Integrala Borwein

În matematică , o integrală Borwein este o integrală care implică produse de $\mathrm {sinc} (ax)$ ${\ displaystyle \ mathrm {sinc} (ax)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {sinc} (ax)}$ , unde funcția sinc este dată de $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {sinc} (x) = {\ frac {\ sin (x)} {x}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {sinc} (x) = {\ frac {\ sin (x)} {x}}}$ pentru $x\neq 0$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ , Și $\mathrm {sinc} (0)=1$ ${\ displaystyle \ mathrm {sinc} (0) = 1}$ ${\ displaystyle \ mathrm {sinc} (0) = 1}$ . ^[1] ^[2]

Aceste integrale sunt importante pentru a prezenta modele aparente care, însă, în cele din urmă eșuează. Un exemplu este ceea ce urmează,

{\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}} \\ [10pt] & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ , dx = {\ frac {\ pi} {2}} \\ [10pt] & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} {\ frac {\ sin (x / 5)} {x / 5}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}} \ end {align }}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}} \\ [10pt] & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ , dx = {\ frac {\ pi} {2}} \\ [10pt] & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} {\ frac {\ sin (x / 5)} {x / 5}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}} \ end {align }}}

Acest tipar continuă până când

\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 13)} {x / 13}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 13)} {x / 13}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}.}

Cu toate acestea, în etapa următoare schema evidentă eșuează,

{\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3 }} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 15)} {x / 15}} \, dx & = {\ frac {467807924713440738696537864469} {935615849440640907310521750000}} ~ \ pi \\ [5pt] & = {\ frac {\ pi} {2}} - {\ frac {6879714958723010531} {935615849440640907310521750000}} ~ \ pi \\ [5pt] & \ simeq {\ frac {\ pi} {2}} - 2,31 \ ori 10 ^ {- 11 }. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3 }} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 15)} {x / 15}} \, dx & = {\ frac {467807924713440738696537864469} {935615849440640907310521750000}} ~ \ pi \\ [5pt] & = {\ frac {\ pi} {2}} - {\ frac {6879714958723010531} {935615849440640907310521750000}} ~ \ pi \\ [5pt] & \ simeq {\ frac {\ pi} {2}} - 2,31 \ ori 10 ^ {- 11 }. \ end {align}}}

În general, integralele analogice sunt valabile $\pi /2$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ oricând $3,5,7,\ldots$ ${\ displaystyle 3,5,7, \ ldots}$ ${\ displaystyle 3,5,7, \ ldots}$ sunt înlocuite cu numere reale pozitive astfel încât suma reciprocelor lor este strict mai mică de 1.

În exemplul de mai sus, ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{13}}<1$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + \ ldots + {\ frac {1} {13}} <1}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + \ ldots + {\ frac {1} {13}} <1}$ , dar ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{15}}>1$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + \ ldots + {\ frac {1} {15}}> 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + \ ldots + {\ frac {1} {15}}> 1}$ .

Exemplul cu o serie mai mare

\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} 2 \ cos (x) {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3 }} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 111)} {x / 111}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}},}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} 2 \ cos (x) {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3 }} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 111)} {x / 111}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}},}

cu totuși

\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<{\frac {\pi }{2}},

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} 2 \ cos (x) {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3 }} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 111)} {x / 111}} {\ frac {\ sin (x / 113)} {x / 113}} \, dx <{\ frac {\ pi } {2}},}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} 2 \ cos (x) {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3 }} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 111)} {x / 111}} {\ frac {\ sin (x / 113)} {x / 113}} \, dx <{\ frac {\ pi } {2}},}

este prezentat în ^[3] împreună cu o explicație matematică intuitivă a motivului pentru care schema eșuează în seria originală și extinsă. În acest caz, ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{111}}<2$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + \ ldots + {\ frac {1} {111}} <2}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + \ ldots + {\ frac {1} {111}} <2}$ , dar ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{113}}>2$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + \ ldots + {\ frac {1} {113}}> 2}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + \ ldots + {\ frac {1} {113}}> 2}$ .

Formula generală

Având în vedere o succesiune de numere reale, $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}$ , putem furniza o formulă generală pentru integral ^[1]

\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ prod _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ sin (a_ {k} x)} {a_ {k} x}} \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ prod _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ sin (a_ {k} x)} {a_ {k} x}} \, dx}

Pentru a afirma formula, este necesar să se ia în considerare sumele care implică $a_{k}$ ${\ displaystyle a_ {k}}$ $a_ {k}$ . În special, dacă $\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}$ ${\ displaystyle \ gamma = (\ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}, \ ldots, \ gamma _ {n}) \ in \ {\ pm 1 \} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ gamma = (\ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}, \ ldots, \ gamma _ {n}) \ in \ {\ pm 1 \} ^ {n}}$ e o $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -vector unde este fiecare element $\pm 1$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ , apoi scrii $b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}$ ${\ displaystyle b _ {\ gamma} = a_ {0} + \ gamma _ {1} a_ {1} + \ gamma _ {2} a_ {2} + \ cdots + \ gamma _ {n} a_ {n} }$ ${\ displaystyle b _ {\ gamma} = a_ {0} + \ gamma _ {1} a_ {1} + \ gamma _ {2} a_ {2} + \ cdots + \ gamma _ {n} a_ {n} }$ , care este un fel de sumă alternativă a primului $a_{k}$ ${\ displaystyle a_ {k}}$ $a_ {k}$ , și se instalează $\varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ gamma} = \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ cdots \ gamma _ {n}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ gamma} = \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ cdots \ gamma _ {n}}$ , care este și $\pm 1$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ . Cu această notație, valoarea integralei de mai sus este

\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ prod _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ sin (a_ {k} x)} {a_ {k} x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2a_ {0}}} C_ {n}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ prod _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ sin (a_ {k} x)} {a_ {k} x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2a_ {0}}} C_ {n}}

unde este

C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })

{\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {1} {2 ^ {n} n! \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}} \ sum _ {\ gamma \ in \ { \ pm 1 \} ^ {n}} \ varepsilon _ {\ gamma} b _ {\ gamma} ^ {n} \ operatorname {sgn} (b _ {\ gamma})}

{\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {1} {2 ^ {n} n! \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}} \ sum _ {\ gamma \ in \ { \ pm 1 \} ^ {n}} \ varepsilon _ {\ gamma} b _ {\ gamma} ^ {n} \ operatorname {sgn} (b _ {\ gamma})}

În cazul în care $a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$ ${\ displaystyle a_ {0}> | a_ {1} | + | a_ {2} | + \ cdots + | a_ {n} |}$ ${\ displaystyle a_ {0}> | a_ {1} | + | a_ {2} | + \ cdots + | a_ {n} |}$ , da $C_{n}=1$ ${\ displaystyle C_ {n} = 1}$ ${\ displaystyle C_ {n} = 1}$ .

De asemenea, dacă există un $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât pentru fiecare $k=0,\ldots ,n-1$ ${\ displaystyle k = 0, \ ldots, n-1}$ ${\ displaystyle k = 0, \ ldots, n-1}$ da ai $0<a_{n}<2a_{k}$ ${\ displaystyle 0 <a_ {n} <2a_ {k}}$ ${\ displaystyle 0 <a_ {n} <2a_ {k}}$ Și $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n-1} <a_ {0} <a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n-1} + a_ { n}}$ ${\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n-1} <a_ {0} <a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n-1} + a_ { n}}$ , asta este ceea ce $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este prima valoare pentru care suma primei $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elementele secvenței depășesc $a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ , asa de $C_{k}=1$ ${\ displaystyle C_ {k} = 1}$ ${\ displaystyle C_ {k} = 1}$ pentru fiecare $k=0,\ldots ,n-1$ ${\ displaystyle k = 0, \ ldots, n-1}$ ${\ displaystyle k = 0, \ ldots, n-1}$ dar

C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}

{\ displaystyle C_ {n} = 1 - {\ frac {(a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n} -a_ {0}) ^ {n}} {2 ^ {n-1 } n! \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}}}

{\ displaystyle C_ {n} = 1 - {\ frac {(a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n} -a_ {0}) ^ {n}} {2 ^ {n-1 } n! \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}}}

Primul exemplu este cazul în care $a_{k}={\frac {1}{2k+1}}$ ${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {2k + 1}}}$ ${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {2k + 1}}}$ . Rețineți că dacă $n=7$ ${\ displaystyle n = 7}$ ${\ displaystyle n = 7}$ asa de $a_{7}={\frac {1}{15}}$ ${\ displaystyle a_ {7} = {\ frac {1} {15}}}$ ${\ displaystyle a_ {7} = {\ frac {1} {15}}}$ Și ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} \ aproximativ 0,955}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} \ aproximativ 0,955}$ dar ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} {15}} \ approx 1.02}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} {15}} \ approx 1.02}$ de aceea $a_{0}=1$ ${\ displaystyle a_ {0} = 1}$ ${\ displaystyle a_ {0} = 1}$ , primesti

\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 13)} {x / 13}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 13)} {x / 13}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}}

ceea ce rămâne adevărat dacă totuși eliminați orice factor

{\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 15)} {x / 15}} \, dx \\ [5pt] = {} & {\ frac {\ pi} {2}} \ left (1 - {\ frac {(3 ^ {- 1} +5 ^ {- 1} +7 ^ {- 1} +9 ^ {- 1} +11 ^ {- 1} +13 ^ {- 1} + 15 ^ {-1} -1) ^ {7}} {2 ^ {6} \ cdot 7! \ Cdot (1/3 \ cdot 1/5 \ cdot 1/7 \ cdot 1/9 \ cdot 1/11 \ cdot 1/13 \ cdot 1/15)}} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} {\ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3}} \ cdots {\ frac {\ sin (x / 15)} {x / 15}} \, dx \\ [5pt] = {} & {\ frac {\ pi} {2}} \ left (1 - {\ frac {(3 ^ {- 1} +5 ^ {- 1} +7 ^ {- 1} +9 ^ {- 1} +11 ^ {- 1} +13 ^ {- 1} + 15 ^ {-1} -1) ^ {7}} {2 ^ {6} \ cdot 7! \ Cdot (1/3 \ cdot 1/5 \ cdot 1/7 \ cdot 1/9 \ cdot 1/11 \ cdot 1/13 \ cdot 1/15)}} \ right) \ end {align}}}

care este egală cu valoarea dată anterior.

Bug de arțar

A fost depus ca o eroare pentru suportul Maple . Dezvoltatorul Jacques Carette a durat trei zile pentru a-și da seama că nu a fost o greșeală ^[4] .

Notă

^ ^a ^b Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), „Unele proprietăți remarcabile ale integrelor sinc și conexe”, The Ramanujan Journal , 5 (1): 73–89, doi: 10.1023 / A: 1011497229317 , ISSN 1382-4090 , MR 1829810
^ Baillie, Robert (2011). „Distracție cu numere foarte mari”. arXiv: 1105.3943 .
^ Schmid, Hanspeter (2014), "Două integrale curioase și o dovadă grafică" (PDF), Elemente der Mathematik , 69 (1): 11-17, doi: 10.4171 / EM / 239 , ISSN 0013-6018
^ https://mathoverflow.net/questions/11517/computer-algebra-errors/11607#comment28278_11607

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[:0-1] Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), „Unele proprietăți remarcabile ale integrelor sinc și conexe”, The Ramanujan Journal , 5 (1): 73–89, doi: 10.1023 / A: 1011497229317 , ISSN 1382-4090 , MR 1829810

[2] Baillie, Robert (2011). „Distracție cu numere foarte mari”. arXiv: 1105.3943 .

[3] Schmid, Hanspeter (2014), "Două integrale curioase și o dovadă grafică" (PDF), Elemente der Mathematik , 69 (1): 11-17, doi: 10.4171 / EM / 239 , ISSN 0013-6018

[4] ttps://mathoverflow.net/questions/11517/computer-algebra-errors/11607#comment28278_11607

[1]

[2]

[3]

[4]