Serie de puteri

Aproximări ulterioare ale funcției exponențiale prin intermediul unei serii de puteri

În matematică , o serie de puteri într-o variabilă este o serie de funcții ale formei:

{\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}\\&=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x) & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ left (xc \ right) ^ {n} \\ & = a_ {0 } + a_ {1} (xc) + a_ {2} (xc) ^ {2} + a_ {3} (xc) ^ {3} + \ cdots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x) & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ left (xc \ right) ^ {n} \\ & = a_ {0 } + a_ {1} (xc) + a_ {2} (xc) ^ {2} + a_ {3} (xc) ^ {3} + \ cdots \ end {align}}}

unde coeficienții $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ , centrul $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ și variabila argument $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ele iau de obicei valori reale sau complexe ^[1] . În matematică, sunt studiate, de asemenea, seriile de putere ale mai multor variabile reale și complexe și seriile de puteri ale entităților nenumerice (matrici, operatori, elemente ale structurilor algebrice, variabile formale, ...). De asemenea, considerăm serii de puteri negative și de puteri întregi atât negative, cât și naturale.

Seriile de putere utilizate frecvent sunt cele obținute din expansiunile Taylor ale unor funcții particulare (multe exemple se găsesc în intrarea din seria Taylor și în cele cu funcții speciale ).

În multe situații, ei sunt interesați în principal de seriile cu centrul $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ egal cu zero, de exemplu atunci când se ia în considerare o serie Maclaurin . În aceste cazuri, seria de putere ia forma cea mai simplă

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2 } + a_ {3} x ^ {3} + \ cdots.}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2 } + a_ {3} x ^ {3} + \ cdots.}

Din această formă este evident că seriile de putere sunt extensii ale polinoamelor .

Seriile de putere sunt tratate în primul rând în analiza matematică, dar joacă, de asemenea, un rol important în combinatorică (ca serie formală de putere și cu rolul de a genera funcții ) și în ingineria electrică (cu numele de transformată zeta ). Notarea zecimală familiară pentru numerele reale dintre și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ putem considera un exemplu de serie de puteri cu argumentul variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ fixat la valoarea 1/10 (ca notația zecimală pentru numere întregi putem considera un caz particular de polinom). Mai mult, conceptul numărului p-adic în teoria numerelor este strâns legat de cel al unei serii de putere.

Exemple

Orice polinom poate fi ușor văzut ca o serie de puteri în jurul oricărui centru $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , cu o infinitate de coeficienți egală cu zero. De exemplu polinomul $\,f(x)=x^{2}+2x+3$ ${\ displaystyle \, f (x) = x ^ {2} + 2x + 3}$ $\, f (x) = x ^ 2 + 2x + 3$ poate fi rescris ca o serie de putere centrată $c=0$ ${\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$

f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\ldots

{\ displaystyle f (x) = 3 + 2x + 1x ^ {2} + 0x ^ {3} + 0x ^ {4} + \ ldots}

f (x) = 3 + 2 x + 1 x ^ 2 + 0 x ^ 3 + 0 x ^ 4 + \ ldots

sau ca o serie cu centru $c=1$ ${\ displaystyle c = 1}$ $c = 1$

f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\ldots

{\ displaystyle f (x) = 6 + 4 (x-1) +1 (x-1) ^ {2} +0 (x-1) ^ {3} +0 (x-1) ^ {4} + \ ldots}

f (x) = 6 + 4 (x-1) + 1 (x-1) ^ 2 + 0 (x-1) ^ 3 + 0 (x-1) ^ 4 + \ ldots

sau din nou ca o serie cu un centru notat cu unul generic $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . O expresie precum „polinoame de grad infinit” ar putea fi de asemenea folosită pentru seriile de putere, o expresie care este doar sugestivă, deoarece seriile de putere nu sunt polinoame.

Formula pentru seria geometrică

{\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots

{\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ {n} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ ldots}

\ frac {1} {1-x} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ ldots

,

valabil pentru $|x|<1$ ${\ displaystyle | x | <1}$ $| x | <1$ , constituie unul dintre cele mai importante exemple de serii de putere; alta este dată de formula funcției exponențiale

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots

{\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2 }} {2!}} + {\ Frac {x ^ {3}} {3!}} + \ Ldots}

e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n!} = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} { 3!} + \ Ldots

.

Acestea sunt, de asemenea, exemple din seria Taylor . Cu toate acestea, există și serii de puteri care nu sunt serii Taylor de nicio funcție; de exemplu

\sum _{n=0}^{\infty }n!x^{n}=1+x+2!x^{2}+3!x^{3}+\ldots

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} n! x ^ {n} = 1 + x + 2! x ^ {2} +3! x ^ {3} + \ ldots}

\ sum_ {n = 0} ^ \ infty n! x ^ n = 1 + x + 2! x ^ 2 + 3! x ^ 3 + \ ldots

.

O serie în care apar puterile negative ale variabilei nu este considerată o serie de puteri; de exemplu $1+x^{-1}+x^{-2}+\ldots$ ${\ displaystyle 1 + x ^ {- 1} + x ^ {- 2} + \ ldots}$ $1 + x ^ {- 1} + x ^ {- 2} + \ ldots$ nu face parte din setul de serii de putere; face parte dintr-un alt set de serii, cel din seria lui Laurent . În mod similar, seriile în care apar termeni cu puteri fracționare ale variabilei, cum ar fi, nu sunt admise în seria de putere $x^{1/2}$ ${\ displaystyle x ^ {1/2}}$ $x ^ {{1/2}}$ ; ele constituie ansamblul seriei Puisieux . Observăm în mod explicit că coeficienții $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ nu pot depinde de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ : deci, de exemplu, următoarea expresie:

\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\ldots

{\ displaystyle \ sin (x) x + \ sin (2x) x ^ {2} + \ sin (3x) x ^ {3} + \ ldots}

\ sin (x) x + \ sin (2x) x ^ 2 + \ sin (3x) x ^ 3 + \ ldots

nu este considerat o serie de puteri.

Raza de convergență

Același subiect în detaliu: Raza de convergență .

O serie de puteri

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ left (xc \ right) ^ {n}}

f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n \ left (x-c \ right) ^ n

converge pentru unele valori ale variabilei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (cel puțin pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ = $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ ) și poate diferi pentru alții. Există un număr $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ cu $0\leq R\leq +\infty$ ${\ displaystyle 0 \ leq R \ leq + \ infty}$ ${\ displaystyle 0 \ leq R \ leq + \ infty}$ astfel încât seria converge când $|x-c|<R$ ${\ displaystyle | xc | <R}$ ${\ displaystyle | x-c | <R}$ și diverg când $|x-c|>R$ ${\ displaystyle | xc |> R}$ ${\ displaystyle | x-c |> R}$ . Acest număr $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ se numește raza de convergență a seriei de putere și pentru fiecare serie este dată de formula Cauchy-Hadamard pentru raza de convergență:

R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},

{\ displaystyle R ^ {- 1} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}

{\ displaystyle R ^ {- 1} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}

Aici $\limsup$ ${\ displaystyle \ limsup}$ $\ limsup$ denotă limita superioară . O formulă mai puțin generală, dar mai simplă este următoarea (formula lui D'Alembert):

R^{-1}=\lim _{n\to \infty }\,{\frac {|a_{n+1}|}{|{a_{n}}|}}.

{\ displaystyle R ^ {- 1} = \ lim _ {n \ to \ infty} \, {\ frac {| a_ {n + 1} |} {| {a_ {n}} |}}.}

{\ displaystyle R ^ {- 1} = \ lim _ {n \ to \ infty} \, {\ frac {| a_ {n + 1} |} {| {a_ {n}} |}}.}

Cu toate acestea, această formulă se aplică numai dacă există limita la al doilea membru.

Seria converge absolut pentru $|x-c|<R$ ${\ displaystyle | xc | <R}$ ${\ displaystyle | x-c | <R}$ și converge total (și, prin urmare, uniform ) pe fiecare subset compact al discului $\left\{x:|x-c|<R\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {x: | xc | <R \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {x: | x-c | <R \ right \}}$ .

Pentru $|x-c|=R$ ${\ displaystyle | xc | = R}$ ${\ displaystyle | x-c | = R}$ nu există nicio afirmație generală cu privire la convergența sau altfel a seriei. Cu toate acestea, avem teorema lui Abel care afirmă că dacă seria converge într-un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , apoi converge uniform în fiecare punct aparținând segmentului extremelor $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Și .

Operațiuni pe seriile de putere

Adunare si scadere

Adunarea și scăderea a două serii

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n}}

f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n (x-c) ^ n

g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}

{\ displaystyle g (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} (xc) ^ {n}}

g (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n (x-c) ^ n

sunt definite ca

(f\pm g)(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.

{\ displaystyle (f \ pm g) (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (a_ {n} \ pm b_ {n}) (xc) ^ {n}.}

(f \ pm g) (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a_n \ pm b_n) (x-c) ^ n.

Dacă seriile inițiale au raze de convergență $R_{f},R_{g}>0$ ${\ displaystyle R_ {f}, R_ {g}> 0}$ $R_f, R_g> 0$ nu nul, seria $f+g$ ${\ displaystyle f + g}$ $f + g$ are raza de convergență $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ nu nul, din moment ce

R\geq R'=\min\{R_{f},R_{g}\}.

{\ displaystyle R \ geq R '= \ min \ {R_ {f}, R_ {g} \}.}

R \ geq R '= \ min \ {R_f, R_g \}.

Serialul $f+g$ ${\ displaystyle f + g}$ $f + g$ reprezintă de fapt pe discul de rază ${R.}^{'}$ ${\ displaystyle R '}$ $R '$ suma celor două funcții inițiale:

(f+g)(x)=f(x)+g(x).\,\!

{\ displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x). \, \!}

(f + g) (x) = f (x) + g (x). \, \!

Se poate întâmpla ca raza de convergență $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este mai mare decât ${R.}^{'}$ ${\ displaystyle R '}$ $R '$ .

Multiplicare

În mod similar, produsul a două serii este definit ca:

(f\cdot g)(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)

{\ displaystyle (f \ cdot g) (x) = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n} \ right) \ cdot \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} (xc) ^ {n} \ right)}

(f \ cdot g) (x) = \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n (xc) ^ n \ right) \ cdot \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n (xc ) ^ n \ dreapta)

=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}

{\ displaystyle = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {i} b_ {j} (xc) ^ {i + j}}

= \ sum_ {i = 0} ^ \ infty \ sum_ {j = 0} ^ \ infty a_i b_j (x-c) ^ {i + j}

=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}

{\ displaystyle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni} \ right) (xc) ^ {n} }

= \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left (\ sum_ {i = 0} ^ n a_i b_ {n-i} \ right) (x-c) ^ n

.

Secvența constând din noii coeficienți:

m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}

{\ displaystyle m_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni}}

m_n = \ sum_ {i = 0} ^ n a_i b_ {n-i}

se numește convoluție sau produs Cauchy al secvențelor $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ Și $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ $\ {b_ {n} \}$ .

În ceea ce privește suma, seria $f\cdot g$ ${\ displaystyle f \ cdot g}$ $f \ cdot g$ are o rază de convergență mai mare sau egală cu minimul razelor celor două serii, iar în acest disc este valabil

(f\cdot g)(z)=f(z)g(z).

{\ displaystyle (f \ cdot g) (z) = f (z) g (z).}

(f \ cdot g) (z) = f (z) g (z).

Diferențierea și integrarea

Derivatul unei serii

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ left (xc \ right) ^ {n}}

f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n \ left (x-c \ right) ^ n

este definit ca seria

f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)\left(x-c\right)^{n}.

{\ displaystyle f '(x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} n \ left (xc \ right) ^ {n-1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n + 1} (n + 1) \ left (xc \ right) ^ {n}.}

f '(x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n n \ left (xc \ right) ^ {n-1} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_ {n + 1} (n +1) \ left (xc \ right) ^ n.

Cele două serii au aceeași rază de convergență $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . În raza discului $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este efectiv diferențiat (într- un sens complex dacă este luat în considerare asupra complexelor) și derivatul său este propriu-zis $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ .

În mod similar, o integrală a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este definit ca

\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+C.

{\ displaystyle \ int f (x) \, dx = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n} \ left (xc \ right) ^ {n + 1}} {n +1}} + C.}

\ int f (x) \, dx = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {a_n \ left (x-c \ right) ^ {n + 1}} {n + 1} + C.

Are aceeași rază de convergență ca $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , iar în interiorul discului este o primitivă a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Funcții analitice

Același subiect în detaliu: Funcția analitică .

O funcție f definită pe un subset deschis $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ este analitic dacă poate fi reprezentat local ca o serie de puteri. Aceasta înseamnă fiecare număr $a\in U$ ${\ displaystyle a \ în U}$ ${\ displaystyle a \ în U}$ Are o deschidere rotundă $V\subseteq U$ ${\ displaystyle V \ subseteq U}$ ${\ displaystyle V \ subseteq U}$ , astfel încât există o serie de puteri cu centru $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ care converge spre $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pentru fiecare $x\in V$ ${\ displaystyle x \ în V}$ ${\ displaystyle x \ în V}$ .

Fiecare serie de putere cu rază de convergență pozitivă oferă o funcție analitică la interiorul regiunii sale de convergență. Fiecare funcție holomorfă este analitică complexă. Sumele și produsele funcțiilor analitice sunt analitice; funcțiile analitice constau și din cotați dacă numitorul este diferit de zero.

Dacă o funcție este analitică, atunci ea poate fi diferențiată nelimitat, în timp ce în cazul real viceversa nu este adevărată în general. Pentru o funcție analitică, coeficienții $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ poate fi calculat folosind relația

a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {f ^ {\ left (n \ right)} \ left (c \ right)} {n!}}}

a_n = \ frac {f ^ {\ left (n \ right)} \ left (c \ right)} {n!}

unde este $f^{(n)}(c)$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (c)}$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (c)}$ denotă derivatul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea a funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în sens $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Acest lucru se exprimă, de asemenea, spunând că fiecare funcție analitică este reprezentată local de dezvoltarea sa Taylor .

Forma globală a unei funcții analitice este complet determinată de comportamentul său local în următorul sens: dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt două funcții analitice definite pe același set deschis conectat $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ iar dacă există un element $c\in U$ ${\ displaystyle c \ în U}$ ${\ displaystyle c \ în U}$ astfel încât $f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (c) = g ^ {(n)} (c)}$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (c) = g ^ {(n)} (c)}$ pentru fiecare $n\geq 0$ ${\ displaystyle n \ geq 0}$ $n \ geq 0$ , asa de $f(x)=g(x)$ ${\ displaystyle f (x) = g (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = g (x)}$ pentru fiecare $x\in U$ ${\ displaystyle x \ în U}$ $x \ în U$ .

Dacă se dă o serie de puteri cu rază de convergență $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ putem considera continuările analitice ale seriei, adică funcțiile analitice $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ care sunt definite pe domenii mai mari decât $\left\{x:|x-c|<r\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {x: | xc | <r \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {x: | x-c | <r \ right \}}$ și care coincid cu seria de putere dată pe acest set. Numarul $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este maximă în următorul sens: există întotdeauna un număr complex $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu $|x-a|=r$ ${\ displaystyle | xa | = r}$ ${\ displaystyle | x-a | = r}$ astfel încât nici o continuare analitică a seriei nu poate fi definită în ea.

Extinderea în serie a puterii funcției inverse a unei funcții analitice poate fi determinată folosind teorema de inversare a lui Lagrange .

Seria formală de puteri

Același subiect în detaliu: seria formală de putere .

Noțiunea de serie formală de puteri este proprie algebrei și a fost introdusă pentru a studia proprietățile algebrice ale seriilor, fără a trata întrebări referitoare la limite și convergențe. Coeficienții unei serii formale nu sunt neapărat numere reale sau complexe, ci mai general numere aparținând unui inel .

În ultimii ani, seriile formale de putere s-au dovedit a fi de mare folos în combinatorică .

Seria de putere a mai multor variabile

Functia

z=Re(cos(x+iy))

{\ displaystyle z = Re (cos (x + iy))}

z = Re (cos (x + iy))

Expansiunea din seria Taylor a funcției trunchiate de mai sus la al patrulea termen

O serie de puteri de mai multe variabile este definită ca o serie a formei

f(x_{1},...,x_{n})=\sum _{j_{1},...,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},...,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},

{\ displaystyle f (x_ {1}, ..., x_ {n}) = \ sum _ {j_ {1}, ..., j_ {n} = 0} ^ {\ infty} a_ {j_ {1 }, ..., j_ {n}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left (x_ {k} -c_ {k} \ right) ^ {j_ {k}},}

f (x_1, ..., x_n) = \ sum_ {j_1, ..., j_n = 0} ^ {\ infty} a_ {j_1, ..., j_n} \ prod_ {k = 1} ^ n \ left (x_k - c_k \ right) ^ {j_k},

unde este $j=(j_{1},\ldots ,j_{n})$ ${\ displaystyle j = (j_ {1}, \ ldots, j_ {n})}$ $j = (j_1, \ ldots, j_n)$ este o succesiune de numere naturale, coeficienții $a_{j_{1},\ldots ,j_{n}}$ ${\ displaystyle a_ {j_ {1}, \ ldots, j_ {n}}}$ $a_ {j_1, \ ldots, j_n}$ sunt numere reale sau complexe, în timp ce centrul $c=(c_{1},\ldots ,c_{n})$ ${\ displaystyle c = (c_ {1}, \ ldots, c_ {n})}$ $c = (c_1, \ ldots, c_n)$ și subiectul $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $x = (x_1, \ ldots, x_n)$ sunt vectori în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ sau de $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ mathbb C} ^ {n}$ . Folosind notația mai concisă care folosește multi-indici putem scrie:

f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {n}} a _ {\ alpha} \ left (xc \ right) ^ {\ alpha}.}

f (x) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {N} ^ n} a _ {\ alpha} \ left (x - c \ right) ^ {\ alpha}.

Seriile multi-variabile sunt utilizate în mod obișnuit în calculul multi-variabil . Teoria unor astfel de serii este considerabil mai complicată decât cea a seriei de putere a unei singure variabile. De exemplu, regiunea convergenței absolute este acum alcătuită dintr-un set log-convex și nu un simplu interval real sau un cerc de convergență. Mai mult, în cadrul acestei regiuni de convergență este posibil să se facă diferențieri și integrări sub semnul seriei, la fel cum este posibil să se facă cu seria de putere a unei singure variabile.

Ordinul unui zero

O serie de puteri

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}(x-c)^{n}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} (xc) ^ {n}}

f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_n (x-c) ^ n

este astfel încât $f(c)=0$ ${\ displaystyle f (c) = 0}$ $f (c) = 0$ dacă și numai dacă $a_{0}=0$ ${\ displaystyle a_ {0} = 0}$ $a_0 = 0$ . Dacă raza degetului nu este zero, punctul $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este un zero al funcției analitice $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Dacă cel puțin un coeficient $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ este diferit de zero (adică dacă seria nu este seria nulă), acest zero este izolat și are o ordine , dată de minim $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ astfel încât $a_{k}\neq 0$ ${\ displaystyle a_ {k} \ neq 0}$ $a_k \ neq 0$ .

Definiția ordinii este aceeași pentru o serie de mai multe variabile: în acest caz se ia minimul $|\alpha |$ ${\ displaystyle | \ alpha |}$ $| \ alfa |$ printre toate indexurile multiple $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ pentru care $a_{\alpha }\neq 0$ ${\ displaystyle a _ {\ alpha} \ neq 0}$ $a_ \ alpha \ neq 0$ .

Ordinea unui zero este analogă cu ordinea unui pol dintr-o serie Laurent .

Notă

^ Ar fi mai corect să scriem: $f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}$ ${\ displaystyle f (x) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ left (xc \ right) ^ {n}}$ $f (x) = a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n \ left (x-c \ right) ^ n$ cu toate acestea, se preferă adesea simplificarea notării cu presupunerea $0^{0}=1$ ${\ displaystyle 0 ^ {0} = 1}$ $0 ^ 0 = 1$ , poziția nu este valabilă în general.