Funcția de rampă

Funcția de rampă este o funcție reală elementară , ușor calculată ca medie aritmetică a variabilei independente și valoarea sa absolută .

Această funcție este utilizată în domeniul ingineriei (de exemplu, în teoriaDSP ). Numele funcției rampă provine de la forma graficului său.

Definiții

Graficul funcției rampei

Funcția de rampă $R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle R (x): \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle R (x): \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ poate fi definit analitic în diferite moduri. Definițiile posibile sunt după cum urmează.

Funcție definită în bucăți:

R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0.\end{cases}}

{\ displaystyle R (x): = {\ begin {cases} x, & x \ geq 0; \\ 0, & x <0. \ end {cases}}}

{\ displaystyle R (x): = {\ begin {cases} x, & x \ geq 0; \\ 0, & x <0. \ end {cases}}}

Media dintre o linie dreaptă cu panta unitară și modulul acesteia:

R(x):={\frac {x+|x|}{2}},

{\ displaystyle R (x): = {\ frac {x + | x |} {2}},}

{\ displaystyle R (x): = {\ frac {x + | x |} {2}},}

acest lucru poate fi realizat notând următoarea definiție: $\max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}$ ${\ displaystyle \ max (a, b) = {\ frac {a + b + | ab |} {2}}}$ ${\ displaystyle \ max (a, b) = {\ frac {a + b + | a-b |} {2}}}$ , asa de $a=x$ ${\ displaystyle a = x}$ ${\ displaystyle a = x}$ Și $b=0.$ ${\ displaystyle b = 0.}$ ${\ displaystyle b = 0.}$

Funcția pas înmulțită cu o linie dreaptă cu o pantă unitară:

R\left(x\right):=xH\left(x\right).

{\ displaystyle R \ left (x \ right): = xH \ left (x \ right).}

{\ displaystyle R \ left (x \ right): = xH \ left (x \ right).}

Convoluția funcției pas cu sine:

R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right).

{\ displaystyle R \ left (x \ right): = H \ left (x \ right) * H \ left (x \ right).}

{\ displaystyle R \ left (x \ right): = H \ left (x \ right) * H \ left (x \ right).}

Integrala funcției pas:

R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi .

{\ displaystyle R (x): = \ int _ {- \ infty} ^ {x} H (\ xi) \ mathrm {d} \ xi.}

{\ displaystyle R (x): = \ int _ {- \ infty} ^ {x} H (\ xi) \ mathrm {d} \ xi.}

Proprietăți analitice

Nu negativitate

În întregul domeniu funcția este non-negativă $R(x)\geqslant 0$ ${\ displaystyle R (x) \ geqslant 0}$ ${\ displaystyle R (x) \ geqslant 0}$ pentru fiecare $x\in \mathbb {R} .$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}.}$ Deci funcția este egală cu valoarea sa absolută: $\left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right).$ ${\ displaystyle \ left | R \ left (x \ right) \ right | = R \ left (x \ right).}$ ${\ displaystyle \ left | R \ left (x \ right) \ right | = R \ left (x \ right).}$

Derivat

Derivatul său este funcția pas :

R'(x)=H(x)\ \mathrm {se} \ x\neq 0.

{\ displaystyle R '(x) = H (x) \ \ mathrm {se} \ x \ neq 0.}

{\ displaystyle R '(x) = H (x) \ \ mathrm {se} \ x \ neq 0.}

Rezultă din a cincea definiție.

Transformată Fourier

Transformata Fourier a $R(x)$ ${\ displaystyle R (x)}$ $R (x)$ Și:

{\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {R (x) \ right \} (f)}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {R (x) \ right \} (f)}

=

{\ displaystyle =}

{\ displaystyle =}

\int _{-\infty }^{+\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} R (x) e ^ {- 2 \ pi ifx} dx}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} R (x) e ^ {- 2 \ pi ifx} dx}

=

{\ displaystyle =}

{\ displaystyle =}

{\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},

{\ displaystyle {\ frac {i \ delta '(f)} {4 \ pi}} - {\ frac {1} {4 \ pi ^ {2} f ^ {2}}},}

{\ displaystyle {\ frac {i \ delta '(f)} {4 \ pi}} - {\ frac {1} {4 \ pi ^ {2} f ^ {2}}},}

unde este $\delta (x)$ ${\ displaystyle \ delta (x)}$ $\ delta (x)$ este delta Dirac .

Transformarea Laplace

Transformarea Laplace a $R(x)$ ${\ displaystyle R (x)}$ $R (x)$ Și:

{\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{+\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {R \ left (x \ right) \ right \} (s) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} și ^ {- sx} R ( x) dx = {\ frac {1} {s ^ {2}}}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {R \ left (x \ right) \ right \} (s) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} și ^ {- sx} R ( x) dx = {\ frac {1} {s ^ {2}}}.}

Proprietăți algebrice

Invarianța la iterații

Fiecare funcție iterată a rampei este egală cu ea însăși, adică

R\left(R\left(x\right)\right)=R\left(x\right).

{\ displaystyle R \ left (R \ left (x \ right) \ right) = R \ left (x \ right).}

{\ displaystyle R \ left (R \ left (x \ right) \ right) = R \ left (x \ right).}

Demonstrație: $R(R(x))={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}={\frac {2R(x)}{2}}=R(x).$ ${\ displaystyle R (R (x)) = {\ frac {R (x) + | R (x) |} {2}} = {\ frac {R (x) + R (x)} {2}} = {\ frac {2R (x)} {2}} = R (x).}$ ${\ displaystyle R (R (x)) = {\ frac {R (x) + | R (x) |} {2}} = {\ frac {R (x) + R (x)} {2}} = {\ frac {2R (x)} {2}} = R (x).}$

linkuri externe

Mathworld , la mathworld.wolfram.com .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica