Ecuația diferenței

Ecuațiile de diferență reprezintă formularea discretă a omologului continuu, constând din ecuații diferențiale ordinare (ODE), dacă a fost efectuată o discretizare a domeniului de definiție a funcției necunoscute care constituie soluția la ecuația dată.

Introducere în problemă

Să luăm în considerare ecuațiile de ordine diferențiale obișnuite $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , în forma generală implicită (împreună cu cel corespunzător $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ condiții inițiale):

G\left(t,y(t),y'(t),...,y^{(n)}(t)\right)=0\qquad (1)

{\ displaystyle G \ left (t, y (t), y '(t), ..., y ^ {(n)} (t) \ right) = 0 \ qquad (1)}

{\ displaystyle G \ left (t, y (t), y '(t), ..., y ^ {(n)} (t) \ right) = 0 \ qquad (1)}

a cărei soluție este reprezentată de funcția necunoscută $y(t):I\to J$ ${\ displaystyle y (t): I \ to J}$ ${\ displaystyle y (t): I \ to J}$ , definit într-un domeniu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Conținutul sau mai multe coincide cu setul de numere reale și valorile dintr-un codomain $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ , conținută de asemenea sau cel mult coincidentă cu setul de numere reale . Astfel încât $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ constituie soluția $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ , pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ în general $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , aceasta trebuie să aparțină în mod necesar spațiului funcțional $C^{n}(I)$ ${\ displaystyle C ^ {n} (I)}$ ${\ displaystyle C ^ {n} (I)}$ , definit în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , și în acesta continuu și derivabil (până la comandă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ).

Acum vrem să ne interesăm să găsim soluția $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ a ecuației diferențiale $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ numai într-un subset al domeniului $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ definirea aceluiași sau numai pentru anumite valori ale $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Un caz tipic este în cazul în care punctele în care doriți să știți $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ sunt la fel de distanțate între ele: acest lucru este echivalent cu efectuarea unei descompuneri $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ periodic al domeniului $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ de tipul $D=(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n},\dots )$ ${\ displaystyle D = (t_ {1}, t_ {2}, \ dots, t_ {n}, \ dots)}$ ${\ displaystyle D = (t_ {1}, t_ {2}, \ dots, t_ {n}, \ dots)}$ , în care vei avea $t_{i}-t_{i-1}=T$ ${\ displaystyle t_ {i} -t_ {i-1} = T}$ ${\ displaystyle t_ {i} -t_ {i-1} = T}$ , pentru fiecare $i=1,2,\dots ,n,\dots$ ${\ displaystyle i = 1,2, \ dots, n, \ dots}$ ${\ displaystyle i = 1,2, \ dots, n, \ dots}$ (unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este perioada de descompunere). Desigur, în funcție de ce $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ indiferent dacă este limitat sau nu, așa va fi și el $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ : în primul caz, $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ va fi un set finit (ordonat), în timp ce în cel de-al doilea caz va fi un set numeros (ordonat). Este clar atunci că putem omite variabila $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ în indicarea întregului $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și se referă la elementele ordonate individuale ale acestora din urmă printr-un indice întreg $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ care îi identifică poziția în interiorul său, adică presupunând că o include și (cu excepția traducerilor simple) în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , vei avea $t_{k}=kT$ ${\ displaystyle t_ {k} = kT}$ ${\ displaystyle t_ {k} = kT}$ . Prin urmare, am obținut secvența $y[k]:D\to J$ ${\ displaystyle y [k]: D \ to J}$ ${\ displaystyle y [k]: D \ to J}$ .

Ecuații de diferență finită de ordinul întâi

Același subiect în detaliu: metoda diferenței finite .

Următorul pas este „traducerea” discretă a operațiilor de derivare a funcției necunoscute $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ care apare în $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ . În acest sens, să luăm prima derivată ca exemplu și să luăm în considerare punctul generic $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ aparținând $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , despre care presupunem că este, de asemenea, un element al $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Fiind $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ aparținând $C^{n}(I)$ ${\ displaystyle C ^ {n} (I)}$ ${\ displaystyle C ^ {n} (I)}$ , va fi diferențiat în $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , în care vor exista, derivate finite, stânga și dreapta, egale în mod natural unul cu celălalt. Prin urmare, vom avea:

y'(t_{0})=\lim _{t{\rightarrow }t_{0}^{+}}{\frac {y(t)-y(t_{0})}{t-t_{0}}}=\lim _{t{\rightarrow }t_{0}^{-}}{\frac {y(t_{0})-y(t)}{t_{0}-t}}\qquad (2)

{\ displaystyle y '(t_ {0}) = \ lim _ {t {\ rightarrow} t_ {0} ^ {+}} {\ frac {y (t) -y (t_ {0})} {t- t_ {0}}} = \ lim _ {t {\ rightarrow} t_ {0} ^ {-}} {\ frac {y (t_ {0}) - y (t)} {t_ {0} -t} } \ qquad (2)}

{\ displaystyle y '(t_ {0}) = \ lim _ {t {\ rightarrow} t_ {0} ^ {+}} {\ frac {y (t) -y (t_ {0})} {t- t_ {0}}} = \ lim _ {t {\ rightarrow} t_ {0} ^ {-}} {\ frac {y (t_ {0}) - y (t)} {t_ {0} -t} } \ qquad (2)}

Aproximăm prima derivată cu raportul său incremental corect, adică dacă $t_{1}=t_{0}+T$ ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {0} + T}$ ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {0} + T}$ , poti sa scrii:

y'(t_{0})\approx {\frac {y(t_{1})-y(t_{0})}{T}}\qquad (3)

{\ displaystyle y '(t_ {0}) \ approx {\ frac {y (t_ {1}) - y (t_ {0})} {T}} \ qquad (3)}

{\ displaystyle y '(t_ {0}) \ approx {\ frac {y (t_ {1}) - y (t_ {0})} {T}} \ qquad (3)}

Generalizarea $(3)$ ${\ displaystyle (3)}$ ${\ displaystyle (3)}$ în orice moment $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ aparținând $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ ( $t=kT$ ${\ displaystyle t = kT}$ ${\ displaystyle t = kT}$ ), poti sa scrii:

y'(t=kT)\approx {\frac {y[k+1]-y[k]}{T}}\qquad (4)

{\ displaystyle y '(t = kT) \ approx {\ frac {y [k + 1] -y [k]} {T}} \ qquad (4)}

{\ displaystyle y '(t = kT) \ approx {\ frac {y [k + 1] -y [k]} {T}} \ qquad (4)}

Acolo $(4)$ ${\ displaystyle (4)}$ $(4)$ reprezintă diferența finită înainte de înainte de $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ în $t=kT$ ${\ displaystyle t = kT}$ ${\ displaystyle t = kT}$ ; eroarea care este comisă în aproximarea derivatei cu raportul incremental va fi în mod natural cu cât este mai mică cu atât mai mult $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este mic. Pentru ceea ce sa spus despre $(2)$ ${\ displaystyle (2)}$ $(2)$ , acum aproximăm prima derivată cu raportul său incremental stâng, adică dacă $t_{1}=t_{0}-T$ ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {0} -T}$ ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {0} -T}$ , poti sa scrii:

y'(t_{0})\approx {\frac {y(t_{0})-y(t_{1})}{T}}\qquad (5)

{\ displaystyle y '(t_ {0}) \ approx {\ frac {y (t_ {0}) - y (t_ {1})} {T}} \ qquad (5)}

{\ displaystyle y '(t_ {0}) \ approx {\ frac {y (t_ {0}) - y (t_ {1})} {T}} \ qquad (5)}

Generalizarea $(5)$ ${\ displaystyle (5)}$ $(5)$ în orice moment $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ aparținând $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ ( $t=kT$ ${\ displaystyle t = kT}$ ${\ displaystyle t = kT}$ ), poti sa scrii:

y'(t=kT)\approx {\frac {y[k]-y[k-1]}{T}}\qquad (6)

{\ displaystyle y '(t = kT) \ approx {\ frac {y [k] -y [k-1]} {T}} \ qquad (6)}

{\ displaystyle y '(t = kT) \ approx {\ frac {y [k] -y [k-1]} {T}} \ qquad (6)}

Acolo $(6)$ ${\ displaystyle (6)}$ ${\ displaystyle (6)}$ reprezintă diferența finită înainte de înapoi $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ în $t=kT$ ${\ displaystyle t = kT}$ ${\ displaystyle t = kT}$ . Formulele $(4)$ ${\ displaystyle (4)}$ $(4)$ Și $(6)$ ${\ displaystyle (6)}$ ${\ displaystyle (6)}$ sunt două modalități posibile de discretizare a operațiunii de derivare și care ne-au determinat, într-un mod natural, să exprimăm $y'(t)$ ${\ displaystyle y '(t)}$ $YT)$ în funcție de perioada de descompunere $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , și valorile $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ la punctul de derivare considerat $k T.$ ${\ displaystyle kT}$ $kT$ și în punctul imediat după (sau imediat înainte) care apare în ordonarea lui $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Prin urmare, putem, între timp, să interpretăm $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ , În cazul în care $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , în caz discret, cum ar fi:

F(k,y[k],y[k+1])=0\qquad (7)

{\ displaystyle F (k, y [k], y [k + 1]) = 0 \ qquad (7)}

{\ displaystyle F (k, y [k], y [k + 1]) = 0 \ qquad (7)}

dacă ați folosit $(4)$ ${\ displaystyle (4)}$ $(4)$ pentru a aproxima prima derivată sau ca:

F(k,y[k],y[k-1])=0\qquad (8)

{\ displaystyle F (k, y [k], y [k-1]) = 0 \ qquad (8)}

{\ displaystyle F (k, y [k], y [k-1]) = 0 \ qquad (8)}

dacă ați folosit $(6)$ ${\ displaystyle (6)}$ ${\ displaystyle (6)}$ pentru a aproxima prima derivată. Formulele $(7)$ ${\ displaystyle (7)}$ ${\ displaystyle (7)}$ Și $(8)$ ${\ displaystyle (8)}$ ${\ displaystyle (8)}$ ele reprezintă două ecuații de diferență finită de ordinul întâi, sub formă implicită. Rețineți că, la fel ca în cazul continuu, avem nevoie de o condiție inițială $y(t_{0})$ ${\ displaystyle y (t_ {0})}$ $y (t_ {0})$ pentru a rezolva o ODE generică de primă ordine, avem nevoie de o condiție inițială în același mod $y[m]$ ${\ displaystyle y [m]}$ ${\ displaystyle y [m]}$ pentru a rezolva o ecuație generică de diferență finită de ordinul întâi. Ecuații similare pot fi rezolvate într-un mod foarte simplu; să vedem un exemplu:

3y[n]+y[n-1]=0\ {\mbox{per}}\ n\geq 0\qquad (9)

{\ displaystyle 3y [n] + y [n-1] = 0 \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ qquad (9)}

{\ displaystyle 3y [n] + y [n-1] = 0 \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ qquad (9)}

Este o ecuație de diferență finită, de ordinul întâi, omogenă, liniară, cu coeficienți constanți (nu depind de variabila independentă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ). Rețineți că am limitat în mod explicit studiul soluției de $(9)$ ${\ displaystyle (9)}$ ${\ displaystyle (9)}$ la acele valori ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ aparținând $\mathbb {N} _{0}^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0} ^ {+}}$ . Să o luăm ca o condiție inițială $y[-1]=1$ ${\ displaystyle y [-1] = 1}$ ${\ displaystyle y [-1] = 1}$ și continuăm recursiv:

3y[0]+y[-1]=0\Rightarrow y[0]=-{\frac {1}{3}}

{\ displaystyle 3y [0] + y [-1] = 0 \ Rightarrow y [0] = - {\ frac {1} {3}}}

{\ displaystyle 3y [0] + y [-1] = 0 \ Rightarrow y [0] = - {\ frac {1} {3}}}

3y[1]+y[0]=0\Rightarrow y[1]={\frac {1}{9}}

{\ displaystyle 3y [1] + y [0] = 0 \ Rightarrow y [1] = {\ frac {1} {9}}}

{\ displaystyle 3y [1] + y [0] = 0 \ Rightarrow y [1] = {\ frac {1} {9}}}

3y[2]+y[1]=0\Rightarrow y[2]=-{\frac {1}{27}}

{\ displaystyle 3y [2] + y [1] = 0 \ Rightarrow y [2] = - {\ frac {1} {27}}}

{\ displaystyle 3y [2] + y [1] = 0 \ Rightarrow y [2] = - {\ frac {1} {27}}}

\dots

{\ displaystyle \ dots}

{\ displaystyle \ dots}

Putem obține deja o formă explicită pentru soluție $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ , adică $y[n]={\tfrac {1}{(-3)^{n+1}}}$ ${\ displaystyle y [n] = {\ tfrac {1} {(- 3) ^ {n + 1}}}}$ ${\ displaystyle y [n] = {\ tfrac {1} {(- 3) ^ {n + 1}}}}$ , pentru $n\geq 0$ ${\ displaystyle n \ geq 0}$ ${\ displaystyle n \ geq 0}$ , și care reprezintă de fapt o succesiune în termeni de semn alternativ și convergent la per $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ tinde să $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ . Rădăcina ecuației algebrice omogene asociate cu $(9)$ ${\ displaystyle (9)}$ ${\ displaystyle (9)}$ , adică $3h+1=0\Rightarrow h=-1/3$ ${\ displaystyle 3h + 1 = 0 \ Rightarrow h = -1 / 3}$ ${\ displaystyle 3h + 1 = 0 \ Rightarrow h = -1 / 3}$ , este de obicei numit polul ecuației. Toate ecuațiile diferenței, coeficienții liniari și constanți, de orice ordin, odată cunoscute toate condițiile inițiale, pot fi rezolvate recursiv. Pentru a finaliza "discretizarea" fișierului $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ , trebuie să discretizăm derivatele rămase: acest lucru se face într-un mod similar cu ceea ce am văzut pentru aproximarea primei derivate, utilizând rapoartele incrementale $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -alea din derivată $(k-1)$ ${\ displaystyle (k-1)}$ $(k-1)$ -alea în mod progresiv. Este astfel posibil să scriem forma implicită a unei ecuații de diferență finită generică, de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

F(k,y[k],y[k-1],...,y[k-n])=0\qquad (10)

{\ displaystyle F (k, y [k], y [k-1], ..., y [kn]) = 0 \ qquad (10)}

{\ displaystyle F (k, y [k], y [k-1], ..., y [k-n]) = 0 \ qquad (10)}

presupunând că folosim întotdeauna primele diferențe finite înapoi pentru aproximarea derivatelor.

Ecuațiile de diferență sunt introduse într-un mod natural în studiul fenomenelor care apar periodic (sau, în orice caz, care pot fi aproximate sau descrise cu modele matematice discrete); în special, se pretează foarte bine la descrierea comportamentului dinamic al sistemelor discrete în timp sau discrete în spațiu în procesarea semnalului și controalele automate. Pentru aceste cazuri, ecuațiile liniare de diferență finită și coeficienții constanți sunt deosebit de importanți: aceste proprietăți, de fapt, reflectă în mod natural caracteristicile sistemului din care ecuația (sau sistemul de ecuații) reprezintă modelul matematic. Liniaritatea derivă din proprietatea omonimă a sistemului descris, în timp ce constanța coeficienților în raport cu timpul (discret) derivă din invariabilitatea parametrilor sistemului pe măsură ce timpul variază. Un exemplu clasic este un simulator discret al unei ramuri RC simple: alegând tensiunea aplicată pe ramură ca mărime de intrare și tensiunea măsurată pe capacitate ca mărime de ieșire, este posibilă discretizarea ecuației diferențiale care modelează matematic acest lucru simplu sistem, pentru a-l reduce la o ecuație de diferență finită, de ordinul întâi, ușor de gestionat de un computer, de obicei un software CAD pentru proiectarea circuitelor electronice. Presupunând componentele liniare și staționare R și C, aceasta va fi, de asemenea, ecuația diferențială descriptivă și, prin urmare, implementarea directă discretă a acesteia.

Ecuații de diferență finită, liniare și omogene

O ecuație de diferență finită generică, de ordine $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , liniar, cu coeficienți constanți și omogeni, poate fi scris sub formă implicită ca:

a_{m}y[n-m]+a_{m-1}y[n-(m-1)]+...+a_{1}y[n-1]+a_{0}y[n]=0\ {\mbox{per}}\ n\geq 0\qquad (11)

{\ displaystyle a_ {m} y [nm] + a_ {m-1} y [n- (m-1)] + ... + a_ {1} y [n-1] + a_ {0} y [ n] = 0 \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ qquad (11)}

{\ displaystyle a_ {m} y [nm] + a_ {m-1} y [n- (m-1)] + ... + a_ {1} y [n-1] + a_ {0} y [ n] = 0 \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ qquad (11)}

și ușor de redus în formă normală (în funcție, adică numai de $y[n-m]$ ${\ displaystyle y [nm]}$ ${\ displaystyle y [n-m]}$ ). Având în vedere $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ condiții inițiale $\{y[-1],...,y[-m]\}$ ${\ displaystyle \ {y [-1], ..., y [-m] \}}$ ${\ displaystyle \ {y [-1], ..., y [-m] \}}$ , puteți rezolva $(11)$ ${\ displaystyle (11)}$ ${\ displaystyle (11)}$ recursiv. Oricum, dacă comanda $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ ecuația este mai mare sau egală cu 4, este posibil să se obțină soluția ca suma modurilor naturale , adică ca suma funcțiilor adecvate ale timpului discret $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , prin căutarea rădăcinilor ecuației algebrice asociate cu $(11)$ ${\ displaystyle (11)}$ ${\ displaystyle (11)}$ ; această ecuație se obține prin substituirea diferenței finite generice $y[n-p]$ ${\ displaystyle y [np]}$ ${\ displaystyle y [n-p]}$ , o necunoscută ridicată la putere $m-p$ ${\ displaystyle mp}$ ${\ displaystyle m-p}$ , sa spunem $h^{m-p}$ ${\ displaystyle h ^ {mp}}$ ${\ displaystyle h ^ {m-p}}$ . Să luăm un exemplu:

2y[n-2]+3y[n-1]+y[n]=0\ {\mbox{con}}\ y[-1]=1,y[-2]=0\ {\mbox{per}}\ n\geq 0\qquad (12)

{\ displaystyle 2y [n-2] + 3y [n-1] + y [n] = 0 \ {\ mbox {cu}} \ y [-1] = 1, y [-2] = 0 \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ qquad (12)}

{\ displaystyle 2y [n-2] + 3y [n-1] + y [n] = 0 \ {\ mbox {cu}} \ y [-1] = 1, y [-2] = 0 \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ qquad (12)}

Ecuația algebrică asociată cu $(12)$ ${\ displaystyle (12)}$ ${\ displaystyle (12)}$ Și:

h^{2}+3h+2=0

{\ displaystyle h ^ {2} + 3h + 2 = 0}

{\ displaystyle h ^ {2} + 3h + 2 = 0}

ale cărei rădăcini sunt $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ Și $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ . Soluția generică a $(12)$ ${\ displaystyle (12)}$ ${\ displaystyle (12)}$ Așadar:

y[n]=A(-1)^{n}+B(-2)^{n}

{\ displaystyle y [n] = A (-1) ^ {n} + B (-2) ^ {n}}

{\ displaystyle y [n] = A (-1) ^ {n} + B (-2) ^ {n}}

dependent de două constante $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , care se obțin pornind de la condițiile inițiale:

y[-1]=-A-{\frac {1}{2}}B=1

{\ displaystyle y [-1] = - A - {\ frac {1} {2}} B = 1}

{\ displaystyle y [-1] = - A - {\ frac {1} {2}} B = 1}

y[-2]=A+{\frac {1}{4}}B=0

{\ displaystyle y [-2] = A + {\ frac {1} {4}} B = 0}

{\ displaystyle y [-2] = A + {\ frac {1} {4}} B = 0}

Rezolvând sistemul liniar în două ecuații și două necunoscute, obținem $A=1$ ${\ displaystyle A = 1}$ ${\ displaystyle A = 1}$ Și $B=-4$ ${\ displaystyle B = -4}$ ${\ displaystyle B = -4}$ , deci soluția este:

y[n]=(-1)^{n}-4(-2)^{n}\ {\mbox{per}}\ n\geq 0

{\ displaystyle y [n] = (- 1) ^ {n} -4 (-2) ^ {n} \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0}

{\ displaystyle y [n] = (- 1) ^ {n} -4 (-2) ^ {n} \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0}

Observăm că polii ecuației sunt $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ Și $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ , și că modurile aperiodice naturale ale soluției sunt reprezentate de $(-1)^{n}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ și din $(-2)^{n}$ ${\ displaystyle (-2) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (-2) ^ {n}}$ .

Ecuații de diferență finită, liniare și complete

Mai complex este cazul în care $(11)$ ${\ displaystyle (11)}$ ${\ displaystyle (11)}$ nu este omogen, dar are un termen cunoscut (în general, o funcție $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ , singur sau împreună cu diferențele sale finite, notați pe întregul interval în care variază $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ):

a_{m}y[n-m]+a_{m-1}y[n-(m-1)]+\dots +a_{1}y[n-1]+a_{0}y[n]=b_{r}x[n-r]+b_{r-1}x[n-(r-1)]+\dots +b_{1}x[n-1]+b_{0}x[n]=u[n]\ {\mbox{per}}\ n\geq 0\qquad (13)

{\ displaystyle a_ {m} y [nm] + a_ {m-1} y [n- (m-1)] + \ dots + a_ {1} y [n-1] + a_ {0} y [n ] = b_ {r} x [nr] + b_ {r-1} x [n- (r-1)] + \ dots + b_ {1} x [n-1] + b_ {0} x [n] = u [n] \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ qquad (13)}

{\ displaystyle a_ {m} y [nm] + a_ {m-1} y [n- (m-1)] + \ dots + a_ {1} y [n-1] + a_ {0} y [n ] = b_ {r} x [nr] + b_ {r-1} x [n- (r-1)] + \ dots + b_ {1} x [n-1] + b_ {0} x [n] = u [n] \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0 \ qquad (13)}

Prin urmare, termenul cunoscut poate fi exprimat, în general, printr-o succesiune $u[n]$ ${\ displaystyle u [n]}$ ${\ displaystyle u [n]}$ , cunoscut a priori. În funcție de forma termenului cunoscut, se utilizează tehnici similare celor utilizate pentru rezolvarea ODE neomogene. În primul rând, $(13)$ ${\ displaystyle (13)}$ $(13)$ în omogenitatea sa asociată și care se rezolvă, obținând o soluție generală; la aceasta se adaugă o soluție specială în funcție de forma de $u[n]$ ${\ displaystyle u [n]}$ ${\ displaystyle u [n]}$ . În teoria sistemelor, această descompunere are un sens fizic precis: termenul cunoscut reprezintă stresul (sau intrarea ) sistemului, iar ieșirea este secvența necunoscută care trebuie obținută ( răspunsul sistemului). Ecuația omogenă asociată cu $(13)$ ${\ displaystyle (13)}$ $(13)$ va avea ca soluție așa-numita evoluție liberă a sistemului, care depinde doar de condițiile inițiale și de polii (parametrii intrinseci) ai acestuia din urmă. Soluția particulară, pe de altă parte, constituie răspunsul forțat al sistemului, direct dependent de intrare $u[n]$ ${\ displaystyle u [n]}$ ${\ displaystyle u [n]}$ . Cu un exemplu:

2y[n]+y[n-1]=2^{n}\ {\mbox{con}}\ y[-1]=1\ {\mbox{e per}}\ n\geq 0\qquad (14)

{\ displaystyle 2y [n] + y [n-1] = 2 ^ {n} \ {\ mbox {con}} \ y [-1] = 1 \ {\ mbox {e for}} \ n \ geq 0 \ qquad (14)}

{\ displaystyle 2y [n] + y [n-1] = 2 ^ {n} \ {\ mbox {con}} \ y [-1] = 1 \ {\ mbox {e for}} \ n \ geq 0 \ qquad (14)}

Observăm că restricția intervalului peste care variază $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru căutarea soluției coincide cu proprietatea sistemului (descrisă de modelul matematic $(14)$ ${\ displaystyle (14)}$ $(14)$ ) de cauzalitate . Soluția generală a ecuației omogene asociate cu $(14)$ ${\ displaystyle (14)}$ $(14)$ Și:

y_{h}[n]=A(-{\frac {1}{2}})^{n}

{\ displaystyle y_ {h} [n] = A (- {\ frac {1} {2}}) ^ {n}}

{\ displaystyle y_ {h} [n] = A (- {\ frac {1} {2}}) ^ {n}}

cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ constantă care trebuie determinată pe baza condițiilor inițiale. Pentru a căuta o soluție specială a $(14)$ ${\ displaystyle (14)}$ $(14)$ , să încercăm să găsim una dintre forme:

y_{p}[n]=B(2)^{n}

{\ displaystyle y_ {p} [n] = B (2) ^ {n}}

{\ displaystyle y_ {p} [n] = B (2) ^ {n}}

și înlocuiți în $(14)$ ${\ displaystyle (14)}$ $(14)$ :

2B(2)^{n}+B(2)^{n-1}=2^{n}

{\ displaystyle 2B (2) ^ {n} + B (2) ^ {n-1} = 2 ^ {n}}

{\ displaystyle 2B (2) ^ {n} + B (2) ^ {n-1} = 2 ^ {n}}

de la care $B={\tfrac {2}{5}}$ ${\ displaystyle B = {\ tfrac {2} {5}}}$ ${\ displaystyle B = {\ tfrac {2} {5}}}$ și din moment ce:

y[n]=y_{h}[n]+y_{p}[n]=A(-{\frac {1}{2}})^{n}+{\frac {2}{5}}(2)^{n}

{\ displaystyle y [n] = y_ {h} [n] + y_ {p} [n] = A (- {\ frac {1} {2}}) ^ {n} + {\ frac {2} { 5}} (2) ^ {n}}

{\ displaystyle y [n] = y_ {h} [n] + y_ {p} [n] = A (- {\ frac {1} {2}}) ^ {n} + {\ frac {2} { 5}} (2) ^ {n}}

veți avea, folosind informațiile despre starea inițială $y[-1]=1$ ${\ displaystyle y [-1] = 1}$ ${\ displaystyle y [-1] = 1}$ , acea: $A=-{\tfrac {2}{5}}$ ${\ displaystyle A = - {\ tfrac {2} {5}}}$ ${\ displaystyle A = - {\ tfrac {2} {5}}}$ prin urmare:

y[n]=-{\frac {2}{5}}(-{\frac {1}{2}})^{n}+{\frac {2}{5}}(2)^{n}\ {\mbox{per}}\ n\geq 0.

{\ displaystyle y [n] = - {\ frac {2} {5}} (- {\ frac {1} {2}}) ^ {n} + {\ frac {2} {5}} (2) ^ {n} \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0.}

{\ displaystyle y [n] = - {\ frac {2} {5}} (- {\ frac {1} {2}}) ^ {n} + {\ frac {2} {5}} (2) ^ {n} \ {\ mbox {per}} \ n \ geq 0.}

Se remarcă evoluția liberă, dependentă de pol $h=-{\tfrac {1}{2}}$ ${\ displaystyle h = - {\ tfrac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle h = - {\ tfrac {1} {2}}}$ și din condiția inițială și evoluția forțată, direct dependente de intrare $u[n]=2^{n}$ ${\ displaystyle u [n] = 2 ^ {n}}$ ${\ displaystyle u [n] = 2 ^ {n}}$ .

Adăugăm că evoluția liberă a unui sistem discret în timp LTI (liniar și invariant în timp), al cărui model matematic constă deci dintr-o (sau mai multe) ecuații de diferență finită, liniară, cu coeficienți constanți, tinde asimptotic spre $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ care tinde spre infinit dacă și numai dacă toți polii săi sunt, în modul, mai mici decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ ( sistem stabil asimptotic ).

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale prin intermediul transformatei Z

O altă modalitate de a rezolva ecuații diferențiale liniare, cu coeficienți constanți, de ordine $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ orice, este să treacă prin transformare $Z[\cdot ]$ ${\ displaystyle Z [\ cdot]}$ ${\ displaystyle Z [\ cdot]}$ . Vă reamintim că, într-un mod foarte general, funcționarea $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ -transformare asupra secvenței $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ , definit pe un domeniu $A\subseteq Z$ ${\ displaystyle A \ subseteq Z}$ ${\ displaystyle A \ subseteq Z}$ , fie ea limitată (între $N_{0}$ ${\ displaystyle N_ {0}}$ $N_ {0}$ Și $N_{1}$ ${\ displaystyle N_ {1}}$ $N_1$ ), indiferent dacă este nelimitat, deasupra și / sau dedesubt este definit ca:

Z[y[n]]=\sum _{k=N_{0}}^{N_{1}}y[k]z^{-k}=Y(z)\qquad (15)

{\ displaystyle Z [y [n]] = \ sum _ {k = N_ {0}} ^ {N_ {1}} y [k] z ^ {- k} = Y (z) \ qquad (15)}

{\ displaystyle Z [y [n]] = \ sum _ {k = N_ {0}} ^ {N_ {1}} y [k] z ^ {- k} = Y (z) \ qquad (15)}

unde este $Y(z)$ ${\ displaystyle Y (z)}$ ${\ displaystyle Y (z)}$ este o funcție care ia valori complexe și este definită pe un subset al câmpului complex ( $z=\rho e^{j\Omega }$ ${\ displaystyle z = \ rho e ^ {j \ Omega}}$ ${\ displaystyle z = \ rho e ^ {j \ Omega}}$ ; se poate arăta că $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este o cantitate adimensională și este dată de produs $\Omega =\omega T$ ${\ displaystyle \ Omega = \ omega T}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ omega T}$ , cu $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ pulsația unghiulară e $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ perioada de eșantionare a funcției $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ din care se obține secvența $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ ). Prin proprietatea derivată a transformării $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ , avem asta, restricționând studiul la secvențe cauzale:

Z[y[n-1]]=z^{-1}Y(z)+y[-1]\qquad (16)

{\ displaystyle Z [y [n-1]] = z ^ {- 1} Y (z) + y [-1] \ qquad (16)}

{\ displaystyle Z [y [n-1]] = z ^ {- 1} Y (z) + y [-1] \ qquad (16)}

și, mai general:

Z[y[n-m]]=z^{-m}Y(z)+z^{-(m-1)}y[-1]+\dots +y[-m]\qquad (17)

{\ displaystyle Z [y [nm]] = z ^ {- m} Y (z) + z ^ {- (m-1)} y [-1] + \ dots + y [-m] \ qquad (17 )}}

{\ displaystyle Z [y [nm]] = z ^ {- m} Y (z) + z ^ {- (m-1)} y [-1] + \ dots + y [-m] \ qquad (17 )}}

Folosind $(17)$ ${\ displaystyle (17)}$ $(17)$ și efectuarea $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ -transformarea ambilor membri ai $(13)$ ${\ displaystyle (13)}$ $(13)$ , noi obținem:

a_{m}z^{-m}Y(z)+a_{m-1}z^{-(m-1)}Y(z)+\dots +a_{1}z^{-1}Y(z)+a_{0}Y(z)-H(z)=U(z)\Rightarrow Y(z)={\frac {U(z)+H(z)}{D(z)}}\qquad (18)

{\ displaystyle a_ {m} z ^ {- m} Y (z) + a_ {m-1} z ^ {- (m-1)} Y (z) + \ dots + a_ {1} z ^ {- 1} Y (z) + a_ {0} Y (z) -H (z) = U (z) \ Rightarrow Y (z) = {\ frac {U (z) + H (z)} {D (z )}} \ qquad (18)}

{\ displaystyle a_ {m} z ^ {- m} Y (z) + a_ {m-1} z ^ {- (m-1)} Y (z) + \ dots + a_ {1} z ^ {- 1} Y (z) + a_ {0} Y (z) -H (z) = U (z) \ Rightarrow Y (z) = {\ frac {U (z) + H (z)} {D (z )}} \ qquad (18)}

unde este

D(z)=a_{m}z^{-m}+a_{m-1}z^{-(m-1)}+\dots +a_{1}z^{-1}+a_{0}

{\ displaystyle D (z) = a_ {m} z ^ {- m} + a_ {m-1} z ^ {- (m-1)} + \ dots + a_ {1} z ^ {- 1} + a_ {0}}

{\ displaystyle D (z) = a_ {m} z ^ {- m} + a_ {m-1} z ^ {- (m-1)} + \ dots + a_ {1} z ^ {- 1} + a_ {0}}

și $H(z)$ ${\ displaystyle H (z)}$ ${\ displaystyle H (z)}$ este o funcție polinomială în $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , cu coeficienți dați de combinații liniare ale condițiilor inițiale și $U(z)$ ${\ displaystyle U (z)}$ ${\ displaystyle U (z)}$ si $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ -transformat din secvența cunoscută $u[n]$ ${\ displaystyle u [n]}$ ${\ displaystyle u [n]}$ . În această formă, $Y(z)$ ${\ displaystyle Y (z)}$ ${\ displaystyle Y (z)}$ este reprezentat de un raport de polinoame în $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ și este ușor de redus (într-un mod similar cu ceea ce se face pentru a reduce o transformată Laplace compusă dintr-un raport de polinoame la $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ ) la o sumă de monomii simpli, ale căror antitransformări sunt de tipul $Aa^{n}u_{-1}[n]$ ${\ displaystyle Aa ^ {n} u _ {- 1} [n]}$ ${\ displaystyle Aa ^ {n} u _ {- 1} [n]}$ , cu $u_{-1}[n]$ ${\ displaystyle u _ {- 1} [n]}$ ${\ displaystyle u _ {- 1} [n]}$ secvența pasului de unitate. Redus în fracții simple $(18)$ ${\ displaystyle (18)}$ $(18)$ , anti-transformă $Y(z)$ ${\ displaystyle Y (z)}$ ${\ displaystyle Y (z)}$ pentru a obține secvența soluției $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ .

Să vedem cum este posibil să scriem $(18)$ ${\ displaystyle (18)}$ $(18)$ de asemenea ca:

Y(z)={\frac {H(z)}{D(z)}}+{\frac {U(z)}{D(z)}}={\frac {H(z)}{D(z)}}+{\frac {N_{u}(z)}{D(z)D_{u}(z)}}

{\ displaystyle Y (z) = {\ frac {H (z)} {D (z)}} + {\ frac {U (z)} {D (z)}} = {\ frac {H (z) } {D (z)}} + {\ frac {N_ {u} (z)} {D (z) D_ {u} (z)}}}

{\ displaystyle Y (z) = {\ frac {H (z)} {D (z)}} + {\ frac {U (z)} {D (z)}} = {\ frac {H (z) } {D (z)}} + {\ frac {N_ {u} (z)} {D (z) D_ {u} (z)}}}

unde este plasat $U(z)={\tfrac {N_{u}(z)}{D_{u}(z)}}$ ${\ displaystyle U (z) = {\ tfrac {N_ {u} (z)} {D_ {u} (z)}}}$ ${\ displaystyle U (z) = {\ tfrac {N_ {u} (z)} {D_ {u} (z)}}}$ , adică ca suma a două contribuții: prima, dependentă de condițiile inițiale, care evoluează în funcție de polii (modurile naturale) ale sistemului (din care $(18)$ ${\ displaystyle (18)}$ $(18)$ reprezintă modelul matematic; polii sunt rădăcinile ecuației caracteristice asociate $(13)$ ${\ displaystyle (13)}$ $(13)$ , adică zerourile polinomului $D(z)$ ${\ displaystyle D (z)}$ ${\ displaystyle D (z)}$ ); al doilea, compus la rândul său dintr-o parte care evoluează în funcție de modurile naturale ale sistemului („declanșat” de aplicarea intrării, un factor $D(z)$ ${\ displaystyle D (z)}$ ${\ displaystyle D (z)}$ ) și de o altă componentă care evoluează exact ca intrarea (adică în conformitate cu polii de $U(z)$ ${\ displaystyle U (z)}$ ${\ displaystyle U (z)}$ , adică zerourile numitorului polinomial $D_{u}(z)$ ${\ displaystyle D_ {u} (z)}$ ${\ displaystyle D_ {u} (z)}$ ), care constituie răspunsul forțat al sistemului. Dacă acesta din urmă este asimptotic stabil, partea din răspunsul general care tinde să tindă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ infinitul este, de asemenea, numit răspuns tranzitoriu , în timp ce acea parte a $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ care, totuși, rămâne limitată la scopul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ până la infinit (în funcție de limitele $u[n]$ ${\ displaystyle u [n]}$ ${\ displaystyle u [n]}$ ) se mai numește și răspuns forțat al sistemului în curs de examinare.

Bibliografie

M. Spiegel, Diferențe finite și ecuații de diferență , Schaum, Milano, Etas Libri, 1981.
( EN ) G. Boole (1880): Tratat asupra calculului diferențelor finite MacMillan
( DE ) A. Markov (1896): Differenzenrechnung Teubner, p. 98
E. Pascal (1897): Calculul variațiilor și calculul diferențelor finite Hoepli p. 295
( DE ) DF Selivanov (1904): Lehrbuch der Differenzenrechnung Teubner p. 64
Ravi P. Agerwal (2000): Diferențele de ecuații și inegalități , Marcel Dekker, ISBN 0-8247-9007-3
Hassan Sedaghat (2003): Ecuații de diferențe neliniare: teorie cu aplicații la modelele de științe sociale , Kluwer, ISBN 1402011164
Sui Sun Cheng (2003): ecuații de diferență parțială , Taylor și Francis, ISBN 0415298849

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică