Catenară

Catenaria pentru diferite valori ale parametrului a

În matematică , catenaria este o anumită curbă plană hiperbolică (cu un aspect similar unei parabole ), al cărei curs este caracteristic unei frânghii omogene, flexibile și neextensibile, ale cărei două capete sunt constrânse și care este lăsată să atârne, supus doar greutății proprii.

Ecuația catenară poate fi exprimată matematic prin cosinusul hiperbolic :

y=a\cdot \cosh \left({x \over a}\right)={a \over 2}\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right).

{\ displaystyle y = a \ cdot \ cosh \ left ({x \ over a} \ right) = {a \ over 2} \ left (e ^ {x / a} + e ^ {- x / a} \ right ).}

{\ displaystyle y = a \ cdot \ cosh \ left ({x \ over a} \ right) = {a \ over 2} \ left (e ^ {x / a} + e ^ {- x / a} \ right ).}

Istorie

Primul care a examinat catenaria a fost Galileo în 1638. În a doua zi de Discursuri și demonstrații în jurul a două noi științe, el a părut în mod eronat că presupune că forma unei frânghii atârnate de capetele sale și sub forța gravitației era o parabolă ^[1] . Deși mulți istorici vorbesc despre „eroarea lui Galileo”, în a patra zi a aceluiași dialog, el clarifică fără echivoc că distincția dintre catenar și parabolă i-a fost clară: „șirul atât de încordat și puțin sau foarte strâns, se îndoaie în linii, care sunt foarte aproape de parabolici: și asemănarea este atât de mare, încât [...] veți vedea, slăbind lanțul menționat mai mult sau mai puțin, îndoiți și adaptați-vă la aceeași parabolă, iar această adaptare va fi cu atât mai mult precis, întrucât parabola marcată va fi mai puțin curbată, adică mai extinsă; astfel încât în pildele descrise cu înălțimi sub 45 de grame, lanțul se mișcă aproape unguem peste parabolă ".

În 1669 Joachim Jungius a dovedit că curba în cauză nu era o parabolă și, în 1691 , Huygens , Leibniz și frații Bernoulli au dovedit că această curbă era o curbă non-algebrică și a fost botezată „catenară” de Huygens însuși.

Curba, numită și funicular sau velaria , a fost studiată și de Euler , care a demonstrat în 1744 că rotația sa în jurul axei absciselor generează o suprafață minimă , care a luat numele de catenoid .

În inginerie și arhitectură

Podul de cale ferată Garabit , proiectat de Gustave Eiffel, este susținut de o catenară reflectată

Același subiect în detaliu: arc catenar .

Având în vedere faptul că o catenară are proprietatea de a avea o distribuție uniformă a greutății sale totale în fiecare dintre punctele sale, acest tip de curbă a fost adesea folosit pentru a crea artefacte și structuri arhitecturale. Structurile construite în conformitate cu această curbă suferă doar solicitări de tracțiune , cum ar fi corzile de susținere în podurile suspendate sau, alternativ, prin comprimare , atunci când structura creată are forma unei catenare reflectată față de o linie orizontală, ca în structurile de cupole (de exemplu în cupola Sf. Paul din Londra proiectată de Robert Hooke , în arcurile proiectate pentru prima dată cu această formă de Antoni Gaudí, care a introdus utilizarea catenarului în arhitectură, la fel ca în Gateway Arch din Saint Louis de către arhitectul finlandez-american Eero Saarinen și inginerul structural Hannskarl Bandel ) ^{[ necesită citare ]} și poduri (de exemplu în podurile Maillart sau în viaductul feroviar Garabit ).

În transport

Același subiect în detaliu: linia de contact aeriană .

Termenul catenar indică setul de conductori electrici de la care unele mijloace de transport primesc curentul electric necesar alimentării lor (denumirea evident derivă din curba pe care acești conductori, suspendați la ambele capete, o asumă). Această retragere are loc de obicei prin cărucioare și pantografe .

Derivarea matematică

Pentru a obține ecuația catenară, construim un model ad hoc. Să presupunem că avem un lanț (sau o frânghie) care nu este extensibil într-un câmp de forță de greutate ${\vec {g}}$ ${\ displaystyle {\ vec {g}}}$ ${\ vec {g}}$ , care reprezintă în mod evident accelerația gravitației pe care o presupunem că este direcționată de-a lungul valorilor negative ale axei $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . În fiecare punct al lanțului vor acționa atât forța de greutate, cât și tensiunea elementelor individuale ale lanțului; impunând condiția de echilibru static, rezultanta tuturor forțelor de-a lungul lanțului trebuie să fie zero:

{\vec {0}}={\vec {F}}_{0}+{\vec {g}}\int _{0}^{s}\mathrm {d} s'\lambda (s')+{\vec {\tau }}(s)

{\ displaystyle {\ vec {0}} = {\ vec {F}} _ {0} + {\ vec {g}} \ int _ {0} ^ {s} \ mathrm {d} s '\ lambda ( s ') + {\ vec {\ tau}} (s)}

{\ displaystyle {\ vec {0}} = {\ vec {F}} _ {0} + {\ vec {g}} \ int _ {0} ^ {s} \ mathrm {d} s '\ lambda ( s ') + {\ vec {\ tau}} (s)}

,

unde este ${\vec {F}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {0}}$ este forța care ține lanțul la extreme (echilibrarea forței de greutate), $\lambda (s)$ ${\ displaystyle \ lambda (s)}$ ${\ displaystyle \ lambda (s)}$ este densitatea liniară a masei de-a lungul catenarului, e ${\vec {\tau }}(s)$ ${\ displaystyle {\ vec {\ tau}} (s)}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ tau}} (s)}$ este tensiunea la punctul respectiv $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ . Presupunând densitate liniară constantă în fiecare punct, $\lambda (s)=\lambda _{0}$ ${\ displaystyle \ lambda (s) = \ lambda _ {0}}$ ${\ displaystyle \ lambda (s) = \ lambda _ {0}}$ (presupunând astfel că lanțul este omogen) și se calculează derivata în raport cu $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ da ai

{\vec {0}}=\lambda _{0}{\vec {g}}+{\frac {\mathrm {d} {\vec {\tau }}(s)}{\mathrm {d} s}}

{\ displaystyle {\ vec {0}} = \ lambda _ {0} {\ vec {g}} + {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ tau}} (s)} {\ mathrm { d} s}}}

{\ displaystyle {\ vec {0}} = \ lambda _ {0} {\ vec {g}} + {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ tau}} (s)} {\ mathrm { d} s}}}

.

Ne interesează graficul curbei în plan $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ , deci luăm în considerare cele două componente $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Voltaj:

{\frac {\mathrm {d} (\tau \cos {\vartheta })}{\mathrm {d} s}}=0\qquad \qquad (1)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (\ tau \ cos {\ vartheta})} {\ mathrm {d} s}} = 0 \ qquad \ qquad (1)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (\ tau \ cos {\ vartheta})} {\ mathrm {d} s}} = 0 \ qquad \ qquad (1)}

{\frac {\mathrm {d} (\tau \sin {\vartheta })}{\mathrm {d} s}}=\lambda _{0}g\qquad \qquad (2)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (\ tau \ sin {\ vartheta})} {\ mathrm {d} s}} = \ lambda _ {0} g \ qquad \ qquad (2)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (\ tau \ sin {\ vartheta})} {\ mathrm {d} s}} = \ lambda _ {0} g \ qquad \ qquad (2)}

unde este

\vartheta =\arctan \left({\frac {y_{\tau }}{x_{\tau }}}\right)

{\ displaystyle \ vartheta = \ arctan \ left ({\ frac {y _ {\ tau}} {x _ {\ tau}}} \ right)}

{\ displaystyle \ vartheta = \ arctan \ left ({\ frac {y _ {\ tau}} {x _ {\ tau}}} \ right)}

Din ecuația (1) vedem că $\tau \cos {\vartheta }=c$ ${\ displaystyle \ tau \ cos {\ vartheta} = c}$ ${\ displaystyle \ tau \ cos {\ vartheta} = c}$ , unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este o constantă care depinde de lungimea lanțului și de poziția capetelor de care este atârnat, prin urmare

\tau ={\frac {c}{\cos {\vartheta }}}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {c} {\ cos {\ vartheta}}}}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {c} {\ cos {\ vartheta}}}}

.

Și înlocuind cu (2),

{\frac {\mathrm {d} (\tan {\vartheta })}{\mathrm {d} s}}={\frac {\lambda _{0}g}{c}}.\qquad \qquad (3)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (\ tan {\ vartheta})} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}}. \ qquad \ qquad (3)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (\ tan {\ vartheta})} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}}. \ qquad \ qquad (3)}

Noi stim aia $\mathrm {d} s$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} s}$ ${\ mathrm {d}} s$ reprezintă diferențialul abscisei curvilinei în plan $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ , și poate fi exprimat ca

\mathrm {d} s={\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ mathrm {d} s = {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ mathrm {d} s = {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} x}

și astfel se obține ecuația diferențială

y''={\frac {\lambda _{0}g}{c}}{\sqrt {1+(y')^{2}}},\qquad \qquad (4)

{\ displaystyle y '' = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} {\ sqrt {1+ (y ') ^ {2}}}, \ qquad \ qquad (4)}

{\ displaystyle y '' = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} {\ sqrt {1+ (y ') ^ {2}}}, \ qquad \ qquad (4)}

Calcule

Este situat $d s$ ${\ displaystyle ds}$ $ds$ din (3) obținem $ds=d(\tan \vartheta ){\frac {c}{\lambda _{0}g}}$ ${\ displaystyle ds = d (\ tan \ vartheta) {\ frac {c} {\ lambda _ {0} g}}}$ ${\ displaystyle ds = d (\ tan \ vartheta) {\ frac {c} {\ lambda _ {0} g}}}$ Înlocuiți această expresie în ecuația diferențială a abscisei curvilinei $d(\tan \vartheta ){\frac {c}{\lambda _{0}g}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx$ ${\ displaystyle d (\ tan \ vartheta) {\ frac {c} {\ lambda _ {0} g}} = {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}} dx}$ ${\ displaystyle d (\ tan \ vartheta) {\ frac {c} {\ lambda _ {0} g}} = {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}} dx}$ Relația poate fi adusă celui de-al doilea membru, apoi noi aducem $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ se obține un prim membru ${\frac {d(\tan \vartheta )}{dx}}={\frac {\lambda _{0}g}{c}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d (\ tan \ vartheta)} {dx}} = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dy } {dx}} \ right) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d (\ tan \ vartheta)} {dx}} = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dy } {dx}} \ right) ^ {2}}}}$ În primul rând știm asta $y'={\frac {dy}{dx}}$ ${\ displaystyle y '= {\ frac {dy} {dx}}}$ ${\ displaystyle y '= {\ frac {dy} {dx}}}$ , atunci vectorul de tensiune este tangent la curbă, unghiul pe care îl formează cu axa orizontală este $\vartheta$ ${\ displaystyle \ vartheta}$ $\ vartheta$ , acesta este deci și unghiul tangentei la curbă în punct, deci înseamnă că $y'=\tan \vartheta$ ${\ displaystyle y '= \ tan \ vartheta}$ ${\ displaystyle y '= \ tan \ vartheta}$ Derivând din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ noi obținem $y''={\frac {d(\tan \vartheta )}{dx}}$ ${\ displaystyle y '' = {\ frac {d (\ tan \ vartheta)} {dx}}}$ ${\ displaystyle y '' = {\ frac {d (\ tan \ vartheta)} {dx}}}$ Înlocuind expresiile obținem în cele din urmă ecuația diferențială de mai sus.

Soluția cu câteva substituții sugerează un cosinus hiperbolic și, într-o formă explicită, este

y(x)={\frac {c}{\lambda _{0}g}}\cosh {\left({\frac {\lambda _{0}g}{c}}x+\alpha \right)}+\beta ,

{\ displaystyle y (x) = {\ frac {c} {\ lambda _ {0} g}} \ cosh {\ left ({\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} x + \ alpha \ right)} + \ beta,}

{\ displaystyle y (x) = {\ frac {c} {\ lambda _ {0} g}} \ cosh {\ left ({\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} x + \ alpha \ right)} + \ beta,}

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ sunt cele două constante ale integrării.

Calcule

Efectuați următoarea înlocuire $z=y'$ ${\ displaystyle z = y '}$ ${\ displaystyle z = y '}$ În consecință $z'=y''$ ${\ displaystyle z '= y' '}$ ${\ displaystyle z '= y' '}$ Noi obținem $z'={\frac {\lambda _{0}g}{c}}{\sqrt {1+z^{2}}}$ ${\ displaystyle z '= {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} {\ sqrt {1 + z ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle z '= {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} {\ sqrt {1 + z ^ {2}}}}$ Exprimăm derivatele cu forma diferențială pentru a separa variabilele ${\frac {dz}{dx}}={\frac {\lambda _{0}g}{c}}{\sqrt {1+z^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dz} {dx}} = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} {\ sqrt {1 + z ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dz} {dx}} = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} {\ sqrt {1 + z ^ {2}}}}$ Aducem $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ la al doilea membru și toate rădăcinile la primul membru, obținem ${\frac {dz}{\sqrt {1+z^{2}}}}={\frac {\lambda _{0}g}{c}}dx$ ${\ displaystyle {\ frac {dz} {\ sqrt {1 + z ^ {2}}}} = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} dx}$ ${\ displaystyle {\ frac {dz} {\ sqrt {1 + z ^ {2}}}} = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} dx}$ Prin integrare obții ${\mbox{arsinh}}(z)+c_{1}={\frac {\lambda _{0}g}{c}}x+c_{2}$ ${\ displaystyle {\ mbox {arsinh}} (z) + c_ {1} = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} x + c_ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {arsinh}} (z) + c_ {1} = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} x + c_ {2}}$ asta devine ${\mbox{arsinh}}(z)={\frac {\lambda _{0}g}{c}}x+c_{2}-c_{1}={\frac {\lambda _{0}g}{c}}x+\alpha$ ${\ displaystyle {\ mbox {arsinh}} (z) = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} x + c_ {2} -c_ {1} = {\ frac {\ lambda _ { 0} g} {c}} x + \ alpha}$ ${\ displaystyle {\ mbox {arsinh}} (z) = {\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} x + c_ {2} -c_ {1} = {\ frac {\ lambda _ { 0} g} {c}} x + \ alpha}$ Aplicăm apoi formula inversă a ${\mbox{arsinh}}(z)$ ${\ displaystyle {\ mbox {arsinh}} (z)}$ ${\ displaystyle {\ mbox {arsinh}} (z)}$ , noi obținem $z=\sinh \left({\frac {\lambda _{0}g}{c}}x+\alpha \right)$ ${\ displaystyle z = \ sinh \ left ({\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} x + \ alpha \ right)}$ ${\ displaystyle z = \ sinh \ left ({\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} x + \ alpha \ right)}$ În cele din urmă, înlocuim din nou $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , noi obținem $y'=\sinh \left({\frac {\lambda _{0}g}{c}}x+\alpha \right)$ ${\ displaystyle y '= \ sinh \ left ({\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} x + \ alpha \ right)}$ ${\ displaystyle y '= \ sinh \ left ({\ frac {\ lambda _ {0} g} {c}} x + \ alpha \ right)}$ Prin integrarea din nou, se obține formula de mai sus.

Este interesant de observat că lanțul va lua forma unei catenare chiar și atunci când extremele se află la înălțimi diferite, de fapt nu am făcut nicio ipoteză despre ele.

Parametrul a

Linia aeriană generică poate fi scrisă ca: $f(x)=a\cosh {\left({\frac {x}{a}}\right)}$ ${\ displaystyle f (x) = a \ cosh {\ left ({\ frac {x} {a}} \ right)}}$ ${\ displaystyle f (x) = a \ cosh {\ left ({\ frac {x} {a}} \ right)}}$ .

Pentru a găsi parametrul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , notați capetele de care este atârnat lanțul $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Și $x_{f}$ ${\ displaystyle x_ {f}}$ ${\ displaystyle x_ {f}}$ și lungimea curbei, aceasta din urmă se calculează mai întâi folosind următoarea formulă :

$\int _{x_{0}}^{x_{f}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}dx,$ ${\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {f}} {\ sqrt {1+ | f '(x) | ^ {2}}} dx,}$ ${\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {f}} {\ sqrt {1+ | f '(x) | ^ {2}}} dx,}$

Calcule

f'(x)=\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)

{\ displaystyle f '(x) = \ sinh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right)}

{\ displaystyle f '(x) = \ sinh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right)}

\int _{x_{0}}^{x_{f}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}dx\ =\int _{x_{0}}^{x_{f}}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\left({\frac {x}{a}}\right)}}dx

{\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {f}} {\ sqrt {1+ | f '(x) | ^ {2}}} dx \ = \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {f}} {\ sqrt {1+ \ sinh ^ {2} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right)}} dx}

{\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {f}} {\ sqrt {1+ | f '(x) | ^ {2}}} dx \ = \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {f}} {\ sqrt {1+ \ sinh ^ {2} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right)}} dx}

Datorită identității funcțiilor hiperbolice putem scrie:

\int _{x_{0}}^{x_{f}}\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)dx\ =\left[a*\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\right]_{x_{0}}^{x_{f}}

{\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {f}} \ cosh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) dx \ = \ left [a * \ sinh \ left ( {\ frac {x} {a}} \ right) \ right] _ {x_ {0}} ^ {x_ {f}}}

{\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {f}} \ cosh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) dx \ = \ left [a * \ sinh \ left ( {\ frac {x} {a}} \ right) \ right] _ {x_ {0}} ^ {x_ {f}}}

și astfel obținem:

$L=a\left(\sinh \left({\frac {x_{f}}{a}}\right)-\sinh \left({\frac {x_{0}}{a}}\right)\right)$ ${\ displaystyle L = a \ left (\ sinh \ left ({\ frac {x_ {f}} {a}} \ right) - \ sinh \ left ({\ frac {x_ {0}} {a}} \ corect corect)}$ ${\ displaystyle L = a \ left (\ sinh \ left ({\ frac {x_ {f}} {a}} \ right) - \ sinh \ left ({\ frac {x_ {0}} {a}} \ corect corect)}$

unde este $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este lungimea lanțului. Prin urmare, poate fi definit $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ca zero al funcției:

 $y(\alpha )=\alpha \left(\sinh \left({\frac {x_{f}}{\alpha }}\right)-\sinh \left({\frac {x_{0}}{\alpha }}\right)\right)-L$  $y$   $($   $α$   $)$   $=$   $α$   $($   $sinh$    $($   $X$   $f$   $α$   $)$   $-$   $sinh$    $($   $X$   $0$   $α$   $)$   $)$   $-$   $L$   ${\ displaystyle y (\ alpha) = \ alpha \ left (\ sinh \ left ({\ frac {x_ {f}} {\ alpha}} \ right) - \ sinh \ left ({\ frac {x_ {0} } {\ alpha}} \ right) \ right) -L}$   ${\ displaystyle y (\ alpha) = \ alpha \ left (\ sinh \ left ({\ frac {x_ {f}} {\ alpha}} \ right) - \ sinh \ left ({\ frac {x_ {0} } {\ alpha}} \ right) \ right) -L}$