Teorema lui Laplace

În matematică , în special în algebra liniară , teorema lui Laplace sau dezvoltarea lui Laplace, al cărui nume se datorează lui Laplace , este o formulă care permite calcularea determinantului unei matrice ( pătrat ) cu o procedură recursivă. Dezvoltarea poate fi realizată prin rânduri sau coloane.

Declarații

Să presupunem că avem o matrice pătrată $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ in marime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și elemente $m_{ij}$ ${\ displaystyle m_ {ij}}$ $m _ {{ij}}$ . Ei se definesc:

Matricea $M_{ij}$ ${\ displaystyle M_ {ij}}$ $M _ {{ij}}$ , submatricea (de dimensiune $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ ) care se obține din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ ștergerea fișierului $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea linie și $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ -a coloana.
Valoarea $\det(M_{ij})$ ${\ displaystyle \ det (M_ {ij})}$ ${\ displaystyle \ det (M_ {ij})}$ , Menționat element complementar minor $(i,j)$ ${\ displaystyle (i, j)}$ $(i, j)$ .
Valoarea $(-1)^{i+j}\det(M_{ij})$ ${\ displaystyle (-1) ^ {i + j} \ det (M_ {ij})}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {i + j} \ det (M_ {ij})}$ , Acest element cofactor sau complement algebric $(i,j)$ ${\ displaystyle (i, j)}$ $(i, j)$ .

Prima teoremă a lui Laplace afirmă că determinantul unei matrice pătrate $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este egală cu suma produselor elementelor oricărui rând (sau oricărei coloane) pentru complementele algebrice respective. În formule:

\det M=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}m_{ij}\det M_{ij}

{\ displaystyle \ det M = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i + j} m_ {ij} \ det M_ {ij}}

{\ displaystyle \ det M = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i + j} m_ {ij} \ det M_ {ij}}

indicând cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ rândul, cu $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ coloana și recitalul $i,j=1,\ldots ,n$ ${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, n}$ .

A doua teoremă a lui Laplace afirmă că suma produselor elementelor unui rând (sau coloană) de complementele algebrice ale unui alt rând (sau coloană) din aceeași matrice este întotdeauna zero. În formule:

0=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}m_{kj}\det M_{ij}\ \ \ {\text{con}}\ \ \ i\neq k

{\ displaystyle 0 = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i + j} m_ {kj} \ det M_ {ij} \ \ \ {\ text {con}} \ \ \ i \ neq k}

{\ displaystyle 0 = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i + j} m_ {kj} \ det M_ {ij} \ \ \ {\ text {con}} \ \ \ i \ neq k}

(de sine $i=k$ ${\ displaystyle i = k}$ $i = k$ este prima teoremă și rezultatul este diferit de zero).

Odată cu dezvoltarea lui Laplace se poate verifica, de exemplu, că determinantul unei matrice diagonale este produsul valorilor de pe diagonală, că determinantul unei matrice triunghiulare este încă produsul valorilor de pe diagonală sau că valorile proprii ale unei matrice triunghiulare sunt elementele de pe diagonală.

Demonstrație

Pentru a demonstra că determinantul matricei obținut prin operarea cu rândurile și cel obținut prin operarea cu coloanele sunt același lucru, amintiți-vă ${\textrm {det}}\,A=\det(A^{T})$ ${\ displaystyle {\ textrm {det}} \, A = \ det (A ^ {T})}$ ${\ displaystyle {\ textrm {det}} \, A = \ det (A ^ {T})}$ . Setat arbitrar $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ apartenență $N_{n}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ , matricea obținută din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ înlocuindu-l pe al său $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ -alea linie la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -pla:

$(0,0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$ ${\ displaystyle (0,0, \ ldots, 0,1,0, \ ldots, 0)}$ ${\ displaystyle (0,0, \ ldots, 0,1,0, \ ldots, 0)}$

unde elementul $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ apare în $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ -a poziție. Din:

(a_{h1},a_{h2},\dots ,a_{hn})=a_{h1}(1,0,\dots ,0)+a_{h2}(0,1,0\dots ,0)+\dots +a_{hn}(0,\dots ,0,1)

{\ displaystyle (a_ {h1}, a_ {h2}, \ dots, a_ {hn}) = a_ {h1} (1,0, \ dots, 0) + a_ {h2} (0,1,0 \ dots , 0) + \ dots + a_ {hn} (0, \ dots, 0,1)}

(a _ {{h1}}, a _ {{h2}}, \ dots, a _ {{hn}}) = a _ {{h1}} (1,0, \ dots, 0) + a _ { {h2}} (0,1,0 \ dots, 0) + \ dots + a _ {{hn}} (0, \ dots, 0,1)

prin aplicarea iterativă a proprietăților 4 'și 4 "ale determinantului la $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ -alea linie a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , noi obținem:

\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{hj}\det B_{j}

{\ displaystyle \ det A = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {hj} \ det B_ {j}}

{\ displaystyle \ det A = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {hj} \ det B_ {j}}

După aceea, tot ce rămâne este să încerci asta variind $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ în $N_{n}\det B_{j}=A_{j}^{h}$ ${\ displaystyle N_ {n} \ det B_ {j} = A_ {j} ^ {h}}$ ${\ displaystyle N_ {n} \ det B_ {j} = A_ {j} ^ {h}}$

În acest scop, fie $B_{j}'$ ${\ displaystyle B_ {j} '}$ $B j}} '$ matricea obținută din $B_{j}$ ${\ displaystyle B_ {j}}$ $B j}}$ schimbând fiecare rând consecutiv, de la rând $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ la linie $h-1$ ${\ displaystyle h-1}$ ${\ displaystyle h-1}$ , cu următoarea până când se obține o matrice $B'_{j}$ ${\ displaystyle B '_ {j}}$ $B j}}$ cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ în locul identificat de $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ -alea linie și de la $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ -al coloana, toate celelalte elemente ale acelui rând sunt și toate celelalte elemente ale $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ -a coloană sunt cele ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . în acest fel minorul a fost izolat $M_{j}'$ ${\ displaystyle M_ {j} '}$ $M _ {{j}} '$ .

Minorul fiind un astfel de minor $M_{j}^{h}$ ${\ displaystyle M_ {j} ^ {h}}$ $M _ {{j}} ^ {h}$ complementar de $a_{j}^{h}$ ${\ displaystyle a_ {j} ^ {h}}$ $a _ {{j}} ^ {h}$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Acum observă că dacă $P_{n}'$ ${\ displaystyle P_ {n} '}$ $P _ {{n}} '$ indică subgrupul de $P_{n}$ ${\ displaystyle P_ {n}}$ $P _ {{n}}$ constituit de permutare $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ aparținând $P_{n}$ ${\ displaystyle P_ {n}}$ $P _ {{n}}$ astfel încât $p(n)=n$ ${\ displaystyle p (n) = n}$ $p (n) = n$ , aplicația care se asociază fiecăruia $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ aparținând $P_{n}'$ ${\ displaystyle P_ {n} '}$ $P _ {{n}} '$ restricția sa a $N_{n-1}$ ${\ displaystyle N_ {n-1}}$ $N _ {{n-1}}$ definește o bijecție între $P_{n}'$ ${\ displaystyle P_ {n} '}$ $P _ {{n}} '$ Și $P_{n-1}$ ${\ displaystyle P_ {n-1}}$ $P _ {{n-1}}$ unde permutațiile corespunzătoare au același semn. Prin urmare, locul $B_{j}'=(a_{s}^{r})$ ${\ displaystyle B_ {j} '= (a_ {s} ^ {r})}$ $B _ {{j}} '= (a _ {{s}} ^ {r})$ , atâta timp cât $a_{n}^{n}=1$ ${\ displaystyle a_ {n} ^ {n} = 1}$ $a _ {{n}} ^ {n} = 1$ și, pentru fiecare apartenență la $N_{n-1}$ ${\ displaystyle N_ {n-1}}$ $N _ {{n-1}}$ , $a_{s}^{n}=0$ ${\ displaystyle a_ {s} ^ {n} = 0}$ $a _ {{s}} ^ {n} = 0$ primesti:

\det B_{j}'=\sum _{pP_{n}}\operatorname {sgn} pa_{p(1)}^{1}\cdot \ldots \cdot a_{p(n-1)}^{(n-1)}\cdot a_{p(n)}^{n}=

{\ displaystyle \ det B_ {j} '= \ sum _ {pP_ {n}} \ operatorname {sgn} pa_ {p (1)} ^ {1} \ cdot \ ldots \ cdot a_ {p (n-1) } ^ {(n-1)} \ cdot a_ {p (n)} ^ {n} =}

{\ displaystyle \ det B_ {j} '= \ sum _ {pP_ {n}} \ operatorname {sgn} pa_ {p (1)} ^ {1} \ cdot \ ldots \ cdot a_ {p (n-1) } ^ {(n-1)} \ cdot a_ {p (n)} ^ {n} =}

\sum _{pP_{n}'}\operatorname {sgn} pa_{p(1)}^{1}\cdot \ldots \cdot a_{p(n-1)}^{(n-1)}\cdot 1=

{\ displaystyle \ sum _ {pP_ {n} '} \ operatorname {sgn} pa_ {p (1)} ^ {1} \ cdot \ ldots \ cdot a_ {p (n-1)} ^ {(n-1 )} \ cdot 1 =}

{\ displaystyle \ sum _ {pP_ {n} '} \ operatorname {sgn} pa_ {p (1)} ^ {1} \ cdot \ ldots \ cdot a_ {p (n-1)} ^ {(n-1 )} \ cdot 1 =}

\sum _{pP_{n-1}}\operatorname {sgn} pa_{p(1)}^{1}\cdot \ldots \cdot a_{p(n-1)}^{(n-1)}=\det M_{j}'=\det M_{h}^{j}

{\ displaystyle \ sum _ {pP_ {n-1}} \ operatorname {sgn} pa_ {p (1)} ^ {1} \ cdot \ ldots \ cdot a_ {p (n-1)} ^ {(n- 1)} = \ det M_ {j} '= \ det M_ {h} ^ {j}}

{\ displaystyle \ sum _ {pP_ {n-1}} \ operatorname {sgn} pa_ {p (1)} ^ {1} \ cdot \ ldots \ cdot a_ {p (n-1)} ^ {(n- 1)} = \ det M_ {j} '= \ det M_ {h} ^ {j}}

Atâta timp cât $B_{j}'$ ${\ displaystyle B_ {j} '}$ $B j}} '$ se obține din $B_{j}$ ${\ displaystyle B_ {j}}$ $B j}}$ cu $n-h$ ${\ displaystyle nh}$ ${\ displaystyle n-h}$ schimburi de rânduri ed $n-j$ ${\ displaystyle nj}$ ${\ displaystyle n-j}$ schimburi de coloane, din proprietatea 2 a determinantului avem:

$\det B_{j}=(-1)^{n-h}*(-1)^{(n-j)}\cdot \det B_{j}'=(-1)^{2n-(h+j)}\cdot \det B_{j}'=(-1)^{(h+j)}\cdot \det M_{j}^{h}=A{j}^{h}$ ${\ displaystyle \ det B_ {j} = (- 1) ^ {nh} * (- 1) ^ {(nj)} \ cdot \ det B_ {j} '= (- 1) ^ {2n- (h + j)} \ cdot \ det B_ {j} '= (- 1) ^ {(h + j)} \ cdot \ det M_ {j} ^ {h} = A {j} ^ {h}}$ ${\ displaystyle \ det B_ {j} = (- 1) ^ {nh} * (- 1) ^ {(nj)} \ cdot \ det B_ {j} '= (- 1) ^ {2n- (h + j)} \ cdot \ det B_ {j} '= (- 1) ^ {(h + j)} \ cdot \ det M_ {j} ^ {h} = A {j} ^ {h}}$

Așa cum a fost menit să demonstreze.

Exemplu de calcul

Să calculăm determinantul următoarei matrice pătrate de ordinul trei:

A={\begin{pmatrix}1&2&3\\-2&-1&-3\\0&-4&1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ - 2 & -1 & -3 \\ 0 & -4 & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ - 2 & -1 & -3 \\ 0 & -4 & 1 \ end {pmatrix}}}

Începeți alegând în mod arbitrar un rând sau o coloană a matricei împotriva căreia să dezvoltați formula. Să presupunem că am ales prima linie: $(1,2,3)$ ${\ displaystyle (1,2,3)}$ $(1,2,3)$ ;
Fiecare număr al liniei selectate este înmulțit cu complementul algebric respectiv. Prin urmare:
- $1\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{pmatrix}-1&-3\\-4&1\end{pmatrix}}=1\cdot [-1\cdot 1-(-3)\cdot (-4)]=-1-12=-13$ ${\ displaystyle 1 \ cdot (-1) ^ {1 + 1} \ det {\ begin {pmatrix} -1 & -3 \\ - 4 & 1 \ end {pmatrix}} = 1 \ cdot [-1 \ cdot 1- (-3) \ cdot (-4)] = - 1-12 = -13}$ ${\ displaystyle 1 \ cdot (-1) ^ {1 + 1} \ det {\ begin {pmatrix} -1 & -3 \\ - 4 & 1 \ end {pmatrix}} = 1 \ cdot [-1 \ cdot 1- (-3) \ cdot (-4)] = - 1-12 = -13}$
- $2\cdot (-1)^{1+2}\det {\begin{pmatrix}-2&-3\\0&1\end{pmatrix}}=-2\cdot [-2\cdot 1-(-3)\cdot 0]=4$ ${\ displaystyle 2 \ cdot (-1) ^ {1 + 2} \ det {\ begin {pmatrix} -2 & -3 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = - 2 \ cdot [-2 \ cdot 1- (-3) \ cdot 0] = 4}$ ${\ displaystyle 2 \ cdot (-1) ^ {1 + 2} \ det {\ begin {pmatrix} -2 & -3 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = - 2 \ cdot [-2 \ cdot 1- (-3) \ cdot 0] = 4}$
- $3\cdot (-1)^{1+3}\det {\begin{pmatrix}-2&-1\\0&-4\end{pmatrix}}=3\cdot [-2\cdot (-4)-(-1)\cdot 0]=24$ ${\ displaystyle 3 \ cdot (-1) ^ {1 + 3} \ det {\ begin {pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -4 \ end {pmatrix}} = 3 \ cdot [-2 \ cdot (- 4) - (- 1) \ cdot 0] = 24}$ ${\ displaystyle 3 \ cdot (-1) ^ {1 + 3} \ det {\ begin {pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -4 \ end {pmatrix}} = 3 \ cdot [-2 \ cdot (- 4) - (- 1) \ cdot 0] = 24}$
Determinantul matricei inițiale este dat de suma produselor anterioare și este valid: $\det A=-13+4+24=15$ ${\ displaystyle \ det A = -13 + 4 + 24 = 15}$ ${\ displaystyle \ det A = -13 + 4 + 24 = 15}$ .
Rezultatul obținut este independent de rândul sau coloana aleasă inițial. De exemplu, folosind ultimul rând al matricei, care prin conținerea unui zero ajută la simplificarea în continuare a calculelor, obținem de fapt:

\det A=4{\begin{vmatrix}1&3\\-2&-3\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&2\\-2&-1\end{vmatrix}}=4\cdot (-3+6)+(-1+4)=15

{\ displaystyle \ det A = 4 {\ begin {vmatrix} 1 & 3 \\ - 2 & -3 \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} 1 & 2 \\ - 2 & -1 \ end { vmatrix}} = 4 \ cdot (-3 + 6) + (- 1 + 4) = 15}

{\ displaystyle \ det A = 4 {\ begin {vmatrix} 1 & 3 \\ - 2 & -3 \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} 1 & 2 \\ - 2 & -1 \ end { vmatrix}} = 4 \ cdot (-3 + 6) + (- 1 + 4) = 15}

Bibliografie

Tom M. Apostol, Calcul, volumul 2. Geometrie , editat de Alessandro Figà Talamanca ; trad. de Giunio Luzzatto, Anna Zappa și Francesco Ferro, Torino, Boringhieri , 1985, ISBN 88-339-5034-4 .
(EN) David Poole, Algebra liniară: o introducere modernă, Thomson Brooks / Cole, 2006, pp. 265-267, ISBN 978-0-534-99845-5 .
(EN) HE Rose, Algebra liniară: O abordare matematică pură , Springer, 2002, p. 57, ISBN 978-3-7643-6905-7 .

Elemente conexe

linkuri externe

Extinderea Laplace la PlanetMath

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema