Funcțiile mai multor variabile complexe

Teoria funcțiilor mai multor variabile complexe este ramura matematicii care studiază funcțiile

f(z_{1},\dots ,z_{n})

{\ displaystyle f (z_ {1}, \ dots, z_ {n})}

{\ displaystyle f (z_ {1}, \ dots, z_ {n})}

în mai multe variabile $f(z_{1},\dots ,z_{n})$ ${\ displaystyle f (z_ {1}, \ dots, z_ {n})}$ ${\ displaystyle f (z_ {1}, \ dots, z_ {n})}$ , definit pe spațiul tuplurilor numerelor complexe , $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ , unde n> 1 , și cu valori în numere complexe. Ca și în analiza complexă , care se ocupă de cazul foarte particular pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ ${\ displaystyle n = 1}$ , nu sunt luate în considerare toate funcțiile, ci doar cele analitice , adică funcțiile care pot fi reprezentate local ca o serie de puteri în variabile $z_{1},\dots ,z_{n}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ dots, z_ {n}}$ .

Istorie

În secolele al XIX-lea și al XX-lea, în diferite ramuri ale matematicii, un număr mare de funcții analitice în variabile mai complexe au căpătat o mare importanță, gândiți-vă doar la funcțiile abeliene , funcțiile theta și serile hipergeometrice , precum și la funcțiile analitice ale unei variabile în funcție de parametri complexi. În ciuda acestui fapt, timp de mulți ani, aceste funcții au fost studiate în cea mai mare parte individual, fără a se acorda o mare importanță studiului proprietăților spațiale ale funcțiilor în variabile mai complexe.

Una dintre primele teoreme ale acestei ramuri a analizei matematice a fost Teorema de pregătire a lui Weierstrass , care evidențiază comportamentul unei funcții a mai multor variabile complexe în jurul valorii de zero și are implicații în diferite domenii ale matematicii și arată că astfel de funcții nu au zerouri izolate. , spre deosebire de ceea ce se întâmplă în analiza complexă.

În anii 1930, a început să apară o teorie generală, datorită în mare parte muncii lui Friedrich Hartogs și Kiyoshi Oka și contribuțiilor importante ale altor matematicieni precum Heinrich Behnke , Renato Caccioppoli ^[1] , Karl Stein și Peter Thullen .

Hartogs datorează câteva rezultate de bază, inclusiv teorema care afirmă că funcțiile analitice din mai multe variabile sunt exact acelea care sunt analitice în fiecare variabilă separat, iar demonstrația că funcțiile în variabile complexe mai multe nu au singularități izolate , contrar a ceea ce se întâmplă pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ ${\ displaystyle n = 1}$ . Acest rezultat, combinat cu faptul că pentru $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ ${\ displaystyle n> 1}$ integralele laterale sunt integrate în varietate $2n-1$ ${\ displaystyle 2n-1}$ ${\ displaystyle 2n-1}$ dimensional (ființă $\mathbb {C} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ un spațiu în patru dimensiuni pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ ), determină calcularea reziduurilor să fie extrem de mai complicată decât în cazul analizei complexe, în a cărei teorie teorema reziduală joacă un rol fundamental.

După 1945 situația s-a schimbat radical în urma unor rezultate importante obținute în Franța, în contextul seminariilor Henri Cartan și în Germania datorită lucrărilor lui Hans Grauert și Reinhold Remmert . Au fost clarificate multe probleme, în special cea a continuării analitice , în care diferența cu teoria funcțiilor unei variabile este deosebit de evidentă. Într-adevăr, în timp ce pentru orice subset deschis și conectat al $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ se poate găsi o funcție care nu poate fi extinsă continuu într-o funcție analitică la graniță, nu este sigur că acest rezultat este valabil $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ . De fapt, seturile care se bucură de această proprietate sunt destul de speciale și se numesc seturi pseudoconvexe . Au fost introduse de Eugenio Elia Levi în 1910. ^[2] .

Domeniile pe care este mai natural să se definească o funcție care poate fi extinsă continuu până la margine se numesc Varietăți ale lui Stein și se caracterizează prin anularea grupurilor cohomologiei snopilor . Astfel s-a rezolvat necesitatea de a clarifica baza lucrării lui Oka și de a ajunge la o utilizare coerentă a grinzilor pentru formularea teoriei. Aceasta, datorită mai ales lucrărilor lui Grauert, a avut repercusiuni importante în domeniul geometriei algebrice . ^{[ neclar ]}

În urma acestor lucrări, a fost disponibilă o teorie fundamentală care ar putea fi aplicată noii ramuri a geometriei analitice ^[3] (înțeleasă ca geometria zerourilor funcțiilor analitice), formelor automorfe în mai multe variabile și ecuațiilor diferențiale parțiale . Teoria deformării structurilor complexe și a varietăților complexe a fost descrisă în termeni foarte generali de Kunihiko Kodaira și Donald C. Spencer . În cele din urmă, celebrul articol Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique ( GAGA ), de Jean-Pierre Serre a clarificat relațiile dintre geometria analitică și geometria algebrică .

Se pare că CL Siegel se plânsese de faptul că noua teorie a funcțiilor mai multor variabile complexe privea puține funcții , referindu-se la faptul că studiul funcțiilor speciale este, în această teorie, subordonat celui al snopilor . Într-adevăr, studenții teoriei numerelor sunt în mod evident interesați de generalizări specifice ale formelor modulare, iar cei mai naturali candidați sunt formele modulare Hilbert și Siegel . Acestea sunt asociate cu grupuri algebrice pentru care reprezentări automorfe pot fi derivate din funcții analitice.

Printre următoarele evoluții ale teoriei se numără studiul hiperfuncțiilor și teorema marginii penei , ambele provenind din ideile teoriei câmpului cuantic . Există și alte domenii, cum ar fi teoria algebrelor lui Banach, care utilizează teoria funcțiilor în mai multe variabile complexe.

Notă

^ Giuseppe Scorza Dragoni: Renato Caccioppoli și teoria funcțiilor a două sau mai multe variabile complexe în Gândirea matematică a secolului XX și opera lui Renato Caccioppoli , Napoli 1989
^ Vezi de exemplu Vinicio Villani, Despre o clasă de domenii holomorfe care pot fi aproximate din exterior , în Annals of the Scuola Normale Superiore of Pisa , vol. 14, n. 4, 1960 , pp. 349-361. Accesat la 4 octombrie 2011 . la pagina 253.
^ Nu trebuie confundat cu geometria analitică tradițională predată în școli

Bibliografie

( DE ) Heinrich Behnke, P. Thullen, Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen , Springer, 1934, ISBN 3-540-05086-8 .
( EN ) Salomon Bochner , WT Martin, Câteva variabile complexe , Princeton University Press, 1948, ISBN 0-691-08032-1 .
( EN ) Lars Hörmander , Introducere în analiza complexă în mai multe variabile , Olanda de Nord, 1966, ISBN 0-444-88446-7 .
Steven G. Krantz, Teoria funcției mai multor variabile complexe , AMS Chelsea Publishing, 1992, ISBN 978-0-8218-2724-6 .
( EN ) Volker Scheidemann, Introducere în analiza complexă în mai multe variabile , Birkhäuser Basel, 2005, ISBN 3-7643-7490-X .

Elemente conexe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 28887 · LCCN (EN) sh85052358 · BNF (FR) cb119666068 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Giuseppe Scorza Dragoni: Renato Caccioppoli și teoria funcțiilor a două sau mai multe variabile complexe în Gândirea matematică a secolului XX și opera lui Renato Caccioppoli , Napoli 1989

[2] Vezi de exemplu Vinicio Villani, Despre o clasă de domenii holomorfe care pot fi aproximate din exterior , în Annals of the Scuola Normale Superiore of Pisa , vol. 14, n. 4, 1960 , pp. 349-361. Accesat la 4 octombrie 2011 . la pagina 253.

[3] Nu trebuie confundat cu geometria analitică tradițională predată în școli

[1]

[2]

[3]