Matrice de cofactori

În matematică , în special în algebra liniară , matricea cofactorilor unei matrici pătrate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , numită și matricea complementelor algebrice , este o altă matrice pătrată de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ al cărui element în poziție generică $the, j$ ${\ displaystyle i, j}$ $i, j$ este cofactorul (sau complementul algebric ) al lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în raport cu poziția $the, j$ ${\ displaystyle i, j}$ $i, j$ , definit după cum urmează:

\mathrm {cof} _{i,j}(A):=(-1)^{i+j}\cdot \det(A_{i,j})

{\ displaystyle \ mathrm {cof} _ {i, j} (A): = (- 1) ^ {i + j} \ cdot \ det (A_ {i, j})}

{\ mathrm {cof}} _ {{i, j}} (A): = (- 1) ^ {{i + j}} \ cdot \ det (A _ {{i, j}})

aici termenul $\det(A_{i,j})$ ${\ displaystyle \ det (A_ {i, j})}$ $\ det (A _ {{i, j}})$ reprezintă cel mai mic decât $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ obținută prin ștergerea liniei $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -th și coloana $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ -alea.

Deci matricea cofactorului este următoarea:

\mathrm {cof} \,A={\begin{pmatrix}\mathrm {cof} _{1,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{1,n}(A)\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathrm {cof} _{n,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{n,n}(A)\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ mathrm {cof} \, A = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {cof} _ {1,1} (A) & \ ldots & \ mathrm {cof} _ {1, n} (A) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ mathrm {cof} _ {n, 1} (A) & \ ldots & \ mathrm {cof} _ {n, n} (A) \\\ end {pmatrix }}}

{\ mathrm {cof}} \, A = {\ begin {pmatrix} {\ mathrm {cof}} _ {{1,1}} (A) & \ ldots & {\ mathrm {cof}} _ {{1 , n}} (A) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ mathrm {cof}} _ {{n, 1}} (A) & \ ldots & {\ mathrm {cof}} _ { {n, n}} (A) \\\ end {pmatrix}}

A adăugat Matrix

Transpunerea matricei cofactorului se numește matrice adăugată (deși acest termen indică și matricea de transpunere conjugată ) și este indicată cu operatorul $\mathrm {adj}$ ${\ displaystyle \ mathrm {adj}}$ ${\ mathrm {adj}}$ , din engleză adjugate matrix .

Prin urmare:

\mathrm {adj} \,A=(\mathrm {cof} \,A)^{T}

{\ displaystyle \ mathrm {adj} \, A = (\ mathrm {cof} \, A) ^ {T}}

{\ mathrm {adj}} \, A = ({\ mathrm {cof}} \, A) ^ {T}

Proprietate

Matricea adăugată îndeplinește următoarele proprietăți:

$\mathrm {adj} (I)=I$ ${\ displaystyle \ mathrm {adj} (I) = I}$ ${\ mathrm {adj}} (I) = I$ , unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este matricea identității
$\mathrm {adj} (A\cdot B)=\mathrm {adj} (B)\cdot \mathrm {adj} (A)$ ${\ displaystyle \ mathrm {adj} (A \ cdot B) = \ mathrm {adj} (B) \ cdot \ mathrm {adj} (A)}$ ${\ mathrm {adj}} (A \ cdot B) = {\ mathrm {adj}} (B) \ cdot {\ mathrm {adj}} (A)$
$A\cdot \mathrm {adj} (A)=\mathrm {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot I$ ${\ displaystyle A \ cdot \ mathrm {adj} (A) = \ mathrm {adj} (A) \ cdot A = \ det (A) \ cdot I}$ $A \ cdot {\ mathrm {adj}} (A) = {\ mathrm {adj}} (A) \ cdot A = \ det (A) \ cdot I$

consecință a dezvoltării lui Laplace . Astfel, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inversabil , inversul este dat de:

A^{-1}=\det(A)^{-1}\cdot \mathrm {adj} (A)

{\ displaystyle A ^ {- 1} = \ det (A) ^ {- 1} \ cdot \ mathrm {adj} (A)}

A ^ {{- 1}} = \ det (A) ^ {{- 1}} \ cdot {\ mathrm {adj}} (A)

$\det(\mathrm {adj} (A))\,=\,\det(A)^{n-1}$ ${\ displaystyle \ det (\ mathrm {adj} (A)) \, = \, \ det (A) ^ {n-1}}$ $\ det ({\ mathrm {adj}} (A)) \, = \, \ det (A) ^ {{n-1}}$

Exemple

2 × 2 matrice

Adăugarea matricei:

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \ end {pmatrix}}}

{\ mathbf {A}} = {\ begin {pmatrix} {{a}} & {{b}} \\ {{c}} & {{d}} \ end {pmatrix}}

Și:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ operatorname {adj} (\ mathbf {A}) = {\ begin {pmatrix} \, \, \, {d} & \! \! {- b} \\ {- c} & {a} \ end {pmatrix}}}

\ operatorname {adj} ({\ mathbf {A}}) = {\ begin {pmatrix} \, \, \, {{d}} & \! \! {{- b}} \\ {{- c} } și {{a}} \ end {pmatrix}}

.

și observi asta $\det(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=\det(A)$ ${\ displaystyle \ det (\ operatorname {adj} (\ mathbf {A})) = \ det (A)}$ ${\ displaystyle \ det (\ operatorname {adj} (\ mathbf {A})) = \ det (A)}$ Și $\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=A$ ${\ displaystyle \ operatorname {adj} (\ operatorname {adj} (A)) = A}$ $\ operatorname {adj} (\ operatorname {adj} (A)) = A$ .

3 × 3 matrice

Având în vedere matricea $3\times 3$ ${\ displaystyle 3 \ times 3}$ $3 \ ori 3$ :

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31 } & a_ {32} & a_ {33} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \ end {pmatrix}}}

{\ mathbf {A}} = {\ begin {pmatrix} a _ {{11}} & a _ {{12}} & a _ {{13}} \\ a _ {{21}} & a _ { {22}} & a _ {{23}} \\ a _ {{31}} & a _ {{32}} & a _ {{33}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \ end {pmatrix}}

Adăugarea sa este transpunerea matricei cofactorului:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ operatorname {adj} (\ mathbf {A}) = {\ begin {pmatrix} + \ left | {\ begin {matrix} a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {32} & a_ { 33} \ end {matrix}} \ right | & - \ left | {\ begin {matrix} a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {32} & a_ {33} \ end {matrix}} \ right | & + \ left | {\ begin {matrix} a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {22} & a_ {23} \ end {matrix}} \ right | \\ && \\ - \ left | {\ begin {matrix} a_ {21} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {33} \ end {matrix}} \ right | & + \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {13} \\ a_ {31} & a_ {33} \ end {matrix}} \ right | & - \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {13} \\ a_ {21 } & a_ {23} \ end {matrix}} \ right | \\ && \\ + \ left | {\ begin {matrix} a_ {21} & a_ {22} \\ a_ {31} & a_ {32} \ end {matrix}} \ right | & - \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {31} & a_ {32} \ end {matrix}} \ right | & + \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {matrix}} \ right | \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} + \ left | {\ begin {matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \ end {matrix}} \ right | & - \ left | {\ begin {matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \ end {matrix}} \ right | & + \ left | {\ begin {matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \ end {matrix}} \ right | \\ && \\ - \ left | {\ begin {matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \ end {matrix}} \ right | & + \ left | {\ begin {matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \ end {matrix}} \ ri ght | & - \ left | {\ begin {matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \ end {matrix}} \ right | \\ && \\ + \ left | {\ begin {matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \ end {matrix}} \ right | & - \ left | {\ begin {matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \ end {matrix}} \ right | & + \ left | {\ begin {matrix } 1 & 2 \\ 4 & 5 \ end {matrix}} \ right | \ end {pmatrix}}}

\ operatorname {adj} ({\ mathbf {A}}) = {\ begin {pmatrix} + \ left | {\ begin {matrix} a _ {{22}} & a _ {{23}} \\ a _ {{32}} & a _ {{33}} \ end {matrix}} \ right | & - \ left | {\ begin {matrix} a _ {{12}} & a _ {{13}} \\ a _ {{32}} & a _ {{33}} \ end {matrix}} \ right | & + \ left | {\ begin {matrix} a _ {{12}} & a _ {{13}} \\ a _ {{22}} & a _ {{23}} \ end {matrix}} \ right | \\ && \\ - \ left | {\ begin {matrix} a _ {{21}} & a _ {{23}} \\ a _ {{31}} & a _ {{33}} \ end {matrix}} \ right | & + \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11}} & a _ {{13}} \\ a _ {{31}} & a _ {{33}} \ end {matrix}} \ right | & - \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11 }} & a _ {{13}} \\ a _ {{21}} & a _ {{23}} \ end {matrix}} \ right | \\ && \\ + \ left | {\ begin {matrix } a _ {{21}} & a _ {{22}} \\ a _ {{31}} & a _ {{32}} \ end {matrix}} \ right | & - \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11}} & a _ {{12}} \\ a _ {{31}} & a _ {{32}} \ end {matrix}} \ right | & + \ left | { \ begin {matrix} a _ {{11}} & a _ {{12}} \\ a _ {{21}} & a _ {{22}} \ end {matrix}} \ right | \ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} + \ left | {\ begin {matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \ end {matrix}} \ right | & - \ left | {\ begin {matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \ end {matrix}} \ right | & + \ left | {\ begin {matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \ end {matrix}} \ right | \\ && \\ - \ left | {\ begin {matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \ end {matr ix}} \ right | & + \ left | {\ begin {matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \ end {matrix}} \ right | & - \ left | {\ begin {matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \ end {matrix}} \ right | \\ && \\ + \ left | {\ begin {matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \ end {matrix}} \ right | & - \ left | { \ begin {matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \ end {matrix}} \ right | & + \ left | {\ begin {matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \ end {matrix}} \ right | \ end {pmatrix}}

unde este:

\left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} a_ {im} & a_ {in} \\\, \, a_ {jm} & a_ {jn} \ end {matrix}} \ right | = \ det \ left ({\ begin {matrix} a_ {im} & a_ {in} \\\, \, a_ {jm} & a_ {jn} \ end {matrix}} \ right)}

\ left | {\ begin {matrix} a _ {{im}} & a _ {{in}} \\\, \, a _ {{jm}} & a _ {{jn}} \ end {matrix} } \ right | = \ det \ left ({\ begin {matrix} a _ {{im}} & a _ {{in}} \\\, \, a _ {{jm}} & a _ {{jn }} \ end {matrix}} \ right)

.

Apoi matricea adăugată de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ operatorname {adj} (\ mathbf {A}) = {\ begin {pmatrix} -3 & 6 & -3 \\ 6 & -12 & 6 \\ - 3 & 6 & -3 \ end {pmatrix }}}

{\ displaystyle \ operatorname {adj} (\ mathbf {A}) = {\ begin {pmatrix} -3 & 6 & -3 \\ 6 & -12 & 6 \\ - 3 & 6 & -3 \ end {pmatrix }}}

Exemplu numeric

Exemplu de calcul al matricei adăugate:

\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}2&1&1\\0&-1&2\\0&2&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&3&3\\0&-2&-4\\0&-4&-2\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ operatorname {adj} {\ begin {pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -3 & 3 & 3 \\ 0 & -2 & -4 \\ 0 & -4 & -2 \ end {pmatrix}}}

\ operatorname {adj} {\ begin {pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -3 & 3 & 3 \\ 0 & -2 & -4 \\ 0 & -4 & - 2 \ end {pmatrix}}

Bibliografie

( EN ) Gilbert Strang, Secțiunea 4.4: Aplicații ale determinanților , în Algebra liniară și aplicațiile sale , 3, Harcourt Brace Jovanovich, 1988, pp. 231 –232, ISBN 0-15-551005-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Autoadjunct în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Matrix Reference Manual , pe ee.ic.ac.uk.
( EN ) Calculator de matrice online (determinant, urmărit, invers, adiacent, transpus) Calculați Adjugați matricea până la ordinea 8
(EN) adjugate of {{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}} , pe Wolfram Alpha .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema