Tensor de curbură Ricci

În geometria diferențială , tensorul Ricci este un tensor care măsoară curbura unui distribuitor Riemannian . Se obține prin contractarea a doi indici ai tensorului Riemann . Tensorul Ricci, care își datorează numele lui Gregorio Ricci Curbastro , este un ingredient al ecuației de câmp al lui Einstein și, prin urmare, este important pentru formularea relativității generale .

Tensorul Ricci este un tensor simetric de tip (0,2), la fel ca tensorul metric . Tensorul măsoară modul în care volumul variază local față de volumul obișnuit al unui spațiu euclidian .

Definiție

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate riemanniană sau o varietate diferențială mai generală dotată cu o conexiune $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ .

Definiția ca o contracție

Tensorul Ricci este câmpul tensorial definit prin contractarea a doi indici ai tensorului Riemann după cum urmează:

$R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.$ ${\ displaystyle R_ {ij} = {R ^ {k}} _ {ikj}.}$ $R _ {{ij}} = {R ^ {k}} _ {{ikj}}.$

Aceasta este singura contracție care poate da un tensor diferit de zero (alte posibilități dau un tensor nul datorită simetriilor tensorului Riemann). Pentru a-l distinge de tensorul Riemann, în notația fără indici este uneori notată prin simbol ${\rm {Ric}}$ ${\ displaystyle {\ rm {Ric}}}$ ${{\ rm {Ric}}}$ .

Cu simbolurile lui Christoffel

În ceea ce privește simbolurile Christoffel , tensorul de curbură Ricci are următoarea formă:

R_{ij}={R^{k}}_{ikj}=\partial _{l}{\Gamma _{ji}^{l}}-\partial _{j}\Gamma _{li}^{l}+\Gamma _{l\lambda }^{l}\Gamma _{ji}^{\lambda }-\Gamma _{j\lambda }^{l}\Gamma _{li}^{\lambda }.

{\ displaystyle R_ {ij} = {R ^ {k}} _ {ikj} = \ partial _ {l} {\ Gamma _ {ji} ^ {l}} - \ partial _ {j} \ Gamma _ {li } ^ {l} + \ Gamma _ {l \ lambda} ^ {l} \ Gamma _ {ji} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {j \ lambda} ^ {l} \ Gamma _ {li} ^ { \ lambda}.}

R _ {{ij}} = {R ^ {k}} _ {{ikj}} = \ partial _ {{l}} {\ Gamma _ {{ji}} ^ {l}} - \ partial _ {{ j}} \ Gamma _ {{li}} ^ {l} + \ Gamma _ {{l \ lambda}} ^ {l} \ Gamma _ {{ji}} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {{j \ lambda}} ^ {l} \ Gamma _ {{li}} ^ {\ lambda}.

Proprietăți algebrice

Tensor simetric

Tensorul Ricci al unei varietăți riemanniene , pseudoriemanniana sau o conexiune mai generală fără torsiune este un tensor simetric :

R_{ij}=R_{ji}\,\!.

{\ displaystyle R_ {ij} = R_ {ji} \, \!.}

R _ {{ij}} = R _ {{ji}} \, \!.

Simetria este o consecință a identității timpurii a lui Bianchi .

Tensorul Ricci al unui (pseudo-) varietate riemanniană este deci simetric de ordin (0,2), ca și tensorul metric $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . Prin urmare, este oformă biliniară simetrică definită pe fiecare spațiu tangent . Compararea tensorului Ricci cu tensorul metric este deci o operație naturală, care a dat naștere (printre altele) la formularea ecuației de câmp a lui Einstein în fizică și la soluția conjecturii lui Poincaré în matematică.

Ca toate formele simetrice biliniare, tensorul Ricci este determinat de forma pătratică asociată și, prin urmare, de valorile pe care funcția

v\mapsto {\rm {Ric}}(v,v)=R_{ij}v^{i}v^{j}

{\ displaystyle v \ mapsto {\ rm {Ric}} (v, v) = R_ {ij} v ^ {i} v ^ {j}}

v \ mapsto {{\ rm {Ric}}} (v, v) = R _ {{ij}} v ^ {i} v ^ {j}

presupune asupra sferei vectorilor de normă unitară a spațiului tangent.

Varietate de Einstein

Într-o varietate Riemanniană, dacă funcția

v\mapsto {\rm {Ric}}(v,v)

{\ displaystyle v \ mapsto {\ rm {Ric}} (v, v)}

v \ mapsto {{\ rm {Ric}}} (v, v)

este constant pe toți vectorii de lungime unitară, atunci tensorul Ricci este multiplu al tensorului metric

R_{ij}=\lambda g_{ij}

{\ displaystyle R_ {ij} = \ lambda g_ {ij}}

R _ {{ij}} = \ lambda g _ {{ij}}

iar soiul se numește soiul Einstein .

Ricci și Riemann

Tensorul Ricci determină tensorul Riemann al unui distribuitor Riemannian având dimensiunea 2 sau 3. În dimensiunea superioară acest lucru nu mai este adevărat: de exemplu, există varietăți Ricci-plate (adică cu tensorul Ricci nul) care nu sunt totuși Riemann -flat ( tensorul Riemann nu se anulează).

Proprietăți geometrice

Media curburilor secționale

Curbele secționale ale unei varietăți riemanniene determină tensorul Riemann și, în consecință, și tensorul Ricci. Pe de altă parte, tensorul Ricci oferă o medie a curburilor secționale de-a lungul liniilor drepte. Mai exact, fie el $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ un vector tangent cu lungimea unității. Numarul

{\rm {Ric}}(v,v)

{\ displaystyle {\ rm {Ric}} (v, v)}

{{\ rm {Ric}}} (v, v)

este media curburilor secționale ale planurilor care trec prin $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ înmulțit cu $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ .

Distorsiunea volumului

Tensorul Ricci măsoară modul în care forma volumică a colectorului diferă local de forma obișnuită a volumului euclidian. Într-o hartă determinată de coordonate geodezice în jurul unui punct, tensorul metric este bine aproximat de metrica euclidiană, în sensul că formula

g_{ij}=\delta _{ij}+O(|x|^{2}).

{\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij} + O (| x | ^ {2}).}

g _ {{ij}} = \ delta _ {{ij}} + O (| x | ^ {2}).

În aceste coordonate, formularul de volum are următoarea formă.

d\mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{3}){\Big ]}d\mu _{\delta }

{\ displaystyle d \ mu _ {g} = {\ Big [} 1 - {\ frac {1} {6}} R_ {jk} x ^ {j} x ^ {k} + O (| x | ^ { 3}) {\ Big]} d \ mu _ {\ delta}}

d \ mu _ {g} = {\ Big [} 1 - {\ frac {1} {6}} R _ {{jk}} x ^ {j} x ^ {k} + O (| x | ^ { 3}) {\ Big]} d \ mu _ {{\ delta}}

Deci în direcții $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ în care tensorul Ricci este pozitiv (adică $\operatorname {Ric} (v,v)>0$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ric} (v, v)> 0}$ $\ operatorname {Ric} (v, v)> 0$ ) volumul este contractat în raport cu volumul euclidian. Cu alte cuvinte, harta exponențială contractă volumul în aceste direcții.

Definiții conexe

Curbură pozitivă sau negativă a lui Ricci

Dacă funcția

v\mapsto {\rm {Ric}}(v,v)

{\ displaystyle v \ mapsto {\ rm {Ric}} (v, v)}

v \ mapsto {{\ rm {Ric}}} (v, v)

este pozitiv, negativ, non-negativ etc. pentru toți vectorii de lungime unitară, atunci se spune că varietatea este pozitivă, negativă, non-negativă etc. cu curbura Ricci. Dacă funcția este zero, atunci tensorul Ricci este zero peste tot, iar varietatea se numește Ricci-flat .

Curbură scalară

Tensorul Ricci este singurul tensor diferit de zero obținut prin contractarea a doi indici ai tensorului Riemann. La rândul lor, cei doi indici ai tensorului Ricci pot fi contractați și rezultatul este curbura scalară

R=g^{ij}R_{ij}.

{\ displaystyle R = g ^ {ij} R_ {ij}.}

R = g ^ {ij} R_ {ij}.

Curbura scalară este deci urma tensorului Ricci.

Uneori este utilă o versiune tras-zero a tensorului Ricci. Acesta este următorul tensor

Z_{ij}=R_{ij}-{\frac {R}{n}}g_{ij}

{\ displaystyle Z_ {ij} = R_ {ij} - {\ frac {R} {n}} g_ {ij}}

Z _ {{ij}} = R _ {{ij}} - {\ frac {R} {n}} g _ {{ij}}

obținut prin îndepărtarea urmelor sale, împărțite la dimensiune, din tensorul Ricci $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Acest tensor este de fapt o urmă zero, adică relația se menține

Z_{ij}g^{ij}=0.

{\ displaystyle Z_ {ij} g ^ {ij} = 0.}

Z _ {{ij}} g ^ {{ij}} = 0.

In marime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mai mare sau egal cu trei, tensorul $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ este nul peste tot dacă și numai dacă $R=\lambda g$ ${\ displaystyle R = \ lambda g}$ $R = \ lambda g$ , adică dacă soiul este un soi Einstein .

Tensorul Einstein

Tensorul Einstein este definit ca

G_{ij}=R_{ij}-{\frac {R}{2}}g_{ij}.

{\ displaystyle G_ {ij} = R_ {ij} - {\ frac {R} {2}} g_ {ij}.}

G _ {{ij}} = R _ {{ij}} - {\ frac R2} g _ {{ij}}.

Unde R este curbura scalară . Tensorul Einstein este unul dintre ingredientele principale ale ecuației de câmp a lui Einstein . Proprietatea crucială a acestui tensor este identitatea

\nabla _{i}G^{ij}=0

{\ displaystyle \ nabla _ {i} G ^ {ij} = 0}

\ nabla _ {{i}} G ^ {{ij}} = 0

consecință a celei de-a doua identități a lui Bianchi .

Bibliografie

( EN ) JL Synge și A. Schild, Tensor Calculus , prima publicație Dover 1978 ediția, 1949, ISBN 978-0-486-63612-2 .
( EN ) JR Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists , Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5 .
( EN ) DC Kay, Tensor Calculus , Schaum's Outlines, McGraw Hill (SUA), 1988, ISBN 0-07-033484-6 .
( EN ) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry , 1994.
( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică