Identitatea lui Palatini

În relativitatea generală și în calculul tensorial , identitatea lui Palatini , datorită matematicianului Attilio Palatini , este definită prin formula ^[1] :

\delta R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),

{\ displaystyle \ delta R _ {\ sigma \ nu} = \ nabla _ {\ rho} (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}) - \ nabla _ {\ nu} (\ delta \ Gamma _ {\ rho \ sigma} ^ {\ rho}),}

{\ displaystyle \ delta R _ {\ sigma \ nu} = \ nabla _ {\ rho} (\ delta \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}) - \ nabla _ {\ nu} (\ delta \ Gamma _ {\ rho \ sigma} ^ {\ rho}),}

unde este $\delta \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle \ delta \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle \ delta \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu}}$ denotă variația simbolurilor Christoffel ^[2] și $\nabla _{\rho }$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ rho}}$ denotă derivatul covariant ^[3] .

O formulă similară, aproape identică, este valabilă pentru derivata Lie ${\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ xi} R _ {\ sigma \ nu}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ xi} R _ {\ sigma \ nu}}$ . De fapt, avem:

{\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ xi} R _ {\ sigma \ nu} = \ nabla _ {\ rho} ({\ mathcal {L}} _ {\ xi} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}) - \ nabla _ {\ nu} ({\ mathcal {L}} _ {\ xi} \ Gamma _ {\ rho \ sigma} ^ {\ rho}),}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ xi} R _ {\ sigma \ nu} = \ nabla _ {\ rho} ({\ mathcal {L}} _ {\ xi} \ Gamma _ {\ nu \ sigma} ^ {\ rho}) - \ nabla _ {\ nu} ({\ mathcal {L}} _ {\ xi} \ Gamma _ {\ rho \ sigma} ^ {\ rho}),}

unde este $\xi =\xi ^{\rho }\partial _{\rho }$ ${\ displaystyle \ xi = \ xi ^ {\ rho} \ partial _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ xi = \ xi ^ {\ rho} \ partial _ {\ rho}}$ denotă orice câmp vector definit mai sus spațiu-timp .

Notă

^ Attilio Palatini,Deducerea invariantă a ecuațiilor gravitaționale din principiul Hamilton , în Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 43, 203–212, 1919.
^ ( DE ) EB Christoffel , Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grade , în Jour. für die reine und angewandte Mathematik , B. 70, 1869, pp. 46-70.
^ (EN) Steven Weinberg , Gravitația și cosmologia: principii și aplicații ale teoriei generale a relativității, J. Wiley, 1972, p. 103, ISBN 978-0-471-92567-5 .

Bibliografie

( EN ) JL Synge și A. Schild, Tensor Calculus , Dover Publications, 1978, ISBN 978-0-486-63612-2 .
( EN ) JR Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists , Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5 .
( EN ) DC Kay, Tensor Calculus , Schaum's Outlines, McGraw Hill (SUA), 1988, ISBN 0-07-033484-6 .
( EN ) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry , 1994.
( EN ) Shoshichi Kobayashi și Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .

Elemente conexe

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] Attilio Palatini,Deducerea invariantă a ecuațiilor gravitaționale din principiul Hamilton , în Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 43, 203–212, 1919.

[christoffel-2] ( DE ) EB Christoffel , Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grade , în Jour. für die reine und angewandte Mathematik , B. 70, 1869, pp. 46-70.

[3] (EN) Steven Weinberg , Gravitația și cosmologia: principii și aplicații ale teoriei generale a relativității, J. Wiley, 1972, p. 103, ISBN 978-0-471-92567-5 .

[1]

[2]

[3]