Harta exponențială

Harta exponențială se asociază cu fiecare vector

v

{\ displaystyle v}

v

a spațiului tangent singurul geodezic

\gamma (t)

{\ displaystyle \ gamma (t)}

{\ displaystyle \ gamma (t)}

trecând prin punct și tangent la

v

{\ displaystyle v}

v

.

În geometria diferențială , harta exponențială este o funcție care mapează spațiul tangent într-un punct al unei varietăți Riemanniene sau pseudo-Riemanniene pe varietatea însăși. Harta exponențială este utilă pentru reprezentarea unui vecinătate a unui punct folosind coordonate geodezice .

Definiție

Este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un punct dintr-o varietate Riemanniană sau pseudo-Riemanniană $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Harta exponențială este o hartă

{\rm {exp}}_{p}:U\to M

{\ displaystyle {\ rm {exp}} _ {p}: U \ to M}

{\ displaystyle {\ rm {exp}} _ {p}: U \ to M}

definit pe un set deschis $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ a spațiului tangent $T_{p}$ ${\ displaystyle T_ {p}}$ $T_ {p}$ în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ care conține sursa, după cum urmează.

Pentru fiecare vector $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ nu zero din spațiul tangent, există o singură geodezică

\gamma _{v}:(-a,b)\to M

{\ displaystyle \ gamma _ {v}: (- a, b) \ to M}

{\ displaystyle \ gamma _ {v}: (- a, b) \ to M}

astfel încât $\gamma _{v}(0)=p$ ${\ displaystyle \ gamma _ {v} (0) = p}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {v} (0) = p}$ Și $\gamma '_{v}(0)=v$ ${\ displaystyle \ gamma '_ {v} (0) = v}$ ${\ displaystyle \ gamma '_ {v} (0) = v}$ . Geodezica este descrisă aici în domeniul său maxim: numere $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt pozitive sau $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ . De sine $b>1$ ${\ displaystyle b> 1}$ $b> 1$ , este definit ${\rm {exp}}_{p}(v)=\gamma _{v}(1)$ ${\ displaystyle {\ rm {exp}} _ {p} (v) = \ gamma _ {v} (1)}$ ${\ displaystyle {\ rm {exp}} _ {p} (v) = \ gamma _ {v} (1)}$ .

În cele din urmă, harta exponențială este extinsă la origine prin plasare ${\rm {exp}}_{p}(0)=p$ ${\ displaystyle {\ rm {exp}} _ {p} (0) = p}$ ${\ displaystyle {\ rm {exp}} _ {p} (0) = p}$ . Transportatorii pe care ${\rm {exp}}_{p}$ ${\ displaystyle {\ rm {exp}} _ {p}}$ ${\ displaystyle {\ rm {exp}} _ {p}}$ este definit sub forma unui deschis $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ care conține originea.

Proprietate

Geodezie

Harta exponențială mapează fiecare linie dreaptă care trece prin originea pe geodezică având acea dreaptă drept tangentă. Dacă geodezica poate fi extinsă pentru a avea o lungime infinită în ambele direcții, harta este definită pe întreaga linie dreaptă; în caz contrar, harta este definită numai pe segmentul maxim deschis pe care poate fi extins geodezicul.

Completitudine

Teorema Hopf-Rinow oferă diverse noțiuni echivalente de completitudine pentru o varietate Riemanniană. Dintre acestea, există posibilitatea prelungirii pe termen nelimitat a fiecărei geodezii. Prin urmare, rezultă că dacă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este completă harta exponențială este definită pe tot spațiul tangent

{\rm {exp}}:T_{x}\to M\,\!

{\ displaystyle {\ rm {exp}}: T_ {x} \ to M \, \!}

{\ displaystyle {\ rm {exp}}: T_ {x} \ to M \, \!}

pentru fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

Invertibilitate locală

Harta exponențială este continuă și diferențiată , cu un diferențial inversabil în origine. Pentru teorema inversibilității locale , există un cartier $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de origine în $T_{x}$ ${\ displaystyle T_ {x}}$ $T_ {x}$ astfel încât

f|_{V}:V\to f(V)\,\!

{\ displaystyle f | _ {V}: V \ to f (V) \, \!}

{\ displaystyle f | _ {V}: V \ to f (V) \, \!}

este un difeomorfism . Harta exponențială este un difeomorfism local în origine și, prin urmare, este utilă pentru modelarea soiului $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ local aproape de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Raza de injectivitate

Deși se află într-un cartier de origine, harta exponențială nu este neapărat injectivă la nivel global: raza de injectivitate a unei varietăți riemanniene $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este numărul maxim $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ astfel încât harta

f|_{B_{R}}:B_{R}\to M

{\ displaystyle f | _ {B_ {R}}: B_ {R} \ to M}

{\ displaystyle f | _ {B_ {R}}: B_ {R} \ to M}

limitat la mingea de rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ centrat în zero este injectiv. Mingea este

B_{R}={\big \{}x\in T_{x}\ {\big |}\ |x|<R{\big \}}

{\ displaystyle B_ {R} = {\ big \ {} x \ in T_ {x} \ {\ big |} \ | x | <R {\ big \}}}

{\ displaystyle B_ {R} = {\ big \ {} x \ in T_ {x} \ {\ big |} \ | x | <R {\ big \}}}

unde norma $|x|$ ${\ displaystyle | x |}$ $| x |$ din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este dat de produsul scalar definit de tensorul metric .

Exemple

Soi incomplet

De sine

M=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}

{\ displaystyle M = \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}

{\ displaystyle M = \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}

este spațiul euclidian lipsit de origine, e $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este orice punct al $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , harta exponențială nu este definită niciodată pe întregul plan tangent $T_{x}$ ${\ displaystyle T_ {x}}$ $T_ {x}$ . De fapt nu este definit pe vector $-x$ ${\ displaystyle -x}$ $-X$ , de la ieșirea geodezică din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ către $-x$ ${\ displaystyle -x}$ $-X$ se definește numai până când întâlnește originea. Deschiderea $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este deci tot spațiul privat al unei raze.

Coordonatele geodezice

Coordonatele geodezice într-un cartier al unui punct $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ sunt definite prin harta exponențială.

Definiție

Este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un punct al unei (pseudo-) varietăți riemanniene $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Spațiul tangent $T_{p}M$ ${\ displaystyle T_ {p} M}$ ${\ displaystyle T_ {p} M}$ are un produs scalar pozitiv definit , dat de tensorul metric . Prin urmare, spațiul este identificabil cu spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ : pentru a obține această identificare este suficient să alegeți o bază ortonormală .

Este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ un cartier de origine în spațiul tangent $T_{p}M$ ${\ displaystyle T_ {p} M}$ ${\ displaystyle T_ {p} M}$ pe care harta exponențială este un difeomorfism. Această deschidere este identificată cu o deschidere de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . În consecință, imaginea $\operatorname {exp} (U)$ ${\ displaystyle \ operatorname {exp} (U)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {exp} (U)}$ este identificat cu acest deschis. Identificarea oferă un sistem de coordonate , numit geodezic sau normal .

Proprietate

Coordonatele geodezice identifică un cartier deschis al $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ cu un mediu deschis al spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Se aplică următoarele proprietăți.

Geodezie

Ideea $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ se identifică cu originea. Geodezica care iese din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ sunt identificate cu liniile drepte care ies din origine.

Tensor metric

Tensorul metric $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este reprezentat de matricea identității . Cu toate acestea, acest lucru apare în general numai în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ : dacă apare în întregul cartier, metrica din acest cartier este plană , adică fără curbură .

Mai precis, tensorul metric este aproximat de metrica euclidiană la primul ordin:

g_{ij}=\delta _{ij}+O(|x|^{2}).

{\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij} + O (| x | ^ {2}).}

g _ {{ij}} = \ delta _ {{ij}} + O (| x | ^ {2}).

În special, primele derivate ale tensorului metric sunt anulate:

{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}(p)=0.

{\ displaystyle {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} (p) = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} (p) = 0.}

Simboluri Christoffel și derivate covariante

Simbolurile lui Christoffel se anulează în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ :

\Gamma _{jk}^{i}(p)=0.

{\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i} (p) = 0.}

{\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i} (p) = 0.}

Derivata covariantă la punct $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ de aceea coincide cu derivata parțială .

Bibliografie

( EN ) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry , 1994.
( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică