Teorema lui Cauchy-Hadamard

În matematică , în special în analiza complexă , teorema Cauchy-Hadamard sau formula Cauchy-Hadamard , numită după Augustin-Louis Cauchy și Jacques Hadamard , descrie raza de convergență a unei serii de puteri .

A fost publicat în 1821 de Cauchy, dar a rămas relativ necunoscut până când Hadamard a redescoperit-o. ^[1] Prima publicație a teoremei lui Hadamard datează din 1888. ^[2]

Teorema

Având în vedere o serie formală de puteri într-o variabilă complexă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ a formei:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (za) ^ {n}}

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (z-a) ^ {n}}

cu $a,c_{n}\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle a, c_ {n} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle a, c_ {n} \ in \ mathbb {C}}$ , raza de convergență a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în sens $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este dat de:

{\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\big (}|c_{n}|^{1/n}{\big )}

{\ displaystyle {\ frac {1} {R}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ big (} | c_ {n} | ^ {1 / n} {\ big)}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {R}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ big (} | c_ {n} | ^ {1 / n} {\ big)}}

unde este $\limsup$ ${\ displaystyle \ limsup}$ $\ limsup$ denotă limita superioară , adică limita extremei superioare a valorilor secvenței după a n-a poziție pentru n care tinde spre infinit. Dacă termenii secvenței sunt nelimitați, astfel încât limita superioară este ∞, atunci seria de putere nu converge aproape de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , în timp ce dacă limita superioară este 0, atunci raza de convergență este ∞, adică seria converge în întregul plan complex.

Demonstrație

Să presupunem fără pierderea generalității că $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ . Vrem să arătăm că seria de putere $\sum c_{n}z^{n}$ ${\ displaystyle \ sum c_ {n} z ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum c_ {n} z ^ {n}}$ converge pentru $|z|<R$ ${\ displaystyle | z | <R}$ ${\ displaystyle | z | <R}$ și divergă pentru $|z|>R$ ${\ displaystyle | z |> R}$ $| z |> R$ .

Este $|z|<R$ ${\ displaystyle | z | <R}$ ${\ displaystyle | z | <R}$ Și $t=1/R$ ${\ displaystyle t = 1 / R}$ ${\ displaystyle t = 1 / R}$ non-zero și infinit. Pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ există doar un număr finit de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât:

{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\geq t+\epsilon

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} \ geq t + \ epsilon}

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} \ geq t + \ epsilon}

Are asta $|c_{n}|\leq (t+\epsilon )^{n}$ ${\ displaystyle | c_ {n} | \ leq (t + \ epsilon) ^ {n}}$ ${\ displaystyle | c_ {n} | \ leq (t + \ epsilon) ^ {n}}$ pentru toți $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ cu excepția unui număr finit dintre ele: de aici și seria $\sum c_{n}z^{n}$ ${\ displaystyle \ sum c_ {n} z ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum c_ {n} z ^ {n}}$ converge dacă $|z|<1/(t+\epsilon )$ ${\ displaystyle | z | <1 / (t + \ epsilon)}$ ${\ displaystyle | z | <1 / (t + \ epsilon)}$ .

Pe de altă parte, pentru $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ da ai $|c_{n}|\geq (t-\epsilon )^{n}$ ${\ displaystyle | c_ {n} | \ geq (t- \ epsilon) ^ {n}}$ ${\ displaystyle | c_ {n} | \ geq (t- \ epsilon) ^ {n}}$ pentru infiniti $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ , astfel încât dacă:

|z|=1/(t-\epsilon )>R

{\ displaystyle | z | = 1 / (t- \ epsilon)> R}

{\ displaystyle | z | = 1 / (t- \ epsilon)> R}

observăm că seria nu poate converge din moment ce al n - lea său termen nu tinde la 0. Cazul în care $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este zero sau infinit urmează cu ușurință. ^[3]

Cazul mai multor variabile complexe

Este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ un multi-index (un n- tuplu de numere întregi), cu $|\alpha |=\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}$ ${\ displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n}}$ . Atunci $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ converge cu raza de convergență $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ (care este un multi-index) la seria de putere:

$\sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }(z-a)^{\alpha }:=\sum _{\alpha _{1}\geq 0,\ldots ,\alpha _{n}\geq 0}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}(z_{1}-a_{1})^{\alpha _{1}}\ldots (z_{n}-a_{n})^{\alpha _{n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha \ geq 0} c _ {\ alpha} (za) ^ {\ alpha}: = \ sum _ {\ alpha _ {1} \ geq 0, \ ldots, \ alpha _ { n} \ geq 0} c _ {\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}} (z_ {1} -a_ {1}) ^ {\ alpha _ {1}} \ ldots (z_ {n} -a_ {n}) ^ {\ alpha _ {n}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha \ geq 0} c _ {\ alpha} (za) ^ {\ alpha}: = \ sum _ {\ alpha _ {1} \ geq 0, \ ldots, \ alpha _ { n} \ geq 0} c _ {\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}} (z_ {1} -a_ {1}) ^ {\ alpha _ {1}} \ ldots (z_ {n} -a_ {n}) ^ {\ alpha _ {n}}}$

dacă și numai dacă:

$\lim _{|\alpha |\to \infty }{\sqrt[{|\alpha |}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1$ ${\ displaystyle \ lim _ {| \ alpha | \ to \ infty} {\ sqrt [{| \ alpha |}] {| c _ {\ alpha} | \ rho ^ {\ alpha}}} = 1}$ ${\ displaystyle \ lim _ {| \ alpha | \ to \ infty} {\ sqrt [{| \ alpha |}] {| c _ {\ alpha} | \ rho ^ {\ alpha}}} = 1}$

O dovadă poate fi găsită în Introducerea BVShabat în analiza complexă Partea II - Funcții în mai multe variabile .

Notă

^ Umberto Bottazzini, The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass , Springer-Verlag, 1986, pp. 116 -117, ISBN 978-0-387-96302-0 . .
^ J. Hadamard , Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable , in CR Acad. Sci. Paris , vol. 106, pp. 259-262. .
^ Serge Lang, Analiza complexă: ediția a patra , Springer, 2002, pp. 55-56, ISBN 0-387-98592-1 . Texte postuniversitare în matematică

Bibliografie

( EN ) L. Hörmander, O introducere la analiza complexă în mai multe variabile , North-Holland (1973) pp. Capitolul. 2.4

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) ED Solomentsev, Teorema lui Cauchy-Hadamard , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Teorema lui Cauchy-Hadamard , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Umberto Bottazzini, The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass , Springer-Verlag, 1986, pp. 116 -117, ISBN 978-0-387-96302-0 . .

[2] J. Hadamard , Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable , in CR Acad. Sci. Paris , vol. 106, pp. 259-262. .

[3] Serge Lang, Analiza complexă: ediția a patra , Springer, 2002, pp. 55-56, ISBN 0-387-98592-1 . Texte postuniversitare în matematică

[1]

[2]

[3]