2 la 2 matrice

Matricile pătrate de ordinul 2 (sau matrici cu aspect 2 × 2 sau matrici de două rânduri și două coloane ), joacă un rol important în analiza matematică și fizică . Printre caracteristicile principale, acestea reprezintă o transformare liniară a spațiului vectorial bidimensional și oferă o metodă de rezolvare a sistemelor a două ecuații liniare în două necunoscute.

Notatii interschimbabile

În multe expuneri pe vectori și matrice, și în special în prezent, în funcție de circumstanțe, este recomandabil să se utilizeze notații diferite, echivalente, dar cu dovezi diferite. Aici pentru vectori vom folosi indiferent matricile de rânduri și matricele de coloane . Pentru a prezenta anumite fapte despre matrici și vectori, este mai bine să folosiți scrieri cu indici pentru a putea avea expresii cu combinații ușor de dominat de indici. Alteori, totuși, se obțin formule mai clare folosind litere fără indexuri.

Adoptarea notațiilor interschimbabile poate fi greoaie; cu toate acestea, este util într-o expunere destul de extinsă în care vrem să prezentăm și să comparăm multe obiecte și multe fapte matematice. Acesta pare să fie cazul prezentului expoziție.

Pentru vectorii lui R ² vom folosi deci notații echivalente date de egalități precum

$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2})=(x,y)={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\qquad \mathbf {z} =(z_{1},z_{2})=(z,w)={\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}) = (x, y) = {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} \ qquad \ mathbf {z} = (z_ {1}, z_ {2}) = (z, w) = {\ begin {pmatrix} z_ {1} \\ z_ {2} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}) = (x, y) = {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} \ qquad \ mathbf {z} = (z_ {1}, z_ {2}) = (z, w) = {\ begin {pmatrix} z_ {1} \\ z_ {2} \ end {pmatrix}}}$ .

În special vom folosi diverse notații interschimbabile și pentru vectorii bazei ortonormale canonice:

$\mathbf {i} =\mathbf {e} _{1}=(1,0)={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=|1\rangle \qquad \mathbf {j} =\mathbf {e} _{2}=(0,1)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=|2\rangle$ ${\ displaystyle \ mathbf {i} = \ mathbf {e} _ {1} = (1,0) = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} = | 1 \ rangle \ qquad \ mathbf {j} = \ mathbf {e} _ {2} = (0,1) = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}} = | 2 \ rangle}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i} = \ mathbf {e} _ {1} = (1,0) = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} = | 1 \ rangle \ qquad \ mathbf {j} = \ mathbf {e} _ {2} = (0,1) = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}} = | 2 \ rangle}$

Ultimele notații introduse se referă la notația Dirac pentru vectorii unui spațiu Hilbert și se numesc ket . Acum este suficient să considerăm că acestea sunt notații care asociază numere întregi succesive vectorilor unei baze ortonormale care sunt apoi ordonate în ordine.

Pentru matricile pe care le scriem în schimb:

A~=~{\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}}~=~{\begin{pmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{pmatrix}}~=~{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A ~ = ~ {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} \ end {pmatrix}} ~ = ~ {\ begin {pmatrix} u_ {1} & v_ {1} \\ u_ {2} & v_ {2} \ end {pmatrix}} ~ = ~ {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ sfârșit {pmatrix}}}

{\ displaystyle A ~ = ~ {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} \ end {pmatrix}} ~ = ~ {\ begin {pmatrix} u_ {1} & v_ {1} \\ u_ {2} & v_ {2} \ end {pmatrix}} ~ = ~ {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ sfârșit {pmatrix}}}

Matrici liniare și transformări

Orice matrice 2 × 2 poate fi utilizată pentru a transforma un vector bidimensional într-un alt vector în același spațiu vectorial. Definim transformarea vectorului anterior aplicând A ca

A\mathbf {x} ~:=~{\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}~=~{\begin{pmatrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A \ mathbf {x} ~: = ~ {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} \ end { pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \ end {pmatrix}} ~ = ~ {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1 , 2} x_ {2} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A \ mathbf {x} ~: = ~ {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} \ end { pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \ end {pmatrix}} ~ = ~ {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1 , 2} x_ {2} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} \ end {pmatrix}}}

adică

A\mathbf {x} ~:=~{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A \ mathbf {x} ~: = ~ {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} }: = {\ begin {pmatrix} ax + by \\ cx + dy \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A \ mathbf {x} ~: = ~ {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} }: = {\ begin {pmatrix} ax + by \\ cx + dy \ end {pmatrix}}}

Transformarea identificată este liniară. Acest lucru este demonstrat prin refacerea aplicației lui A la combinația liniară generică de vectori

A\left[h\mathbf {x} +k\mathbf {z} \right]~=~A\left[h{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+k{\begin{pmatrix}z\\w\end{pmatrix}}\right]

{\ displaystyle A \ left [h \ mathbf {x} + k \ mathbf {z} \ right] ~ = ~ A \ left [h {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} + k { \ begin {pmatrix} z ​​\\ w \ end {pmatrix}} \ right]}

{\ displaystyle A \ left [h \ mathbf {x} + k \ mathbf {z} \ right] ~ = ~ A \ left [h {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} + k { \ begin {pmatrix} z ​​\\ w \ end {pmatrix}} \ right]}

={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}hx+kz\\hy+kw\end{pmatrix}}~=~{\begin{pmatrix}a(hx+kz)+b(hy+kw)\\c(hx+kz)+d(hy+kw)\end{pmatrix}}

{\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} hx + kz \\ hy + kw \ end {pmatrix}} ~ = ~ { \ begin {pmatrix} a (hx + kz) + b (hy + kw) \\ c (hx + kz) + d (hy + kw) \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} hx + kz \\ hy + kw \ end {pmatrix}} ~ = ~ { \ begin {pmatrix} a (hx + kz) + b (hy + kw) \\ c (hx + kz) + d (hy + kw) \ end {pmatrix}}}

=h{\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}+k{\begin{pmatrix}az+bw\\cz+dw\end{pmatrix}}~=~h\cdot A\mathbf {x} +k\cdot A\mathbf {z}

{\ displaystyle = h {\ begin {pmatrix} ax + by \\ cx + dy \ end {pmatrix}} + k {\ begin {pmatrix} az + bw \\ cz + dw \ end {pmatrix}} ~ = ~ h \ cdot A \ mathbf {x} + k \ cdot A \ mathbf {z}}

{\ displaystyle = h {\ begin {pmatrix} ax + by \\ cx + dy \ end {pmatrix}} + k {\ begin {pmatrix} az + bw \\ cz + dw \ end {pmatrix}} ~ = ~ h \ cdot A \ mathbf {x} + k \ cdot A \ mathbf {z}}

Intrările matricei A au o semnificație geometrică interesantă: în prima coloană se identifică vectorul obținut prin aplicarea lui la vectorul (1,0); în a doua coloană vectorul obținut prin aplicarea lui A la vectorul (0,1). Intr-adevar

{\begin{pmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}\quad \mathrm {e} \quad {\begin{pmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} u_ {1} & v_ {1} \\ u_ {2} & v_ {2} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \ end {pmatrix}} \ quad \ mathrm {e} \ quad {\ begin {pmatrix} u_ {1} & v_ {1} \\ u_ {2} & v_ {2} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} v_ {1} \\ v_ { 2} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} u_ {1} & v_ {1} \\ u_ {2} & v_ {2} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \ end {pmatrix}} \ quad \ mathrm {e} \ quad {\ begin {pmatrix} u_ {1} & v_ {1} \\ u_ {2} & v_ {2} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} v_ {1} \\ v_ { 2} \ end {pmatrix}}}

Considerentul anterior poate fi, de asemenea, recitit în modul următor. A da o matrice 2 la 2, adică a da o transformare liniară a lui R ² , este echivalent cu a da celor doi vectori transformați ai celor doi vectori ai bazei canonice a lui R ² .

Se observă că transformarea A mapează pătratul având ca vârfuri opuse (0,0) și (1,1), adică pătratul identificat de perechea de vectori $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2})$ ${\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2})}$ , în paralelogramul identificat de perechea de vectori $(A\mathbf {e} _{1},A\mathbf {e} _{2})$ ${\ displaystyle (A \ mathbf {e} _ {1}, A \ mathbf {e} _ {2})}$ ${\ displaystyle (A \ mathbf {e} _ {1}, A \ mathbf {e} _ {2})}$ .

Este foarte util să luăm în considerare modul în care o transformare liniară modifică ceea ce vom numi grilă - ZZ constând din punctele planului având coordonate întregi, liniile orizontale corespunzătoare ecuațiilor x = m pentru m întreg și liniile verticale identificate prin ecuații y = n pentru n întreg. Se transformă în grila care poate fi obținută pornind de la paralelogramul obținut prin transformarea într-un pătrat de extreme (0,0) și (1,1) și replicând această figură la nesfârșit în direcțiile celor două laturi ale sale având originea în comun.

Matrici și transformări de proiecții și reflexii

Este util să revizuiți un număr bun de matrici 2 × 2 care clarifică caracteristicile transformărilor liniare corespunzătoare.

Matricea care asigură cea mai simplă transformare este matricea de identitate sau matricea unitară de ordinul 2:

\mathrm {Id} _{2}:={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ mathrm {Id} _ {2}: = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathrm {Id} _ {2}: = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

Lasă fiecare vector de R ² fix.

Matricea identității poate fi exprimată ca suma a două matrice simple și utile

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix } 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix } 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

Se numesc respectiv proiector pe axa Ox și proiector pe axa Oy și le scriem.

$\mathrm {Prj} _{|1\rangle }:={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {Prj} _{|2\rangle }:={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Prj} _ {| 1 \ rangle}: = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ qquad \ mathrm {Prj} _ {| 2 \ rangle }: = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Prj} _ {| 1 \ rangle}: = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ qquad \ mathrm {Prj} _ {| 2 \ rangle }: = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

Numele sunt justificate de faptul că transformările corespunzătoare proiectează fiecare vector pe prima axă Ox și, respectiv, pe a doua axă Oy :

${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x \\ 0 \ end {pmatrix}} \ qquad {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix } 0 \\ y \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x \\ 0 \ end {pmatrix}} \ qquad {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix } 0 \\ y \ end {pmatrix}}}$

Să vedem efectele celorlalte două matrice 2 × 2 cu o intrare egală cu 1 și cealaltă zero:

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\x\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} y \\ 0 \ end {pmatrix}} \ qquad {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix } 0 \\ x \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} y \\ 0 \ end {pmatrix}} \ qquad {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix } 0 \\ x \ end {pmatrix}}}$

Ele au ca efect o proiecție urmată de schimbul axelor. Acestea, referindu-se la notația lui Dirac , se numesc ket-bra și pot fi semnificate semnificativ:

$|1\rangle \langle 2|:={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad |2\rangle \langle 1|:={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle \ langle 2 |: = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ qquad | 2 \ rangle \ langle 1 |: = {\ begin {pmatrix } 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle \ langle 2 |: = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ qquad | 2 \ rangle \ langle 1 |: = {\ begin {pmatrix } 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

Conform acestui mod de scriere, proiectoarele sunt rescrise în felul următor;

$\mathrm {Prj} _{|1\rangle }=|1\rangle \langle 1|\qquad \mathrm {Prj} _{|2\rangle }=|2\rangle \langle 2|$ ${\ displaystyle \ mathrm {Prj} _ {| 1 \ rangle} = | 1 \ rangle \ langle 1 | \ qquad \ mathrm {Prj} _ {| 2 \ rangle} = | 2 \ rangle \ langle 2 |}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Prj} _ {| 1 \ rangle} = | 1 \ rangle \ langle 1 | \ qquad \ mathrm {Prj} _ {| 2 \ rangle} = | 2 \ rangle \ langle 2 |}$

O matrice semnificativă este dată de suma primelor două matrice ket-bra:

$|1\rangle \langle 2|+|2\rangle \langle 1|={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle \ langle 2 | + | 2 \ rangle \ langle 1 | = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle | 1 \ rangle \ langle 2 | + | 2 \ rangle \ langle 1 | = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

Transformarea corespunzătoare este reflectarea planului R ² în raport cu bisectoarea $y=x$ ${\ displaystyle y = x}$ $y = x$ :

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} y \\ x \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} y \\ x \ end {pmatrix}}}$

Se observă că această reflecție, ca toate aceste transformări, este o involutie , în conformitate cu următoarea relație matricială:

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

În acest moment este posibil să se identifice cu ușurință alte reflecții ale planului R ² și alte matrici involutive, adică matricile care înmulțite de la sine dau matricea identității $\,\mathrm {Id} _{2}$ ${\ displaystyle \, \ mathrm {Id} _ {2}}$ ${\ displaystyle \, \ mathrm {Id} _ {2}}$ .

Reflecție față de axa Ox :

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x \\ - y \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x \\ - y \ end {pmatrix}}}$

Reflecție față de axa Oy :

${\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-x\\y\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -x \ \ y \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -x \ \ y \ end {pmatrix}}}$

Reflecție asupra originii:

${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -x \\ - y \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -x \\ - y \ end {pmatrix}}}$

Reflecție cu privire la bisectoare $\,y=-x$ ${\ displaystyle \, y = -x}$ ${\ displaystyle \, y = -x}$ :

${\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\-x\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -y \\ - x \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -y \\ - x \ end {pmatrix}}}$

Dilatații și matrice diagonale

Să luăm în considerare o matrice proporțională cu identitatea și acțiunea acesteia asupra unui vector generic:

${\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} kx \\ ky \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} kx \\ ky \ end {pmatrix}}}$

Exprimă o expansiune a planului cu factorul k dacă k> 1 și contracția sa dacă 0 <k <1. Transformările cu k <0 sunt exprimate ca compoziții ale unei expansiuni sau contracții cu reflexie în raport cu originea:

k~\mathrm {Id} _{2}={\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}|k|&0\\0&|k|\end{pmatrix}}

{\ displaystyle k ~ \ mathrm {Id} _ {2} = {\ begin {pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} | k | & 0 \\ 0 & | k | \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle k ~ \ mathrm {Id} _ {2} = {\ begin {pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} | k | & 0 \\ 0 & | k | \ end {pmatrix}}}

Matricile proporționale cu identitatea constituie un subset particular al unei clase importante de matrice, matricele diagonale : sunt matricile care au intrări diferite de zero doar pe diagonala principală. Ne uităm în special la acțiunile următoarelor matrice diagonale de venituri pozitive:

${\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x\\3y\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}4&0\\0&0.25\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4x\\y/4\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 2x \\ 3y \ end {pmatrix}} \ qquad {\ begin {pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0.25 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix } 4x \\ y / 4 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 2x \\ 3y \ end {pmatrix}} \ qquad {\ begin {pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0.25 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix } 4x \\ y / 4 \ end {pmatrix}}}$

Ele reprezintă două omotetici pentru factori diferiți în direcțiile celor două axe ortogonale.

Matricele diagonale cu intrări negative pot fi urmărite înapoi la cele anterioare și la reflecții cu privire la axe, deoarece pot fi luate în considerare în următoarele moduri (să presupunem că h și k sunt reale pozitive):

${\begin{pmatrix}h&0\\0&-k\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h&0\\0&k\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-h&0\\0&k\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h&0\\0&k\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} h & 0 \\ 0 & -k \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} h & 0 \\ 0 & k \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ qquad {\ begin {pmatrix} -h & 0 \\ 0 & k \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} h & 0 \\ 0 & k \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} h & 0 \\ 0 & -k \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} h & 0 \\ 0 & k \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ qquad {\ begin {pmatrix} -h & 0 \\ 0 & k \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} h & 0 \\ 0 & k \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

{\begin{pmatrix}-h&0\\0&-k\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h&0\\0&k\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -h & 0 \\ 0 & -k \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} h & 0 \\ 0 & k \ end {pmatrix}} \ cdot {\ începe {pmatrix} -1 și 0 \ \ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -h & 0 \\ 0 & -k \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} h & 0 \\ 0 & k \ end {pmatrix}} \ cdot {\ începe {pmatrix} -1 și 0 \ \ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

Se observă că o matrice diagonală 2 × 2 transformă punctele cercului de rază 1 în punctele elipsei cu un centru la origine și având ca axe Ox și Oy .

Rotațiile planului și matricile diagonalizabile

Să luăm în considerare matricea formei

\mathrm {Rot} _{\theta }:={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ mathrm {Rot} _ {\ theta}: = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathrm {Rot} _ {\ theta}: = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}

și acțiunea pe care o exercită asupra unui vector cu coordonate carteziene exprimate prin intermediul coordonatelor polare plane

și acțiunea următoarei matrice Considerăm matricea

$\mathrm {Rot} _{\theta }:={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}rcos\phi \\r\sin \phi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rcos(\phi +\theta )\\r\sin(\phi +\theta )\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Rot} _ {\ theta}: = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} rcos \ phi \\ r \ sin \ phi \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} rcos (\ phi + \ theta) \\ r \ sin (\ phi + \ theta) \ end { pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Rot} _ {\ theta}: = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} rcos \ phi \\ r \ sin \ phi \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} rcos (\ phi + \ theta) \\ r \ sin (\ phi + \ theta) \ end { pmatrix}}}$

Prin urmare, matricea reprezintă rotația vectorilor planului cu un unghi $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ;.

Se observă cazuri speciale

$\mathrm {Rot} _{\pi }={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {Rot} _{\pi /2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {Rot} _{3\pi /2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Rot} _ {\ pi} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ qquad \ mathrm {Rot} _ {\ pi / 2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ qquad \ mathrm {Rot} _ {3 \ pi / 2} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 și 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Rot} _ {\ pi} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ qquad \ mathrm {Rot} _ {\ pi / 2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ qquad \ mathrm {Rot} _ {3 \ pi / 2} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 și 0 \ end {pmatrix}}}$

Alunecări

Luați în considerare acțiunea următoarei matrice particulare asupra vectorului plan generic

${\begin{pmatrix}1&0.5\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+y/2\\y\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x + y / 2 \ \ y \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x + y / 2 \ \ y \ end {pmatrix}}}$

Transformarea asociată lasă punctele axei Ox fixe și face ca punctele liniilor orizontale y = k să se deplaseze rigid mișcând punctele cu ordonate pozitive spre dreapta și cele cu coordonate negative spre stânga: grila - ZZ este transformată în o grilă cu ochiurile formate din paralelograme de înălțimea 1 și cu laturile oblice aparținând liniilor drepte cu o înclinație de 200%. Mai general

${\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+by\\y\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x + de \ \ y \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x + de \ \ y \ end {pmatrix}}}$

Chiar mai general avem acțiunile matricilor triunghiulare superioare

${\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\dy\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & d \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} ax + by \ \ dy \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & d \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} ax + by \ \ dy \ end {pmatrix}}}$

exprimând dilatații în direcții orizontale și verticale și alunecare.

Matricile triunghiulare inferioare au o interpretare similară. Observați că trecem de la triunghiularul superior la cel triunghiular inferior și invers prin intermediul transpunerii.

Determinanți și zone semnate

Același subiect în detaliu: Determinant (algebră) .

Determinantul unei matrice 2 × 2 este definit ca

\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:=ad-bc

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}: = ad-bc}

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}: = ad-bc}

Determinantul poate fi considerat o funcție care asociază un număr real unei matrici pătrate pe reali. Se constată că exprimă aria paralelogramului obținută din transformarea pătratului de bază având vârfuri (0,0), (1,0), (1,1) și (0,1). Această zonă trebuie considerată cu un semn și se intenționează să aibă un semn pozitiv dacă vârfurile obținute cu transformarea, (0,0), (a, c), (a + b, c + d) și (b , d) se succed, astfel încât să lase punctele interne la stânga și să aibă un semn negativ în caz contrar.

Demonstrarea acestui fapt prin intermediul geometriei analitice rezultă din interpretarea următoarei identități algebrice:

(a+c)(b+d)\,=\,ab+cd+2cb+(ad-cb)

{\ displaystyle (a + c) (b + d) \, = \, ab + cd + 2cb + (ad-cb)}

{\ displaystyle (a + c) (b + d) \, = \, ab + cd + 2cb + (ad-cb)}

Transformări inversabile și neinversibile

Printre numeroasele transformări și matrice observate, o distincție importantă este dacă acestea sunt inversabile sau nu.

O matrice și transformarea sa asociată sunt inversabile dacă și numai dacă determinantul său este diferit de zero.

linkuri externe

Simulator de matrice: http://www.falstad.com/matrix/

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică