Regula sumei

În analiza matematică , regula sumei este o regulă de derivare care vă permite să calculați derivata sumei unei serii de funcții diferențiate.

Definiție

Derivata sumei ( algebrice ) a unei serii de funcții diferențiate în x este egală cu suma derivatelor unice.

D[f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots +f_{n}(x)]=f'_{1}(x)+f'_{2}(x)+\cdots +f'_{n}(x)

{\ displaystyle D [f_ {1} (x) + f_ {2} (x) + \ cdots + f_ {n} (x)] = f '_ {1} (x) + f' _ {2} ( x) + \ cdots + f '_ {n} (x)}

{\ displaystyle D [f_ {1} (x) + f_ {2} (x) + \ cdots + f_ {n} (x)] = f '_ {1} (x) + f' _ {2} ( x) + \ cdots + f '_ {n} (x)}

D [ f ( x )] și f '( x ) sunt notații care indică același sens derivat.

Demonstrație

Mai întâi dovedim cazul unei sume cu doar două adunări.

Aplicarea definiției derivatului ca limită a raportului incremental :

F'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\qquad \qquad (1)

{\ displaystyle F '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {F (x + h) -F (x)} {h}} \ qquad \ qquad (1)}

{\ displaystyle F '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {F (x + h) -F (x)} {h}} \ qquad \ qquad (1)}

derivăm, presupunând atât funcțiile f ( x ), cât și g ( x ) diferențiate în x , că:

\lim _{h\to 0}{\frac {[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}{h}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {[f (x + h) + g (x + h)] - [f (x) + g (x)]} {h}}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {[f (x + h) + g (x + h)] - [f (x) + g (x)]} {h}}}

Reordonând-o reiese imediat că:

\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} \ left ({\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} + {\ frac {g (x + h) -g (x )} {h}} \ right)}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} \ left ({\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} + {\ frac {g (x + h) -g (x )} {h}} \ right)}

Din moment ce pentru (1):

\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x)

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {g (x + h) -g (x)} {h}} = g '(x)}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {g (x + h) -g (x)} {h}} = g '(x)}

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} = f '(x)}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} = f '(x)}

prin urmare

D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;

{\ displaystyle D [f (x) + g (x)] = f '(x) + g' (x) \;}

{\ displaystyle D [f (x) + g (x)] = f '(x) + g' (x) \;}

Cazul general al n adunări este acum obținut prin inducție din cazul particular abia dovedit. cvd .

Liniaritatea derivatului

Mai general, se poate spune că derivata este un operator liniar : derivata unei funcții diferențiabile înmulțite cu o constantă este egală cu constanta înmulțită cu derivata funcției originale:

D[\lambda \cdot f(x)]=\lambda \cdot f'(x)

{\ displaystyle D [\ lambda \ cdot f (x)] = \ lambda \ cdot f '(x)}

{\ displaystyle D [\ lambda \ cdot f (x)] = \ lambda \ cdot f '(x)}

Prin urmare, o propoziție echivalentă cu cele două precedente este că derivatul „păstrează” combinațiile liniare :

D[\lambda _{1}f_{1}(x)+\lambda _{2}f_{2}(x)+\cdots +\lambda _{n}f_{n}(x)]=\lambda _{1}f'_{1}(x)+\lambda _{2}f'_{2}(x)+\cdots +\lambda _{n}f'_{n}(x)

{\ displaystyle D [\ lambda _ {1} f_ {1} (x) + \ lambda _ {2} f_ {2} (x) + \ cdots + \ lambda _ {n} f_ {n} (x)] = \ lambda _ {1} f '_ {1} (x) + \ lambda _ {2} f' _ {2} (x) + \ cdots + \ lambda _ {n} f '_ {n} (x )}}

{\ displaystyle D [\ lambda _ {1} f_ {1} (x) + \ lambda _ {2} f_ {2} (x) + \ cdots + \ lambda _ {n} f_ {n} (x)] = \ lambda _ {1} f '_ {1} (x) + \ lambda _ {2} f' _ {2} (x) + \ cdots + \ lambda _ {n} f '_ {n} (x )}}

pentru fiecare $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, ..., \ lambda _ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, ..., \ lambda _ {n}}$ real . Într-adevăr prin plasare $\lambda _{1}=...=\lambda _{n}=1$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = ... = \ lambda _ {n} = 1}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = ... = \ lambda _ {n} = 1}$ obținem prima formulă și pentru $\lambda _{2}=...=\lambda _{n}=0$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2} = ... = \ lambda _ {n} = 0}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2} = ... = \ lambda _ {n} = 0}$ al doilea.