Formula lui Jacobi

În matematică , formula Jacobi , numită după matematicianul CGJ Jacobi , exprimă derivata determinantului unei matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ prin matricea cofactorilor (sau matricea complementelor algebrice ) a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și derivatul lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în sine. Determinantul unei matrice poate fi de fapt considerat o funcție polinomială :

\det :\mathbb {R} ^{n\times n}\to \mathbb {R}

{\ displaystyle \ det: \ mathbb {R} ^ {n \ times n} \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ det: \ mathbb {R} ^ {n \ times n} \ to \ mathbb {R}}

de aceea este diferențiabilă și ei diferențială poate fi exprimată prin formula Jacobi:

d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {cof} ^{T}(A)dA)

{\ displaystyle d \ det (A) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {cof} ^ {T} (A) dA)}

d \ det (A) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {cof} ^ {T} (A) dA)

unde este $\operatorname {cof} ^{T}(A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} ^ {T} (A)}$ $\ operatorname {cof} ^ {T} (A)$ denotă transpunerea matricei cofactorului (numită și matricea adăugată și denumită $\operatorname {adj} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {adj} (A)}$ $\ operatorname {adj} (A)$ ), in timp ce $\operatorname {tr}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr}}$ $\ operatorname {tr}$ este pista .

De aici derivatul cu privire la $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ a determinantului scriem:

{\frac {d}{dt}}\det A(t)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ det A (t) = \ mathrm {tr} \ left (\ mathrm {adj} (A (t)) \, {\ frac {dA (t)} {dt}} \ right)}

{\ frac {d} {dt}} \ det A (t) = {\ mathrm {tr}} \ left ({\ mathrm {adj}} (A (t)) \, {\ frac {dA (t) } {dt}} \ dreapta)

Demonstrație

Expansiunea Laplace pentru determinantul unei matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi scris ca:

\det(A)=\sum _{j}A_{ij}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}

{\ displaystyle \ det (A) = \ sum _ {j} A_ {ij} \ mathrm {adj} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ij}}

\ det (A) = \ sum _ {j} A _ {{ij}} {\ mathrm {adj}} ^ {{{\ rm {T}}}} (A) _ {{ij}}

unde suma se poate face pe orice coloană $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ a matricei. Prin urmare, determinantul poate fi exprimat ca o funcție $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ a elementelor matricei:

\det(A)=F\,(A_{11},A_{12},\ldots ,A_{21},A_{22},\ldots ,A_{nn})

{\ displaystyle \ det (A) = F \, (A_ {11}, A_ {12}, \ ldots, A_ {21}, A_ {22}, \ ldots, A_ {nn})}

\ det (A) = F \, (A _ {{11}}, A _ {{12}}, \ ldots, A _ {{21}}, A _ {{22}}, \ ldots, A _ {{nn}})

astfel încât folosind regula lanțului vedem că diferențialul său este:

d\det(A)=\sum _{i}\sum _{j}{\partial F \over \partial A_{ij}}\,dA_{ij}

{\ displaystyle d \ det (A) = \ sum _ {i} \ sum _ {j} {\ partial F \ over \ partial A_ {ij}} \, dA_ {ij}}

d \ det (A) = \ sum _ {i} \ sum _ {j} {\ partial F \ over \ partial A _ {{ij}}} \, dA _ {{ij}}

cu suma care îi afectează pe toți $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ elementele matricei.

A calcula $\partial F/\partial A_{ij}$ ${\ displaystyle \ partial F / \ partial A_ {ij}}$ $\ partial F / \ partial A _ {{ij}}$ arbitrariul indexului este exploatat $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ în termenul din dreapta formulei Laplace, care poate fi ales să coincidă cu primul index al $\partial /\partial A_{ij}$ ${\ displaystyle \ partial / \ partial A_ {ij}}$ $\ partial / \ partial A _ {{ij}}$ :

{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}={\partial \sum _{k}A_{ik}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial (A_{ik}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}

{\ displaystyle {\ partial \ det (A) \ over \ partial A_ {ij}} = {\ partial \ sum _ {k} A_ {ik} \ mathrm {adj} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ik} \ over \ partial A_ {ij}} = \ sum _ {k} {\ partial (A_ {ik} \ mathrm {adj} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ik}) \ peste \ partial A_ {ij}}}

{\ partial \ det (A) \ over \ partial A _ {{ij}}} = {\ partial \ sum _ {k} A _ {{ik}} {\ mathrm {adj}} ^ {{{\ rm {T}}}} (A) _ {{ik}} \ over \ partial A _ {{ij}}} = \ sum _ {k} {\ partial (A _ {{ik}} {\ mathrm {adj }} ^ {{{\ rm {T}}}} (A) _ {{ik}}) \ over \ partial A _ {{ij}}}

astfel încât, cu regula produsului :

{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}+\sum _{k}A_{ik}{\partial \,\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}

{\ displaystyle {\ partial \ det (A) \ over \ partial A_ {ij}} = \ sum _ {k} {\ partial A_ {ik} \ over \ partial A_ {ij}} \ mathrm {adj} ^ { \ rm {T}} (A) _ {ik} + \ sum _ {k} A_ {ik} {\ partial \, \ mathrm {adj} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ik} \ peste \ partial A_ {ij}}}

{\ partial \ det (A) \ over \ partial A _ {{ij}}} = \ sum _ {k} {\ partial A _ {{ik}} \ over \ partial A _ {{ij}}} { \ mathrm {adj}} ^ {{{\ rm {T}}}} (A) _ {{ik}} + \ sum _ {k} A _ {{ik}} {\ partial \, {\ mathrm { adj}} ^ {{{\ rm {T}}}} (A) _ {{ik}} \ over \ partial A _ {{ij}}}

Dacă un element de $A_{ij}$ ${\ displaystyle A_ {ij}}$ $A _ {{ij}}$ și un cofactor $\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}$ ${\ displaystyle \ mathrm {adj} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ik}}$ ${\ mathrm {adj}} ^ {{{\ rm {T}}}} (A) _ {{ik}}$ a unui element de $A_{ik}$ ${\ displaystyle A_ {ik}}$ $A _ {{ik}}$ sunt în același rând (sau coloană), atunci cofactorul nu este o funcție a $A_{ij}$ ${\ displaystyle A_ {ij}}$ $A _ {{ij}}$ din moment ce cofactorul de $A_{ik}$ ${\ displaystyle A_ {ik}}$ $A _ {{ik}}$ este exprimat în termeni care nu se află în propriul rând (sau coloană). Prin urmare, derivatul dispare:

{\partial \,\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=0

{\ displaystyle {\ partial \, \ mathrm {adj} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ik} \ over \ partial A_ {ij}} = 0}

{\ partial \, {\ mathrm {adj}} ^ {{{\ rm {T}}}} (A) _ {{ik}} \ over \ partial A _ {{ij}}} = 0

prin urmare:

{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}

{\ displaystyle {\ partial \ det (A) \ over \ partial A_ {ij}} = \ sum _ {k} \ mathrm {adj} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ik} {\ partial A_ {ik} \ over \ partial A_ {ij}}}

{\ partial \ det (A) \ over \ partial A _ {{ij}}} = \ sum _ {k} {\ mathrm {adj}} ^ {{{\ rm {T}}}} (A) _ {{ik}} {\ partial A _ {{ik}} \ over \ partial A _ {{ij}}}

Toate elementele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt independente reciproc:

{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}=\delta _{jk}

{\ displaystyle {\ partial A_ {ik} \ over \ partial A_ {ij}} = \ delta _ {jk}}

{\ partial A _ {{ik}} \ over \ partial A _ {{ij}}} = \ delta _ {{jk}}

unde este $\delta _{jk}$ ${\ displaystyle \ delta _ {jk}}$ $\ delta _ {{jk}}$ este delta Kronecker . Prin urmare:

{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}\delta _{jk}=\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}

{\ displaystyle {\ partial \ det (A) \ over \ partial A_ {ij}} = \ sum _ {k} \ mathrm {adj} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ik} \ delta _ {jk} = \ mathrm {adj} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ij}}

{\ partial \ det (A) \ over \ partial A _ {{ij}}} = \ sum _ {k} {\ mathrm {adj}} ^ {{{\ rm {T}}}} (A) _ {{ik}} \ delta _ {{jk}} = {\ mathrm {adj}} ^ {{{\ rm {T}}}} (A) _ {{ij}}

din care rezultă:

d(\det(A))=\sum _{i}\sum _{j}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}\,dA_{ij}

{\ displaystyle d (\ det (A)) = \ sum _ {i} \ sum _ {j} \ mathrm {adj} ^ {\ rm {T}} (A) _ {ij} \, dA_ {ij} }

d (\ det (A)) = \ sum _ {i} \ sum _ {j} {\ mathrm {adj}} ^ {{{\ rm {T}}}} (A) _ {{ij}} \ , dA _ {{ij}}

Acum ia în considerare lema:

\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (A^{\rm {T}}B)

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {j} A_ {ij} B_ {ij} = \ mathrm {tr} (A ^ {\ rm {T}} B)}

\ sum _ {i} \ sum _ {j} A _ {{ij}} B _ {{ij}} = {\ mathrm {tr}} (A ^ {{{\ rm {T}}}} B)

care rezultă din:

\mathrm {tr} (A^{\rm {T}}B)=\sum _{j}(A^{\rm {T}}B)_{jj}=\sum _{j}\sum _{i}A_{ij}B_{ij}=\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}

{\ displaystyle \ mathrm {tr} (A ^ {\ rm {T}} B) = \ sum _ {j} (A ^ {\ rm {T}} B) _ {jj} = \ sum _ {j} \ sum _ {i} A_ {ij} B_ {ij} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} A_ {ij} B_ {ij}}

{\ mathrm {tr}} (A ^ {{{\ rm {T}}}} B) = \ sum _ {j} (A ^ {{{\ rm {T}}}} B) _ {{jj }} = \ sum _ {j} \ sum _ {i} A _ {{ij}} B _ {{ij}} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} A _ {{ij}} B _ {{ij}}

și profitând de faptul că:

\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (A^{\rm {T}}B)\qquad (AB)_{jk}=\sum _{i}A_{ji}B_{ik}

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {j} A_ {ij} B_ {ij} = \ mathrm {tr} (A ^ {\ rm {T}} B) \ qquad (AB) _ {jk} = \ sum _ {i} A_ {ji} B_ {ik}}

\ sum _ {i} \ sum _ {j} A _ {{ij}} B _ {{ij}} = {\ mathrm {tr}} (A ^ {{{\ rm {T}}}} B) \ qquad (AB) _ {{jk}} = \ sum _ {i} A _ {{ji}} B _ {{ik}}

Folosind lema, ajungem în cele din urmă la formula lui Jacobi:

d(\det(A))=\mathrm {tr} (\mathrm {adj} (A)\,dA)

{\ displaystyle d (\ det (A)) = \ mathrm {tr} (\ mathrm {adj} (A) \, dA)}

d (\ det (A)) = {\ mathrm {tr}} ({\ mathrm {adj}} (A) \, dA)

Bibliografie

( EN ) Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1999), Calcul diferențial matricial cu aplicații în statistică și econometrie , Wiley, ISBN 0-471-98633-X
( EN ) Bellmann, Richard (1987), Introducere în analiza matricială , SIAM, ISBN 0898713994

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) W. Kahan - Formula lui Jacobi pentru derivatul unui determinant ( PDF ), pe cs.berkeley.edu .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema