Soi plat

În matematică , o varietate plată este o varietate riemanniană cu curbură secțională constantă zero. Cele mai proeminente exemple de soiuri plate ca dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Eu sunt spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ și taurul

S^{1}\times \cdots \times S^{1}.

{\ displaystyle S ^ {1} \ times \ cdots \ times S ^ {1}.}

{\ displaystyle S ^ {1} \ times \ cdots \ times S ^ {1}.}

O varietate în care curbura secțională este în mod constant 1 sau -1 se numește eliptică sau respectiv hiperbolică .

Definiție

Un distribuitor plat este un distribuitor Riemannian cu curbură secțională zero peste tot, indiferent de punctul și planul pe care este evaluat.

Soiuri plate complete

Fiecare soi plat complet are ca acoperire universală spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , și, prin urmare, se obține din acesta ca spațiu coeficient prin acțiunea unui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ a izometriilor .

Această acțiune trebuie să fie gratuită și discontinuă în mod corespunzător . Echivalent, grupul $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un subgrup discret al grupului de izometrie al $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ (acesta din urmă are o topologie naturală).

Exemple

Tauri

Un tor este un soi plat, dar nu cu metrica descrisă aici! Suprafața descrisă aici are de fapt puncte cu curbură gaussiană pozitivă și negativă. Pentru a da o metrică plană torului este necesar să-l scufundați într-un spațiu cu patru dimensiuni.

Cel mai proeminent exemplu de soi plat compact este taurul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional

\mathbb {T} ^{n}=\underbrace {S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}.

{\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {n} = \ underbrace {S ^ {1} \ times S ^ {1} \ times \ cdots \ times S ^ {1}} _ {n}.}

{\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {n} = \ underbrace {S ^ {1} \ times S ^ {1} \ times \ cdots \ times S ^ {1}} _ {n}.}

Pentru $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ se obține torusul bidimensional obișnuit. Torul este obținut ca coeficient al spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ prin grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ format din toate traducerile întregi:

G=\{x\mapsto x+a\ |\ a\in \mathbf {Z} ^{n}\}.

{\ displaystyle G = \ {x \ mapsto x + a \ | \ a \ in \ mathbf {Z} ^ {n} \}.}

{\ displaystyle G = \ {x \ mapsto x + a \ | \ a \ in \ mathbf {Z} ^ {n} \}.}

Mai concret, metrica de pe tor este pur și simplu cea indusă de scufundarea torului în interior $\mathbb {R} ^{2n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ , obținut ca produs al scufundării circumferinței $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ interior $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ .

Sticla Klein

Sticla Klein este acoperită de torul bidimensional cu o acoperire de gradul doi. Această acoperire este o izometrie și, prin urmare, induce o metrică plană și pe sticla Klein.

Prin identificarea laturilor opuse din acest pătrat, se obține un tor. Metrica plană este cea a pătratului: aceasta se „lipeste bine” de margini, deoarece formează un unghi de

4\cdot 90^{\circ }=360^{\circ }

{\ displaystyle 4 \ cdot 90 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}

{\ displaystyle 4 \ cdot 90 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}

în vârf.

Proprietate

Geometrie euclidiană locală

Fiecare punct al unui distribuitor plat are o vecinătate izometrică cu un spațiu deschis în spațiul euclidian. La nivel local, geometria euclidiană este deci valabilă pe o varietate plană: totuși, această geometrie poate să nu fie valabilă la nivel global.

Teorema lui Bieberbach

Conform teoremei lui Bieberbach , fiecare colector plat compact este îmbrăcat de tor.

Caracteristica lui Euler

Un soi plat compact are caracteristica Euler zero. Acest fapt poate fi văzut ca o consecință a teoremei lui Bieberbach, deoarece torul are zero caracteristica Euler și acoperirile păstrează această proprietate.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică