}} = {\ frac {-2i \ sin ((n + 1/2) x)} {- 2i \ sin (x / 2)}} = {\ frac {\ sin ((n + 1/2) x)} {\ sin (x / 2)}}}

ceea ce am vrut să dovedim.

Notă

^ Cosenza, Guido., Metode matematice de fizică , Bollati Boringhieri , 2004-2006, ISBN 8833957381 ,OCLC 799708994 .

Bibliografie

Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Analiză reală . ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 0-13-458886-X 0-13-458886-X, S.620 ( vollständige Online-Version (Google Books) )
Podkorytov, AN (1988), "Comportamentul asimptotic al nucleului Dirichlet al sumelor Fourier cu privire la un poligon". Journal of Soviet Mathematics , 42 (2): 1640–1646. doi: 10.1007 / BF01665052
Levi, H. (1974), „O construcție geometrică a miezului Dirichlet”. Tranzacțiile Academiei de Științe din New York , 36: 640-643. doi: 10.1111 / j.2164-0947.1974.tb03023.x
Dirichlet-Kernel la PlanetMath ^{[ link rupt ]}

linkuri externe

( EN ) Nucleo di Dirichlet , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Cosenza, Guido., Metode matematice de fizică , Bollati Boringhieri , 2004-2006, ISBN 8833957381 ,OCLC 799708994 .

[1]