Acțiunea Einstein-Hilbert

Acțiunea Einstein-Hilbert (cunoscută și sub numele de acțiunea Hilbert , propusă pentru prima dată în 1915 ^[1] ) în relativitatea generală ne permite să deducem ecuația câmpului , folosind un principiu de acțiune staționară.

Acest principiu, aplicat acțiunii unui sistem mecanic, permite obținerea ecuațiilor mișcării: în acest fel, au fost deduse funcțiile lagrangiene și hamiltoniene ale mecanicii clasice.

Acțiunea Einstein-Hilbert este dată de ^[2] :

S=-{1 \over 2\kappa }\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\;,

{\ displaystyle S = - {1 \ over 2 \ kappa} \ int R {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x \;,}

S = - {1 \ over 2 \ kappa} \ int R {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x \;,

unde este:

g=\det(g_{\mu \nu })

{\ displaystyle g = \ det (g _ {\ mu \ nu})}

g = \ det (g _ {{\ mu \ nu}})

este determinantul tensorului metric ,

R.

{\ displaystyle R}

R.

este urcarea Ricci ,

\kappa =8\pi Gc^{-4}

{\ displaystyle \ kappa = 8 \ pi Gc ^ {- 4}}

\ kappa = 8 \ pi Gc ^ {{- 4}}

, cu

G.

{\ displaystyle G}

G.

constanta de greutate e

c

{\ displaystyle c}

c

este viteza luminii în vid.

Integrala este calculată de-a lungul întregului spațiu-timp , dacă converge. Dacă spațiul-timp diferă, $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ nu mai este definit, dar există o definiție modificată în care integralul este extins de-a lungul unuia sau mai multor vecinătăți mari și relativ compacte, astfel încât să se deducă ecuațiile de câmp prin ecuațiile Euler-Lagrange aplicate acțiunii lui Einstein -Hilbert.

Discuţie

Deducerea ecuațiilor din acțiuni fizice are mai multe avantaje. în primul rând, permite unificarea cu alte teorii de câmp, care sunt formulate și în termeni de acțiuni fizice, cum ar fi teoria lui Maxwell .
Mai mult, acțiunea facilitează identificarea mărimilor constante, prin studiul simetriilor acțiunilor cu teorema Noether .

În relativitatea generală, acțiunea este tratată ca o funcție matematică a metricii (și a câmpurilor materiei), iar conexiunea este cea a lui Levi-Civita .
În formularea lui Palatini , metrica și conexiunea sunt independente una de cealaltă, iar acțiunea variază față de ambele, luate independent. În această formulare se utilizează o identitate notabilă numită identitate Palatini , care exprimă variația tensorului Ricci în funcție de derivata covariantă a variației conexiunii Levi-Civita ^[3] .

Orice acțiune datorată prezenței materiei se adaugă la termenii ecuației de câmp deduse din acțiunea Einstein-Hilbert.

Derivarea ecuațiilor de câmp ale lui Einstein

Să presupunem că acțiunea totală este dată de termenul Einstein-Hilbert plus un termen ${\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}}$ ${\ mathcal {L}} _ {{\ mathrm {M}}}$ , care descrie orice domeniu al materiei care apare în timpul teoriei. Prin urmare, vom avea:

S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\,R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x

{\ displaystyle S = \ int \ left [{1 \ over 2 \ kappa} \, R + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} \ right] {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

S = \ int \ left [{1 \ over 2 \ kappa} \, R + {\ mathcal {L}} _ {{\ mathrm {M}}} \ right] {\ sqrt {-g}} \, { \ mathrm {d}} ^ {4} x

Pentru principiul acțiune-reacție, variația care urmează unei acțiuni și față de metrica sa inversă este zero. Prin urmare:

{\begin{aligned}0&=\delta S\\&=\int \left[{1 \over 2\kappa }{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}R)}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left({\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ delta S \\ & = \ int \ left [{1 \ over 2 \ kappa} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} R)} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} ^ {4} x \\ & = \ int \ left [{1 \ over 2 \ kappa} \ left ({\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {- g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right) + {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g} } {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g }} \, \ mathrm {d} ^ {4} x. \ end {align}}}

{\ begin {align} 0 & = \ delta S \\ & = \ int \ left [{1 \ over 2 \ kappa} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} R)} {\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}}} + {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {{\ mathrm {M}}})} {\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}}} \ right] \ delta g ^ {{\ mu \ nu}} {\ mathrm {d}} ^ {4} x \\ & = \ int \ left [{1 \ over 2 \ kappa} \ left ({\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}}} + {\ frac {R} {{\ sqrt {-g}}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}} \ right) + {\ frac {1} {{\ sqrt {-g}}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {{\ mathrm {M}}})} {\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}}} dreapta] \ delta g ^ {{\ mu \ nu}} {\ sqrt {-g}} \, {\ mathrm {d}} ^ {4} x. \ end {align}}

care este valabil pentru fiecare $\delta g^{\mu \nu }$ ${\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu}}$ $\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}$ , prin urmare:

{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2\kappa {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}},

{\ displaystyle {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + {\ frac {R} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt { -g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - 2 \ kappa {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {- g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}},}

{\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}}} + {\ frac {R} {{\ sqrt {-g}}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}}} = - 2 \ kappa {\ frac {1} {{\ sqrt {-g}}}} {\ frac {\ delta ( {\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {{\ mathrm {M}}})} {\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}}},

care este ecuația de mișcare a câmpului metric.

Partea dreaptă a acestei ecuații este (prin definiție) proporțională cu tensorul de energie al impulsului :

T_{\mu \nu }:={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }.

{\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}: = {\ frac {-2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L} } _ {\ mathrm {M}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - 2 {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}} { \ delta g ^ {\ mu \ nu}}} + g _ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}.}

T _ {{\ mu \ nu}}: = {\ frac {-2} {{\ sqrt {-g}}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L }} _ {{\ mathrm {M}}})} {\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}} = - 2 {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {{\ mathrm { M}}}} {\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}}} + g _ {{\ mu \ nu}} {\ mathcal {L}} _ {{\ mathrm {M}}}.

Cu toate acestea, pentru a calcula partea stângă a ecuației, avem nevoie de variația R scalar Ricci și de determinantul tensorului metric.

Variația tensorului Riemann, a tensorului Ricci și a scalarului Ricci

Pentru a calcula variația scalarului Ricci , calculăm mai întâi variația tensorului Riemann și apoi variația tensorului Ricci . În cele din urmă, ne amintim că tensorul de curbură Riemann este definit de:

{R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }.

{\ displaystyle {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} - \ partial _ {\ nu} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda}.}

{\ displaystyle {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} - \ partial _ {\ nu} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda}.}

Deoarece curbura Riemann depinde numai de conexiunea Levi-Civita $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}$ , variația tensorului Riemann este dată de:

\delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\delta \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }.

{\ displaystyle \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} - \ partial _ {\ nu} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} + \ delta \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda } + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ delta \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda}.}

{\ displaystyle \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} - \ partial _ {\ nu} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} + \ delta \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda } + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ delta \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda}.}

De asemenea, din moment ce diferența dintre două conexiuni $\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }$ ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}}$ este un tensor, putem calcula derivata sa covarianta ,

\nabla _{\mu }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)=\partial _{\mu }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\delta \Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }.

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) = \ partial _ {\ mu} (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}) + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} \ delta \ Gamma _ {\ lambda \ sigma} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho }.}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) = \ partial _ {\ mu} (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}) + \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} \ delta \ Gamma _ {\ lambda \ sigma} ^ {\ rho} - \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ lambda} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ rho }.}

Observăm acum că variația tensorului de curbură Riemann este exact diferența a doi dintre acești termeni,

\delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\nabla _{\mu }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }\right).

{\ displaystyle \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ nabla _ {\ mu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ dreapta) - \ nabla _ {\ nu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} \ right).}

{\ displaystyle \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ nabla _ {\ mu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ dreapta) - \ nabla _ {\ nu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ rho} \ right).}

Acum putem obține variația tensorului Ricci prin simpla contractare a doi indici ai variației tensorului Riemann și obținem identitatea Palatini :

\delta R_{\sigma \nu }\equiv \delta {R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }=\nabla _{\rho }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }\right).

{\ displaystyle \ delta R _ {\ sigma \ nu} \ equiv \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ rho \ nu} = \ nabla _ {\ rho} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) - \ nabla _ {\ nu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ rho \ sigma} ^ {\ rho} \ right).}

{\ displaystyle \ delta R _ {\ sigma \ nu} \ equiv \ delta {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ rho \ nu} = \ nabla _ {\ rho} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} \ right) - \ nabla _ {\ nu} \ left (\ delta \ Gamma _ {\ rho \ sigma} ^ {\ rho} \ right).}

Scalarul lui Ricci este definit de:

R=g^{\sigma \nu }R_{\sigma \nu }.

{\ displaystyle R = g ^ {\ sigma \ nu} R _ {\ sigma \ nu}.}

{\ displaystyle R = g ^ {\ sigma \ nu} R _ {\ sigma \ nu}.}

Prin urmare, variația sa exprimată în raport cu metrica inversă $g^{\sigma \nu }$ ${\ displaystyle g ^ {\ sigma \ nu}}$ ${\ displaystyle g ^ {\ sigma \ nu}}$ este dat de:

{\begin{aligned}\delta R&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+g^{\sigma \nu }\delta R_{\sigma \nu }\\&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+\nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right).\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta R & = R _ {\ sigma \ nu} \ delta g ^ {\ sigma \ nu} + g ^ {\ sigma \ nu} \ delta R _ {\ sigma \ nu } \\ & = R _ {\ sigma \ nu} \ delta g ^ {\ sigma \ nu} + \ nabla _ {\ rho} \ left (g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu} \ right). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta R & = R _ {\ sigma \ nu} \ delta g ^ {\ sigma \ nu} + g ^ {\ sigma \ nu} \ delta R _ {\ sigma \ nu } \\ & = R _ {\ sigma \ nu} \ delta g ^ {\ sigma \ nu} + \ nabla _ {\ rho} \ left (g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu} \ right). \ end {align}}}

În a doua linie a ecuației am făcut uz de lema Ricci (compatibilitatea metricei cu privire la derivata covariantă), $\nabla _{\sigma }g^{\mu \nu }=0,$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ sigma} g ^ {\ mu \ nu} = 0,}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ sigma} g ^ {\ mu \ nu} = 0,}$ și rezultatul anterior pentru variația curburii Ricci (în al doilea termen, redenumirea indicilor însumați $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ in loc de $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ respectiv).

Ultimul termen,

\nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right)\quad \mathrm {ovvero} \quad \nabla _{\rho }A^{\rho }\equiv A^{\lambda }{}_{;\lambda }\quad \mathrm {dove} \quad A^{\rho }=g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu },

{\ displaystyle \ nabla _ {\ rho} \ left (g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu} \ right) \ quad \ mathrm {or} \ quad \ nabla _ {\ rho} A ^ {\ rho} \ equiv A ^ {\ lambda} {} _ {; \ lambda} \ quad \ mathrm {where} \ quad A ^ {\ rho} = g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu},}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ rho} \ left (g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu} \ right) \ quad \ mathrm {or} \ quad \ nabla _ {\ rho} A ^ {\ rho} \ equiv A ^ {\ lambda} {} _ {; \ lambda} \ quad \ mathrm {where} \ quad A ^ {\ rho} = g ^ {\ sigma \ nu} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho} -g ^ {\ sigma \ rho} \ delta \ Gamma _ {\ mu \ sigma} ^ {\ mu},}

multiplicându-l cu ${\sqrt {-g}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$ , devine o derivată totală , deoarece, pentru fiecare vector $A^{\lambda }$ ${\ displaystyle A ^ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ lambda}}$ iar pentru fiecare densitate tensorială ${\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}}$ , avem asta:

{\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }{}_{;\lambda }=({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda })_{;\lambda }=({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda })_{,\lambda }\quad \mathrm {ovvero} \quad {\sqrt {-g}}\,\nabla _{\mu }A^{\mu }=\nabla _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)=\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)

{\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda} {} _ {; \ lambda} = ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}) _ {; \ lambda} = ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}) _ {, \ lambda} \ quad \ mathrm {ie} \ quad {\ sqrt {-g}} \, \ nabla _ { \ mu} A ^ {\ mu} = \ nabla _ {\ mu} \ left ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ mu} \ right) = \ partial _ {\ mu} \ left ( {\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ mu} \ right)}

{\ displaystyle {\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda} {} _ {; \ lambda} = ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}) _ {; \ lambda} = ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ lambda}) _ {, \ lambda} \ quad \ mathrm {ie} \ quad {\ sqrt {-g}} \, \ nabla _ { \ mu} A ^ {\ mu} = \ nabla _ {\ mu} \ left ({\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ mu} \ right) = \ partial _ {\ mu} \ left ( {\ sqrt {-g}} \, A ^ {\ mu} \ right)}

și, prin urmare, utilizarea teoremei lui Stokes produce doar un termen limită atunci când este integrat.

În general, termenul limită (sau termen limită) este diferit de zero, deoarece integrandul depinde nu numai de $\delta g^{\mu \nu },$ ${\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu},}$ ${\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu},}$ dar și din derivatele sale parțiale $\partial _{\lambda }\,\delta g^{\mu \nu }\equiv \delta \,\partial _{\lambda }g^{\mu \nu }.$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ lambda} \, \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ delta \, \ partial _ {\ lambda} g ^ {\ mu \ nu}.}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ lambda} \, \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ delta \, \ partial _ {\ lambda} g ^ {\ mu \ nu}.}$ În orice caz, atunci când schimbarea metricei $\delta g^{\mu \nu }$ ${\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu}}$ $\ delta g ^ {{\ mu \ nu}}$ dispare într-o vecinătate a limitei sau când limita este nulă (este mulțimea goală), acest termen nu contribuie la variația acțiunii (și, prin urmare, la ecuațiile de câmp). Astfel obținem:

{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }

{\ displaystyle {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = R _ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle {\ frac {\ delta R} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = R _ {\ mu \ nu}}

pentru fiecare eveniment (punct în spațiu-timp ) care nu aparține închiderii limitei.

Variația determinantului

Formula lui Jacobi pentru diferențierea unui determinant ne oferă:

\delta g=\delta \det(g_{\mu \nu })=gg^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }.

{\ displaystyle \ delta g = \ delta \ det (g _ {\ mu \ nu}) = dd ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu}.}

{\ displaystyle \ delta g = \ delta \ det (g _ {\ mu \ nu}) = dd ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu}.}

Folosind acest rezultat, obținem:

\delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\right).

{\ displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} \ delta g = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right) = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} \ stânga (g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ dreapta).}

{\ displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} \ delta g = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right) = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} \ stânga (g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ dreapta).}

În ultima egalitate, am folosit rezultatul:

g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu },

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} = - g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu},}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} = - g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu},}

care rezultă din regula derivatei (variației) inversului unei matrice:

\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }\left(\delta g_{\alpha \beta }\right)g^{\beta \nu }.

{\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu} = - g ^ {\ mu \ alpha} \ left (\ delta g _ {\ alpha \ beta} \ right) g ^ {\ beta \ nu}.}

{\ displaystyle \ delta g ^ {\ mu \ nu} = - g ^ {\ mu \ alpha} \ left (\ delta g _ {\ alpha \ beta} \ right) g ^ {\ beta \ nu}.}

Astfel obținem:

{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }.

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta {\ sqrt {-g}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu}.}

Ecuații de mișcare

Având acum la dispoziție toate variantele necesare, le putem insera în ecuația de mișcare a câmpului metric descris mai sus și să obținem:

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu},}

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu},}

care sunt ecuațiile câmpului lui Einstein în care constanta

\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}}

{\ displaystyle \ kappa = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}}

este ales în așa fel încât să găsească legea gravitației universale a lui Newton în limita non-relativistă, iar G este constanta gravitațională .

Constanta cosmologică

În cazul în care constanta cosmologică Λ este inclusă în Lagrangianul lui Hilbert, acțiunea

S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x

{\ displaystyle S = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} (R-2 \ Lambda) + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} \ right] {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

{\ displaystyle S = \ int \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} (R-2 \ Lambda) + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} \ right] {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

oferă ecuațiilor de câmp termenul cosmologic:

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}.}

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}.}

Notă

^ ( DE ) David Hilbert , Die Grundlagen der Physik , în Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen - Mathematisch-Physikalische Klasse , vol. 3, 1915, pp. 395-407.
^ (EN) Richard P. Feynman , Feynman Lectures on Gravitation , Addison-Wesley, 1995, p. 136, echiv. (10.1.2), ISBN 0-201-62734-5 .
^ Attilio Palatini , deducție invariantă a ecuațiilor gravitaționale din principiul Hamilton , în Rend. Circ. Mat. Palermo , vol. 43, 1919, pp. 203-212.

Bibliografie

( RO ) Charles W. Misner , Kip. S. Thorne și John A. Wheeler , Gravitation , WH Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0 .
( EN ) Steven Weinberg , Gravitația și cosmologia: principii și aplicații ale teoriei generale a relativității , J. Wiley, 1972, ISBN 0-471-92567-5 .

Elemente conexe

Portalul de fizică

Portalul de matematică

Portal cuantic

[1] ( DE ) David Hilbert , Die Grundlagen der Physik , în Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen - Mathematisch-Physikalische Klasse , vol. 3, 1915, pp. 395-407.

[2] (EN) Richard P. Feynman , Feynman Lectures on Gravitation , Addison-Wesley, 1995, p. 136, echiv. (10.1.2), ISBN 0-201-62734-5 .

[3] Attilio Palatini , deducție invariantă a ecuațiilor gravitaționale din principiul Hamilton , în Rend. Circ. Mat. Palermo , vol. 43, 1919, pp. 203-212.

[1]

[2]

[3]