Teoria clasică a câmpului

O teorie clasică a câmpului (sau teoria câmpului clasic ) este o teorie fizică care prezice, prin ecuații de câmp , modul în care unul sau mai multe câmpuri interacționează cu materia. Termenul "teoria câmpului clasic" se referă în mod obișnuit la teoriile care descriu electromagnetismul și gravitația , două dintre interacțiunile fundamentale ale naturii. Teoriile care încorporează mecanica cuantică se numesc teorii cuantice ale câmpului .

Un câmp poate fi gândit prin atribuirea unei mărimi fizice fiecărui punct din spațiu și timp . De exemplu, într-o prognoză meteo, viteza vântului în timpul unei zile este descrisă prin atribuirea unui vector fiecărui punct din spațiu. Fiecare vector reprezintă direcția mișcării aerului în acel punct și, astfel, mulțimea tuturor acestor vectori într-o zonă la un moment dat de timp constituie un câmp vector . În timp, direcțiile pe care vectorii le indică să se schimbe pe măsură ce se schimbă direcția vântului.

Primele teorii de câmp, gravitația newtoniană și ecuațiile lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic din fizica clasică, au fost formulate înainte de apariția teoriei relativității în 1905 și au trebuit revizuite pentru a fi în concordanță cu acea teorie. În consecință, teoriile clasice de câmp sunt de obicei împărțite în non-relativiste și relativiste . Teoriile de câmp moderne sunt adesea exprimate folosind formalismul calculului tensorial . Un formalism matematic alternativ mai recent descrie teoriile câmpului ca secțiuni ale obiectelor matematice numite pachete .

În 1839 James MacCullagh a prezentat ecuații de câmp pentru a descrie reflexia și refracția în „Un eseu către o teorie dinamică a reflexiei și refracției cristaline”. ^[1]

Teorii de câmp non-relativiste

Unele dintre câmpurile fizice mai simple sunt câmpuri de forță vectoriale. Din punct de vedere istoric, conceptul de câmp a fost folosit pentru prima dată cu liniile de forță ale lui Faraday utilizate pentru a descrie câmpul electric . Câmpul gravitațional descris apoi într-un mod similar.

Gravitația newtoniană

Prima teorie gravitațională a câmpului a fost teoria lui Newton în care interacțiunea reciprocă dintre două mase satisface legea pătratului invers . Acest lucru a fost foarte util în prezicerea mișcării planetelor în jurul Soarelui.

Fiecare corp masiv M are un câmp gravitațional g care descrie influența lui M asupra altor corpuri masive. Câmpul lui M într-un punct r din spațiu este calculat prin determinarea forței F pe care M o exercită asupra unei mase mici de testare m situată în r și apoi împărțirea la m : ^[2]

\mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {r})} {m}}.}

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {r})} {m}}.}

De obicei, se presupune că m este mult mai mic decât M, deoarece acest lucru asigură că prezența lui m are o influență neglijabilă asupra comportamentului lui M.

Conform legii gravitației universale , F ( r ) este dat de ^[2]

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}},}

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}},}

unde este ${\hat {\mathbf {r} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$ ${\ hat {{\ mathbf {r}}}}$ este un vector unitate îndreptat de-a lungul liniei de la M la m , iar G este constanta gravitațională universală . Prin urmare, câmpul gravitațional al lui M este ^[2]

\mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {r})} {m}} = - {\ frac {GM} {r ^ {2 }}} {\ hat {\ mathbf {r}}}.}

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {r})} {m}} = - {\ frac {GM} {r ^ {2 }}} {\ hat {\ mathbf {r}}}.}

Observația experimentală că masa inerțială și masa gravitațională sunt egale la niveluri de precizie fără precedent duce la considerarea câmpului gravitațional identic cu accelerația percepută de o particulă. Acesta este punctul de plecare pentru principiul echivalenței , care duce la relativitatea generală .

Pentru un set discret de mase M _i , poziționat în punctele r _i , câmpul gravitațional la un punct r datorat acestor mase este

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}\,,

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - G \ sum _ {i} {\ frac {M_ {i} (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {i}})} { | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i} | ^ {3}}} \ ,,}

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - G \ sum _ {i} {\ frac {M_ {i} (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {i}})} { | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i} | ^ {3}}} \ ,,}

Dacă, pe de altă parte, considerăm o distribuție continuă a masei ρ , însumarea este înlocuită cu o integrală,

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - G \ iiint _ {V} {\ frac {\ rho (\ mathbf {x}) d ^ {3} \ mathbf {x} (\ mathbf {r} - \ mathbf {x})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {x} | ^ {3}}} \ ,,}

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - G \ iiint _ {V} {\ frac {\ rho (\ mathbf {x}) d ^ {3} \ mathbf {x} (\ mathbf {r} - \ mathbf {x})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {x} | ^ {3}}} \ ,,}

În forma integrală legea lui Gauss pentru gravitație este

\iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM

{\ displaystyle \ iint \ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {S} = -4 \ pi GM}

{\ displaystyle \ iint \ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {S} = -4 \ pi GM}

în timp ce în formă diferențială este

\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho _ {m}}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho _ {m}}

Prin urmare, câmpul gravitațional g poate fi scris în termeni de gradient al unui potențial gravitațional φ ( r ):

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - \ nabla \ phi (\ mathbf {r}).}

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - \ nabla \ phi (\ mathbf {r}).}

Aceasta este o consecință a conservării forței gravitaționale.

Electromagnetismul

Electrostatică

O încărcare de test q simte o forță F numai datorită sarcinii sale. Putem descrie câmpul electric E astfel încât F = q E. Folosind aceasta și legea lui Coulomb , câmpul electric datorat unei singure sarcini este

\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,.

{\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {q} {r ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r} }} \,.}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {q} {r ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r} }} \,.}

Câmpul electric este conservator , deci este dat de gradientul potențialului scalar, V ( r )

\mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )\,.

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = - \ nabla V (\ mathbf {r}) \,.}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = - \ nabla V (\ mathbf {r}) \,.}

Legea lui Gauss pentru electrostatice este, în formă integrală,

\iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {q_{e}}{\epsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ iint \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {S} = {\ frac {q_ {e}} {\ epsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle \ iint \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {S} = {\ frac {q_ {e}} {\ epsilon _ {0}}}}

în timp ce în formă diferențială

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{e}}{\epsilon _{0}}}\,.

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho _ {e}} {\ epsilon _ {0}}} \,.}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho _ {e}} {\ epsilon _ {0}}} \,.}

Magnetostatice

Un curent staționar I de -a lungul unei căi ℓ va exercita o forță asupra sarcinilor vecine care este diferită cantitativ de forța electrică descrisă mai sus. Forța exercitată de I asupra unei sarcini vecine q cu viteza v este

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r}),}

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r}),}

unde B ( r ) este câmpul magnetic , determinat de I folosind legea Biot-Savart :

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} \ int {\ frac {d {\ boldsymbol {\ ell}} \ ori d {\ hat {\ mathbf {r}}}} {r ^ {2}}}.}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} \ int {\ frac {d {\ boldsymbol {\ ell}} \ ori d {\ hat {\ mathbf {r}}}} {r ^ {2}}}.}

Câmpul magnetic nu este de obicei conservator, deci nu poate fi scris în termeni de potențial scalar; în schimb, poate fi scris în termeni de vector potențial, A ( r ):

\mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = \ nabla \ times \ mathbf {A} (\ mathbf {r})}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = \ nabla \ times \ mathbf {A} (\ mathbf {r})}

Legea lui Gauss pentru magnetism în formă integrală este

\iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,

{\ displaystyle \ iint \ mathbf {B} \ cdot d \ mathbf {S} = 0,}

{\ displaystyle \ iint \ mathbf {B} \ cdot d \ mathbf {S} = 0,}

în timp ce în formă diferențială este

\nabla \cdot \mathbf {B} =0.

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0.}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0.}

Interpretarea fizică este că nu există monopoluri magnetice .

Electrodinamică

În general, în prezența unei densități de încărcare ρ ( r , t ) și a unei densități de curent J ( r , t ), vor exista atât un câmp electric, cât și un câmp magnetic și ambele vor varia în timp. Acestea sunt determinate de ecuațiile lui Maxwell , un sistem de ecuații diferențiale care leagă E și B de densitatea de sarcină (sarcină pe unitate de volum) ρ și densitatea de curent electric (curent pe unitate de suprafață) J. ^[3]

Alternativ, sistemul poate fi descris în termeni de potențial V și A. Un sistem de ecuații integrale cunoscut sub numele de potențiale retardate permite calcularea V și A din ρ și J , ^{[N 1]} și, prin urmare, câmpurile electrice și magnetice sunt determinate de relațiile ^[4]

\mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla V - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla V - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}.}

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}.}

Mecanica continuă

Dinamica fluidelor

Dinamica fluidelor tratează câmpurile de presiune, densitate și flux care sunt legate de legile conservării energiei și a impulsului. Conservarea masei este reprezentată de o ecuație de continuitate a formei

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}

iar ecuațiile Navier-Stokes reprezintă conservarea impulsului în fluid, constatată prin aplicarea legilor lui Newton asupra fluidului,

{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho \ mathbf {u}) + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u} + p \ mathbf { I}) = \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} + \ rho \ mathbf {b}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho \ mathbf {u}) + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u} + p \ mathbf { I}) = \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} + \ rho \ mathbf {b}}

dacă sunt date densitatea ρ , presiunea p , tensorul de tensiune τ al fluidului, precum și forțele externe corpului b . Soluția acestor ecuații este câmpul de viteză u .

Teoria potențială

Termenul „ teoria potențialului ” apare din faptul că, în fizica secolului al XIX-lea, se credea că forțele fundamentale ale naturii apar din potențialele scalare care satisfac ecuația lui Laplace . Poisson, studiind stabilitatea orbitelor planetare, a derivat ecuația care îi poartă numele . Forma generală a acestei ecuații este

\nabla ^{2}\phi =\sigma

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = \ sigma}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = \ sigma}

unde σ este o funcție a surselor (cum ar fi densitatea) și φ potențialul scalar care trebuie găsit.

În cazul absenței surselor, aceste potențiale satisfac ecuația Laplace :

\nabla ^{2}\phi =0

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 0}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 0}

Teoria câmpului relativist

Formulările moderne ale teoriilor de câmp clasice necesită în general covarianța Lorentz , deoarece este considerată o trăsătură fundamentală a naturii. O teorie de câmp este de obicei exprimată matematic folosind Lagrangianul . Aceasta este o funcție care, sub rezerva unui principiu de acțiune , conduce la ecuații de câmp și la o lege de conservare a teoriei. Acțiunea este un scalar Lorentz, din care pot fi derivate cu ușurință ecuațiile și simetriile de câmp.

De acum înainte vom folosi unități pentru care viteza luminii în vid este c = 1. ^{[N 2]}

Dinamica lagrangiană

Dat fiind un tensor de câmp φ , un scalar numit densitate lagrangiană

{\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial \ phi, \ partial \ partial \ phi, \ ldots, x)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial \ phi, \ partial \ partial \ phi, \ ldots, x)}

poate fi construit din φ și derivatele sale.

Din această densitate, acțiunea funcțională poate fi obținută prin integrarea pe spațiu-timp,

{\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int {{\ mathcal {L}} {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int {{\ mathcal {L}} {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

Aici ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}$ este elementul de volum în spațiu-timp curbat. $(g\equiv {\text{det}}(g_{\mu \nu }))$ ${\ displaystyle (g \ equiv {\ text {det}} (g _ {\ mu \ nu}))}$ ${\ displaystyle (g \ equiv {\ text {det}} (g _ {\ mu \ nu}))}$

Prin urmare, Lagrangianul este egal cu integralul densității Lagrangian pe tot spațiul.

Prin urmare, aplicând principiul acțiunii obținem ecuațiile Euler - Lagrange

{\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ phi}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ right) + \ cdots + (- 1) ^ { m} \ partial _ {\ mu _ {1}} \ partial _ {\ mu _ {2}} \ cdots \ partial _ {\ mu _ {m-1}} \ partial _ {\ mu _ {m}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu _ {1}} \ partial _ {\ mu _ {2}} \ cdots \ partial _ {\ mu _ {m-1}} \ partial _ {\ mu _ {m}} \ phi)}} \ right) = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ phi}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ right) + \ cdots + (- 1) ^ { m} \ partial _ {\ mu _ {1}} \ partial _ {\ mu _ {2}} \ cdots \ partial _ {\ mu _ {m-1}} \ partial _ {\ mu _ {m}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu _ {1}} \ partial _ {\ mu _ {2}} \ cdots \ partial _ {\ mu _ {m-1}} \ partial _ {\ mu _ {m}} \ phi)}} \ right) = 0.}

Câmpuri relativiste

Electromagnetismul

Din punct de vedere istoric, primele teorii au tratat separat câmpurile electrice și magnetice. După numeroase experimente, s-a constatat că aceste două câmpuri sunt legate sau două aspecte ale aceluiași câmp: câmpul electromagnetic . Teoria electromagnetismului lui Maxwell descrie interacțiunea sarcinilor cu câmpul electromagnetic. Prima formulare a acestei teorii a folosit câmpuri vectoriale. De la apariția relativității speciale, a fost utilizată o formulare mai completă, folosind câmpuri tensoriale . În loc de a utiliza două câmpuri vectoriale pentru a descrie câmpul electric și magnetic, este utilizat un câmp tensor care reprezintă cele două câmpuri împreună.

Patru potențial electromagnetic este definit ca A _a = (- φ , A ), iar patru curenți j _a = (- ρ , j ). Câmpul electromagnetic în orice punct din spațiu-timp este descris de tensorul electromagnetic , antisimetric și de tip (0,2), de forma

F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.

{\ displaystyle F_ {ab} = \ partial _ {a} A_ {b} - \ partial _ {b} A_ {a}.}

{\ displaystyle F_ {ab} = \ partial _ {a} A_ {b} - \ partial _ {b} A_ {a}.}

Lagrangianul

Pentru a obține dinamica din acest câmp, încercăm să formăm un scalar din acesta. În gol, ai

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}\,.

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F ^ {ab} F_ {ab} \,.}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F ^ {ab} F_ {ab} \,.}

Prin teoria gabaritului se poate găsi termenul de interacțiune și, prin urmare, devine

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a}\,.

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F ^ {ab} F_ {ab} -j ^ {a} A_ {a} \,. }

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F ^ {ab} F_ {ab} -j ^ {a} A_ {a} \,. }

Ecuațiile

Pentru a obține ecuațiile de câmp, este necesar să se înlocuiască tensorul electromagnetic cu definiția sa în termeni de quadripotențial A și acest potențial intră în ecuațiile Euler-Lagrange. Câmpul F nu variază în ecuațiile EL. Prin urmare,

\partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}\,.

{\ displaystyle \ partial _ {b} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ left (\ partial _ {b} A_ {a} \ right)}} \ right) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A_ {a}}} \,.}

{\ displaystyle \ partial _ {b} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ left (\ partial _ {b} A_ {a} \ right)}} \ right) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A_ {a}}} \,.}

Evaluați derivata densității lagrangiene în raport cu componentele câmpului

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}=\mu _{0}j^{a}\,,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A_ {a}}} = \ mu _ {0} j ^ {a} \ ,,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A_ {a}}} = \ mu _ {0} j ^ {a} \ ,,}

și derivatele lor

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{b}A_{a})}}=F^{ab}\,,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {b} A_ {a})}} = F ^ {ab} \ ,,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {b} A_ {a})}} = F ^ {ab} \ ,,}

dă ecuațiile lui Maxwell în vid. Ecuațiile surselor (legea lui Gauss pentru electricitate și legea lui Maxwell-Ampère) sunt date de

\partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}\,.

{\ displaystyle \ partial _ {b} F ^ {ab} = \ mu _ {0} j ^ {a} \,.}

{\ displaystyle \ partial _ {b} F ^ {ab} = \ mu _ {0} j ^ {a} \,.}

în timp ce celelalte două (legea lui Gauss pentru magnetism și legea lui Faraday) sunt obținute din faptul că F este cuadrotorul lui A sau, cu alte cuvinte, din faptul că identitatea lui Bianchi este valabilă pentru tensorul electromagnetic.

6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.

{\ displaystyle 6F _ {[ab, c]} \, = F_ {ab, c} + F_ {ca, b} + F_ {bc, a} = 0.}

{\ displaystyle 6F _ {[ab, c]} \, = F_ {ab, c} + F_ {ca, b} + F_ {bc, a} = 0.}

unde virgula indică o derivată parțială în raport cu componenta după virgulă.

Severitate

După ce a constatat că gravitația newtoniană este incompatibilă cu relativitatea specială, Albert Einstein a formulat o nouă teorie a gravitației, relativitatea generală . Tratează gravitația ca un fenomen geometric („ spațiu - timp curbat”) cauzat de prezența masei sau energiei și descrie câmpul gravitațional matematic printr-un tensor numit tensor metric . Prin urmare, această teorie depășește teoria lui Newton . Ecuațiile de câmp ale lui Einstein ,

G_{ab}=\kappa T_{ab}

{\ displaystyle G_ {ab} = \ kappa T_ {ab}}

{\ displaystyle G_ {ab} = \ kappa T_ {ab}}

descriu modul în care curbura este produsă de materie și radiații; aici G _ab este tensorul Einstein ,

G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}

{\ displaystyle G_ {ab} \, = R_ {ab} - {\ frac {1} {2}} Rg_ {ab}}

{\ displaystyle G_ {ab} \, = R_ {ab} - {\ frac {1} {2}} Rg_ {ab}}

scris în termenii tensorului Ricci R _ab și al scalarului Ricci R = R _ab g ^ab , T _ab este tensorul energie-impuls și κ = 8πG / c ⁴ este o constantă. În absența materiei și a radiațiilor, ecuațiile în vid ,

G_{ab}=0\,

{\ displaystyle G_ {ab} = 0 \,}

{\ displaystyle G_ {ab} = 0 \,}

poate fi derivat din variația acțiunii Einstein-Hilbert ,

S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x

{\ displaystyle S = \ int R {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x}

{\ displaystyle S = \ int R {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x}

în ceea ce privește metrica g ^ab , unde g este determinantul său. Conform unei interpretări alternative, de Arthur Eddington , este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ dimensiunea fundamentală, $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este pur și simplu o chestiune de $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , Și $\kappa$ ${\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ este constrânsă de alegerea unităților de măsură.

Încercări de unificare

În perioada interbelică , ideea unificării gravitației cu electromagnetismul a fost studiată în mod activ de mulți matematicieni și fizicieni precum Albert Einstein , Theodor Kaluza , ^[5] Hermann Weyl , ^[6] Arthur Eddington , ^[7] Gustav Mie ^[8] și Ernst Reichenbacher. ^[9]

Primele încercări de a crea o astfel de teorie s-au bazat pe integrarea câmpurilor electromagnetice în geometria relativității generale . În 1918, prima geometrizare a câmpului electromagnetic a fost propusă de Hermann Weyl. ^[10] În 1919, Theodor Kaluza a propus o abordare în cinci dimensiuni. Din aceasta a urmat dezvoltarea așa-numitei teorii Kaluza-Klein . Încearcă să unifice gravitația cu electromagnetismul într-un spațiu-timp în cinci dimensiuni. Există multe modalități de a extinde o teorie care au fost luate în considerare de Einstein și de alți cercetători. Astfel de extensii se bazează de obicei pe două opțiuni. Primul implică relaxarea condițiilor impuse în formularea originală, iar al doilea se bazează pe introducerea de noi obiecte matematice. Teoria Kaluza-Klein este un exemplu al primei opțiuni: restricția la spațiul cu patru dimensiuni a fost relaxată luând în considerare încă o dimensiune. În ceea ce privește a doua opțiune, cel mai relevant exemplu este introducerea conceptului de conexiune afină în teoria relativității generale , în principal datorită lucrărilor lui Tullio Levi-Civita și Hermann Weyl .

Dezvoltările ulterioare ale teoriei câmpului cuantic au condus la căutarea unei teorii unificate a câmpului în contextul descrierii cuantice. Din această cauză, mulți fizicieni teoretici au abandonat ideea de a găsi o teorie unificată clasică. ^[10] Teoriile câmpului cuantic implică unificarea celorlalte două interacțiuni fundamentale , puternica și slabă , care acționează la nivel subatomic. ^[11] ^[12]

Notă

Perspective

^ Acest lucru depinde de alegerea corectă a gabaritului . φ și A nu sunt determinate în mod unic de ρ și J ; sunt determinate până la o funcție scalară f ( r , t ) numită gauge. Formalismul potențialelor întârziate necesită alegerea gabaritului Lorenz .
^ Acest lucru este echivalent cu alegerea de secunde-lumină și secunde, sau ani-lumină și ani ca unitate de lungime și timp. Setarea c = 1 permite simplificarea ecuațiilor. De exemplu, E = mc ² reduce E = m (deoarece c ² = 1). Trebuie să țineți cont de acest „truc” atunci când faceți calcule numerice.

Bibliografic

^ James MacCullagh (1839) Un eseu către o teorie dinamică a reflexiei și refracției cristaline , Tranzacții, Royal Irish Academy 21
^ ^a ^b ^c David Kleppner și Robert Kolenkow, An Introduction to Mechanics , p. 85.
^ David Griffiths, Introducere în electrodinamică , ediția a III-a, P. 326.
^ Roald Wangsness, Câmpuri electromagnetice , ediția a II-a, P. 469.
^ Theodor Kaluza, Zum Unitätsproblem in der Physik , in Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.) , 1921, pp. 966-972.
^ Weyl, H., Gravitation und Elektrizität , in Sitz. Preuss. Akad. Wiss. , 1918, p. 465.
^ Eddington, AS, The Mathematical Theory of Relativity, 2a ed. , Cambridge Univ. Press, 1924.
^ Mie, G., Grundlagen einer Theorie der Materie , în Ann. Fizic. , vol. 37, n. 3, 1912, pp. 511-534, Bibcode : 1912AnP ... 342..511M , DOI : 10.1002 / andp.19123420306 .
^ Reichenbächer, E., Grundzüge zu einer Theorie der Elektrizität und der Gravitation , în Ann. Fizic. , vol. 52, nr. 2, 1917, pp. 134-173, Bibcode : 1917AnP ... 357..134R , DOI : 10.1002 / andp. 19173570203 .
^ ^a ^b Sauer Tilman, The Cambridge Companion to Einstein , ISBN 9781139024525 .
^ Golden Gadzirayi Nyambuya, Unified Field Theory - Paper I, Gravitational, Electromagnetic, Weak & the Strong Force ( PDF ), în Apeiron , vol. 14, n. 4, octombrie 2007, p. 321. Adus la 30 decembrie 2017 .
^ W. De Boer, Grand teorii unificate și supersimetrie în fizica particulelor și cosmologie ( PDF ), în Progress in Particle and Nuclear Physics , vol. 33, 1994, pp. 201-301, Bibcode : 1994PrPNP..33..201D , DOI : 10.1016 / 0146-6410 (94) 90045-0 , arXiv : hep-ph / 9402266 . Adus la 30 decembrie 2017 .

Bibliografie

Clifford Truesdell și RA Toupin , The Classical Field Theories , în Siegfried Flügge (ed.), Principles of Classical Mechanics and Field Theory / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie , Handbuch der Physik (Encyclopedia of Physics) , III / 1, Berlin- Heidelberg -New York, Springer-Verlag, 1960, pp. 226-793, Zbl 0118.39702 .

linkuri externe

Bo Thidé , Teoria câmpului electromagnetic ( PDF ), su plasma.uu.se . Adus la 14 februarie 2006 (arhivat din original la 17 septembrie 2003) .
Sean M. Carroll, Note de curs despre relativitatea generală , 1997, Bibcode : 1997gr.qc .... 12019C , arXiv : gr-qc / 9712019 .
James J. Binney, Note de curs asupra câmpurilor clasice ( PDF ), la www-thphys.physics.ox.ac.uk . Adus 30-04-2007 .
Gennadi Sardanashvily , Advanced Classical Field Theory , în International Journal of Geometric Methods in Modern Physics , vol. 5, nr. 7, noiembrie 2008, pp. 1163-1189, Bibcode : 2008IJGMM..05.1163S , DOI : 10.1142 / S0219887808003247 , ISBN 978-981-283-895-7 , arXiv : 0811.0331 .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[4] Acest lucru depinde de alegerea corectă a gabaritului . φ și A nu sunt determinate în mod unic de ρ și J ; sunt determinate până la o funcție scalară f ( r , t ) numită gauge. Formalismul potențialelor întârziate necesită alegerea gabaritului Lorenz .

[6] Acest lucru este echivalent cu alegerea de secunde-lumină și secunde, sau ani-lumină și ani ca unitate de lungime și timp. Setarea c = 1 permite simplificarea ecuațiilor. De exemplu, E = mc ² reduce E = m (deoarece c ² = 1). Trebuie să țineți cont de acest „truc” atunci când faceți calcule numerice.

[1] James MacCullagh (1839) Un eseu către o teorie dinamică a reflexiei și refracției cristaline , Tranzacții, Royal Irish Academy 21

[kleppner85-2] David Kleppner și Robert Kolenkow, An Introduction to Mechanics , p. 85.

[griffiths326-3] David Griffiths, Introducere în electrodinamică , ediția a III-a, P. 326.

[wangsness469-5] Roald Wangsness, Câmpuri electromagnetice , ediția a II-a, P. 469.

[kal-7] Theodor Kaluza, Zum Unitätsproblem in der Physik , in Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.) , 1921, pp. 966-972.

[8] Weyl, H., Gravitation und Elektrizität , in Sitz. Preuss. Akad. Wiss. , 1918, p. 465.

[9] Eddington, AS, The Mathematical Theory of Relativity, 2a ed. , Cambridge Univ. Press, 1924.

[10] Mie, G., Grundlagen einer Theorie der Materie , în Ann. Fizic. , vol. 37, n. 3, 1912, pp. 511-534, Bibcode : 1912AnP ... 342..511M , DOI : 10.1002 / andp.19123420306 .

[11] Reichenbächer, E., Grundzüge zu einer Theorie der Elektrizität und der Gravitation , în Ann. Fizic. , vol. 52, nr. 2, 1917, pp. 134-173, Bibcode : 1917AnP ... 357..134R , DOI : 10.1002 / andp. 19173570203 .

[Tilman-12] Sauer Tilman, The Cambridge Companion to Einstein , ISBN 9781139024525 .

[13] Golden Gadzirayi Nyambuya, Unified Field Theory - Paper I, Gravitational, Electromagnetic, Weak & the Strong Force ( PDF ), în Apeiron , vol. 14, n. 4, octombrie 2007, p. 321. Adus la 30 decembrie 2017 .

[14] W. De Boer, Grand teorii unificate și supersimetrie în fizica particulelor și cosmologie ( PDF ), în Progress in Particle and Nuclear Physics , vol. 33, 1994, pp. 201-301, Bibcode : 1994PrPNP..33..201D , DOI : 10.1016 / 0146-6410 (94) 90045-0 , arXiv : hep-ph / 9402266 . Adus la 30 decembrie 2017 .

[1]

[2]

[3]

[N 1]

[4]

[N 2]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]