Forma volumului

În geometria diferențială , o formă de volum este una specială $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - formă diferențială utilă pentru definirea unei măsuri pe o varietate diferențiată și, prin urmare, o metodă pentru definirea unei noțiuni de volum în cadrul acesteia.

Definiție

O formă de volum pe o varietate diferențiată $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ in marime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ e o $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - formă diferențială care nu se anulează în niciun moment

Într-o ziară locală , formularul este scris ca

\omega =\omega _{x}dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{n}

{\ displaystyle \ omega = \ omega _ {x} dx ^ {1} \ wedge ... \ wedge dx ^ {n}}

{\ displaystyle \ omega = \ omega _ {x} dx ^ {1} \ wedge ... \ wedge dx ^ {n}}

unde este $\omega _{x}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x}}$ este un număr real dependent de punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Prin ipoteză, $\omega _{x}\neq 0$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x} \ neq 0}$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ^[1] .

Proprietate

Reglabilitate

O varietate poate avea o formă de volum dacă și numai dacă este orientabilă : acest fapt este adesea folosit ca definiție a orientabilității. Prin urmare, sticla Klein și planul proiectiv real nu admit o formă de volum, în timp ce spațiul euclidian , sfera de dimensiuni arbitrare, torul admit forme de volum.

Măsura

O formă de volum $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ definește o măsură pe mulțimi boreliene $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , prin integral

\int _{S}\omega .\,\!

{\ displaystyle \ int _ {S} \ omega. \, \!}

{\ displaystyle \ int _ {S} \ omega. \, \!}

Un set în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este borelian dacă este citit în fiecare lucrare .

Exemple

O formă de volum pe o varietate este adesea dedusă din alte structuri.

Soi Riemannian

O varietate Riemanniană orientată are o formă de volum. Pe fiecare spațiu tangent $T_{x}$ ${\ displaystyle T_ {x}}$ $T_ {x}$ , este singurul tensor antisimetric de tip $(n,0)$ ${\ displaystyle (n, 0)}$ $(n, 0)$ asta merită

\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})=1

{\ displaystyle \ omega (e_ {1}, \ ldots, e_ {n}) = 1}

\ omega (e_ {1}, \ ldots, e_ {n}) = 1

pe orice bază ortonormală $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ ${\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}$ $(e_ {1}, \ ldots, e_ {n})$ din $T_{x}$ ${\ displaystyle T_ {x}}$ $T_ {x}$ . Într-un card , este scris ca

\omega ={\sqrt {\det g}}\,dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{n}

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ det g}} \, dx ^ {1} \ wedge ... \ wedge dx ^ {n}}

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ det g}} \, dx ^ {1} \ wedge ... \ wedge dx ^ {n}}

unde este $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este tensorul metric , care fiind definit ca pozitiv are un determinant strict pozitiv în fiecare punct.

Soi pseudoriemannian

Un colector pseudo-Riemannian orientat are o formă de volum, definită în mod similar, prin introducerea unei valori absolute :

\omega ={\sqrt {|\det g|}}\,dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{n}

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {| \ det g |}} \, dx ^ {1} \ wedge ... \ wedge dx ^ {n}}

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {| \ det g |}} \, dx ^ {1} \ wedge ... \ wedge dx ^ {n}}

unde este $\det g\neq 0$ ${\ displaystyle \ det g \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ det g \ neq 0}$ deoarece $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ estenedegenerat în orice moment.

Varietate simplectică

O varietate simplectică ( $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ ) are o formă de volum. Varietatea are dimensiune $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ și este echipat cu o formă diferențială 2 $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ închis și nu degenerat . Se numește forma volumului simplectic sau forma Liouville indusă de $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ Acolo

\Xi _{\omega }:={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{n!}}\wedge ^{n}\omega

{\ displaystyle \ Xi _ {\ omega}: = {\ frac {(-1) ^ {n (n-1) / 2}} {n!}} \ wedge ^ {n} \ omega}

{\ displaystyle \ Xi _ {\ omega}: = {\ frac {(-1) ^ {n (n-1) / 2}} {n!}} \ wedge ^ {n} \ omega}

Notă

^ Valoarea punctului $\omega _{x}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x}}$ depinde de cartea aleasă, dar faptul că acesta este nul sau nu este independent de carte și, prin urmare, ipoteza este bine pusă.

Bibliografie

( EN ) Michael Spivak ,Calcul pe colectoare , WA Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts, 1965, ISBN 0-8053-9021-9 .

Elemente conexe

Forma diferențială

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Valoarea punctului $\omega _{x}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {x}}$ depinde de cartea aleasă, dar faptul că acesta este nul sau nu este independent de carte și, prin urmare, ipoteza este bine pusă.

[1]