Funcție specială

Acest articol sau secțiune pe subiect matematica lipsesc sau sunt deficitare în note și referințe bibliografice precise . Deși există o bibliografie și / sau legături externe , nu există o contextualizare a surselor cu note de subsol sau alte referințe precise care indică cu exactitate originea informațiilor. Puteți îmbunătăți această intrare citând mai precis sursele . Urmați sfaturile de proiectare de referință .

În matematică acestea sunt numite funcții speciale ale specifice funcțiilor de reale sau complexe variabile cu reale sau complexe , valori care au proprietăți care le fac utile în aplicații diferite ^[1] și care fac lor recomandabil sistematică de studiu, în special în ceea ce privește cererile lor de calcul și conexiunile lor cu alte funcții, diferențiale și alte ecuații și alte structuri nu neapărat continue.

Descriere

Exemple de funcții speciale sunt funcțiile trigonometrice , armonicele cilindrice și sferice . Nu există o teorie unitară a funcțiilor speciale: se întâmplă, în schimb, că unele dintre proprietățile lor sunt studiate în contextul unor discipline matematice pe scară largă, cum ar fi analiza matematică , analiza funcțională și teoria funcțiilor holomorfe , altele sunt încadrate de teorii care consideră corect familii mari de funcții, dar caracterizate prin proprietăți relativ specifice, cum ar fi calculul umbral sau teoria reprezentărilor grupurilor Lie , încă altele sunt examinate pornind de la proprietăți specifice, de exemplu pornind de la anumite ecuații diferențiale obișnuite . În ciuda acestei lipse de unitate, dar având în vedere importanța subiectului, clasificarea MSC2000 oferă un cod primar ( 33-XX ) pentru cercetarea în acest sector.

În timp ce trigonometria și funcțiile conexe sunt solid codificate, așa cum a fost clar pentru experții în matematică încă din secolul al XVIII-lea (dacă nu mai devreme), căutarea unor teorii cuprinzătoare și unificatoare pentru funcții speciale a continuat încă din secolul al XIX-lea . O perioadă de rezultate importante a avut loc între 1850 și 1900 odată cu dezvoltarea teoriei funcțiilor eliptice ; ar putea fi publicate tratate constitutive manuale complete, cu toate identitățile de bază îndeplinite de aceste funcții. Această teorie s-a bazat pe tehnicile de analiză complexă și de atunci teoria funcțiilor analitice , care a permis deja unificarea funcțiilor trigonometrice și a funcțiilor exponențiale , a fost recunoscută ca un instrument fundamental. O discuție amplă despre armonicele sferice s- a dezvoltat și spre sfârșitul secolului al XIX-lea.

Bineînțeles, aspirația către o teorie largă capabilă să includă cât mai multe rezultate posibile asupra funcțiilor speciale cunoscute are o puternică valoare intelectuală; cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că există și alte motive pentru căutarea acestuia. Pentru o lungă perioadă de timp, funcțiile speciale au fost considerate ca aparținând domeniului matematicii aplicate, iar aplicațiile la științele fizice și inginerie au determinat importanța acestor funcții. Înainte de disponibilitatea computerului , prezentarea unei funcții speciale trebuia încheiată cu tabele cât mai complete și precise ale valorilor sale numerice (calculate manual). Aceste tabele numerice (cum ar fi tabelele logaritmice familiare) au fost un produs care a necesitat eforturi considerabile, inclusiv financiare, pentru a face funcția utilizabilă în mod eficient. Au existat două aspecte ale studiului funcțiilor speciale care contau cel mai mult la acea vreme:

• descoperirea dezvoltărilor seriei sau a altor expresii analitice care ar permite calculul eficient al valorilor numerice (cu repercusiuni interesante asupra analizei numerice );
• posibilitatea de a urmări cât mai multe funcții speciale într-o anumită funcție.

Aceste aspecte sunt opuse abordărilor tipice ale matematicii pure : analiza asimptotică , continuarea analitică și monodromia în planul complex și descoperirea proprietăților simetriei și a altor structuri sub fațada numeroaselor formule specifice care au fost identificate. Cu toate acestea, nu există un conflict real între cele două tipuri de abordări.

Teoria funcției speciale în secolul al XX-lea a cunoscut dezvoltarea a numeroase puncte de vedere noi. Textul clasic A Course of Modern Analysis de Edmund Taylor Whittaker și George Neville Watson , cunoscut sub numele de Whittaker & Watson , constituie o expunere unitară a teoriei folosind variabile complexe. Cartea lui George Neville Watson , Theory of Bessel Functions , din 1922 , a împins tehnicile expansiunilor asimptotice pentru o clasă importantă de funcții speciale. În jurul anului 1950, proiectul manuscris Bateman a produs o colecție enciclopedică a rezultatelor, tocmai când dezvoltarea computerului electronic era pe cale să schimbe motivațiile teoriei prin eliminarea primatului compilării tabelelor numerice. Teoria polinoamelor ortogonale are un domeniu limitat, dar bine concentrat. Seriile hipergeometrice au constituit o teorie complexă și de anvergură, încă foarte actuală și care au nevoie de ajustări conceptuale.

Teoria grupurilor Lie , și în special teoria reprezentărilor , generalizează tratamentul bazat pe simetria funcțiilor sferice și din 1950 încoace părți substanțiale ale teoriei anterioare ar putea fi reformulate în termeni de grupuri Lie. Începând cu anii 1960 , dezvoltarea combinatoriei algebrice (în special cu calculul umbral modern, cu noțiunea de funcție generatoare și cu legătura cu speciile de structuri de către André Joyal , a reînnoit punctele de vedere și interesele părților tradiționale ale teoriei. Ian Macdonald conjecturile au ajutat la larg deschisă și noi domenii de cercetare plin de viață , cu orientări tipice față de funcții speciale. Diferența de ecuații au început să lucreze alături de ecuații diferențiale pentru a juca rolul de surse de funcții speciale.

În teoria numerelor, unele funcții speciale au fost studiate în mod tradițional, cum ar fi seria Dirichlet specială și formele modulare . Ele reflectă aproape toate aspectele teoriei funcțiilor speciale și, în special, unele destul de recente, care au apărut din teoria așa-numitei monstrue de lună .

Notă

Bibliografie

• ET Whittaker și GN Watson Un curs de analiză modernă: o introducere în teoria generală a proceselor infinite și a funcțiilor analitice; cu o relatare a principalelor funcții transcendentale (Cambridge University Press, 1915)
• GN Watson Un tratat despre teoria funcțiilor Bessel (Cambridge University Press, 1922)
• A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. Tricomi Funcții transcendentale superioare (v. 1-3) (MacGrawHill, New York, 1953)
• E. Jahnke, F. Emde și F. Lösch Tabelele funcțiilor superioare (McGraw-Hill, New York, 1960)
• M. Abramowitz și I. Stegun Manual de funcții matematice (Dover, New York, 1972)

Elemente conexe

• Lista funcțiilor
• Biblioteca digitală a funcțiilor matematice , proiect NIST

linkuri externe

• ( RO ) Caracteristică specială , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Funcție specială , în MathWorld Wolfram Research.
• ( EN ) Yu.A. Brychkov, AP Prudnikov, Funcții speciale , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
• ( EN ) Funcție specială , în PlanetMath .
• ( EN ) Site-ul proiectului Biblioteca digitală a funcțiilor matematice
• ( EN ) Funcții speciale în EqWorld : Lumea ecuațiilor matematice.
• ( EN ) DW Lozier și FWJ Olver Evaluarea numerică a funcțiilor speciale

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică