Ecuația câmpului lui Einstein

Ecuația câmp a lui Einstein este fundamentală ecuație a teoriei relativității generale . Descrie curbura spațiu-timp ca o funcție a densității materiei , energiei și presiunii , reprezentată de tensorul tensiune-energie . ^[1]

Ecuația a fost în centrul unei controverse prioritare între Einstein și matematicianul David Hilbert , care a fost rezolvată după mult timp în favoarea lui Einstein. ^[2]

Ecuaţie

Ecuația de câmp originală este

R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}

Dar mai târziu, Einstein a modificat-o adăugând constanta cosmologică pentru a obține un model static al universului. În forma cu constanta cosmologică , ecuația câmpului este

R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} R + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}

R _ {{\ mu \ nu}} - {1 \ over 2} g _ {{\ mu \ nu}} R + \ Lambda g _ {{\ mu \ nu}} = {\ frac {8 \ pi G } {c ^ {4}}} T _ {{\ mu \ nu}}

unde este:

$R_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}}$ $R _ {{\ mu \ nu}}$ este tensorul de curbură Ricci ;
$R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ curbura scalară , adică urma $R_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}}$ $R _ {{\ mu \ nu}}$ ;
$g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ tensorul metric ;
$\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ constanta cosmologică ;
$T_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$ $T _ {{\ mu \ nu}}$ tensorul energetic al impulsului ;
$c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ viteza luminii în vid ;
$G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ constanta gravitațională universală .

Tensorul $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ descrie metrica spațiu-timp și este un tensor simetric 4x4, care are deci 10 componente independente; date fiind identitățile lui Bianchi , ecuațiile independente sunt reduse la 6. Definirea tensorului lui Einstein ${\mathcal {G}}_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ mu \ nu}}$ după cum urmează:

${\mathcal {G}}_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu} - {1 \ peste 2} g _ {\ mu \ nu} R}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu} - {1 \ peste 2} g _ {\ mu \ nu} R}$

putem rescrie ecuația câmpului ca

${\mathcal {G}}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$

Lagrangian al relativității generale

Ecuația relativității generale în vid poate fi derivată din variația unei densități lagrangiene ^[3] . Acțiunea asociată cu aceasta, care este integralul densității lagrangiene menționate mai sus, este dată de suma acțiunii Einstein-Hilbert și de un volum proporțional cu constanta cosmologică :

{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{E-H}+{\mathcal {L}}_{\Lambda }={\sqrt {-g}}(R-2\Lambda )

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {EH} + {\ mathcal {L}} _ {\ Lambda} = {\ sqrt {-g}} (R-2 \ Lambda )}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {EH} + {\ mathcal {L}} _ {\ Lambda} = {\ sqrt {-g}} (R-2 \ Lambda )}}

În ecuația anterioară ${\sqrt {-g}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$ este rădăcina pătrată a determinantului (negativ al) metricei , $R=R^{\mu \nu }g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle R = R ^ {\ mu \ nu} g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle R = R ^ {\ mu \ nu} g _ {\ mu \ nu}}$ este scalarul curburii e $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ este constanta cosmologică .

Alte ecuații de câmp

Ecuația de câmp indicată de Einstein nu este singura posibilă, dar se distinge prin simplitatea cuplării dintre materie / energie și curbură.

Modelele universului în care este prezentă o constantă cosmologică sunt generalizări ale modelului anterior, a cărui metrică se numește metrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker sau FLRW. Presupunerea că universul este izotrop și omogen pe scară largă este cunoscută sub numele de principiu cosmologic .

Contracția sau expansiunea universului

Termenul $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ a fost introdus ad hoc de către Einstein pentru a permite un univers static , întrucât teoria sa a prezis un univers dinamic (fie în contracție, fie în expansiune), de neconceput pentru acele vremuri. În următorii zece ani, observațiile lui Edwin Hubble au confirmat expansiunea universului și a termenului $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ a fost omisă (Einstein însuși a considerat că introducerea este cea mai mare greșeală a sa ^[4] ). Cu toate acestea, se pare că Einstein a fost „condamnat” să aibă cumva dreptate, deoarece constanta cosmologică s-a reafirmat în 1998 cu observarea unui univers accelerat , ceea ce i-a determinat pe astronomi să introducă ideea unei constante cosmologice pozitive. ^[5] ^[6] La fel ca cea identificată de Einstein, versiunea actualizată joacă și rolul unei forțe anti-gravitaționale la scară largă, reprezentată acum de energia întunecată .

Neglijând temporar constanta cosmologică $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ și folosind unități de măsură pentru care c este egal cu una, dacă presupunem că universul pe scară largă este izotrop și omogen , este posibil să se reducă ecuația tensorului la ecuația diferențială :

\left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)^{2}+{\frac {k}{R^{2}}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ dot {R}} {R}} \ right) ^ {2} + {\ frac {k} {R ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ dot {R}} {R}} \ right) ^ {2} + {\ frac {k} {R ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho}

unde este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este factorul de scară (care, dacă universul este închis, reprezintă raza sa), ${\dot {R}}$ ${\ displaystyle {\ dot {R}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {R}}}$ rata sa de schimbare, $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ densitatea medie a universului e $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ curbură (pozitivă, negativă sau zero). Prin urmare, este ușor, prin pozare $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ , calculați ceea ce se numește „densitatea critică” a universului, care este:

\rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}

{\ displaystyle \ rho _ {c} = {\ frac {3H ^ {2}} {8 \ pi G}}}

{\ displaystyle \ rho _ {c} = {\ frac {3H ^ {2}} {8 \ pi G}}}

unde a fost utilizat raportul ${\tfrac {\dot {R}}{R}}=H$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ dot {R}} {R}} = H}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ dot {R}} {R}} = H}$ care leagă parametrul Hubble de factorul de scală . Desigur, slăbiciunea acestei formule constă în faptul că condițiile nu o autorizează să fie luată în considerare $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ . Dacă curbura universului este mai mare de 0, aceasta se va retrage, dacă este egală sau mai mică, se va extinde pentru totdeauna. În acest tip de univers, distanța dintre două puncte este dată de metrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker . Întotdeauna cu $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ ${\ displaystyle k = 0}$ , ecuația, care ia forma

\left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ dot {R}} {R}} \ right) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ dot {R}} {R}} \ right) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho}

poate fi rezolvat cerând $\rho ={\tfrac {M}{R^{3}}}$ ${\ displaystyle \ rho = {\ tfrac {M} {R ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle \ rho = {\ tfrac {M} {R ^ {3}}}}$ , și are ca soluție:

R(t)=Ct^{2/3}

{\ displaystyle R (t) = Ct ^ {2/3}}

{\ displaystyle R (t) = Ct ^ {2/3}}

unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ este o constantă. Această soluție ne spune că, pentru un univers spațial plat și cu constantă cosmologică zero, factorul de scală este proporțional cu timpul la două treimi $R\propto t^{2/3}$ ${\ displaystyle R \ propto t ^ {2/3}}$ ${\ displaystyle R \ propto t ^ {2/3}}$ .

Prin reintroducerea constantei cosmologice ca formă de energie, ea se comportă din toate punctele de vedere ca o densitate a energiei negative care pătrunde tot spațiul; în consecință, este posibil să reconsiderăm densitatea critică ca suma a două mărimi: una reprezentată de materie, observabilă și întunecată , iar cealaltă de energie întunecată. De fapt, în acest caz, ecuația devine

\left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)^{2}+{\frac {k}{R^{2}}}={\frac {8\pi G}{3}}\left(\rho +\rho _{\Lambda }\right)

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ dot {R}} {R}} \ right) ^ {2} + {\ frac {k} {R ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ left (\ rho + \ rho _ {\ Lambda} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ dot {R}} {R}} \ right) ^ {2} + {\ frac {k} {R ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ left (\ rho + \ rho _ {\ Lambda} \ right)}

Unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea materiei e $\rho _{\Lambda }$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ Lambda}}$ densitatea energetică asociată cu constanta cosmologică definită ca $\rho _{\Lambda }={\tfrac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ Lambda} = {\ tfrac {\ Lambda c ^ {4}} {8 \ pi G}}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ Lambda} = {\ tfrac {\ Lambda c ^ {4}} {8 \ pi G}}}$ , care este exact dimensiunea unei densități de energie.

Deoarece observațiile curente, în special măsurători ale radiației cosmice de fond realizate de WMAP satelitul, indică faptul că universul este foarte aproape de zero curbura, densitatea universului ar trebui să fie foarte aproape de valoarea critică , care ar determina geometria. Plat. Dimpotrivă, densitatea energetică a materiei detectabile la nivel global este estimată la doar aproximativ 30% din această valoare, iar constanta cosmologică sub formă de energie întunecată, dacă este demonstrată și cuantificată, ar trebui să facă posibilă reducerea acestei diferențe și, în consecință, prezicerea soarta supremă a universului . Prin urmare, găsirea confirmării existenței sale, identificarea naturii sale și cuantificarea acesteia sunt domenii importante de investigație pentru cosmologie .

Soluții ale ecuațiilor de câmp

Soluțiile particulare ale ecuației de câmp au dat naștere la diferite modele cosmologice, inclusiv:

Universul de Sitter , care postulează un univers gol, în care forțele gravitaționale erau neglijabile.
modelul Friedmann , legat direct de densitatea materiei prezente în univers și încă astăzi modelul comun acceptat.
Soluția lui Lemaitre , o primă formulare a teoriei Big Bang-ului , în care galaxiile sunt fragmente expulzate de explozia unui „atom primordial” din care a provenit universul.

Notă

^ Charles W. Misner , Kip S. Thorne și John Archibald Wheeler , Gravitation , San Francisco, WH Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0 . Capitolul 34, p. 916.
^ L. Corry, J. Renn, J. Stachel, Decizie tardivă în Disputa prioritară Hilbert-Einstein , Știința nr. 278, 14 noiembrie 1997
^ [1]
^ George Gamow , My World Line: An Informobiobiobiography , Viking Adult , 28 aprilie 1970, ISBN 0-670-50376-2 . Adus 14/03/2007 .
^ Nicolle Wahl, a fost „cea mai mare gafă” a lui Einstein un succes stelar? , 22 noiembrie 2005. Adus la 14 martie 2007 (arhivat din original la 7 martie 2007) .
^ Michael S. Turner, Sensul noii cosmologii , în Int.J.Mod.Phys. A17S1 , vol. 17, mai 2001, pp. 180–196, Bibcode : 2002IJMPA..17S.180T , DOI : 10.1142 / S0217751X02013113 , arXiv : astro-ph / 0202008 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Ecuația de câmp a lui Einstein , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 49059 · LCCN (EN) sh85041416 · BNF (FR) cb144911223 (data)

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de relativitate

[1] Charles W. Misner , Kip S. Thorne și John Archibald Wheeler , Gravitation , San Francisco, WH Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0 . Capitolul 34, p. 916.

[2] L. Corry, J. Renn, J. Stachel, Decizie tardivă în Disputa prioritară Hilbert-Einstein , Știința nr. 278, 14 noiembrie 1997

[3] [1]

[gamow-4] George Gamow , My World Line: An Informobiobiobiography , Viking Adult , 28 aprilie 1970, ISBN 0-670-50376-2 . Adus 14/03/2007 .

[wahl-5] Nicolle Wahl, a fost „cea mai mare gafă” a lui Einstein un succes stelar? , 22 noiembrie 2005. Adus la 14 martie 2007 (arhivat din original la 7 martie 2007) .

[turner-6] Michael S. Turner, Sensul noii cosmologii , în Int.J.Mod.Phys. A17S1 , vol. 17, mai 2001, pp. 180–196, Bibcode : 2002IJMPA..17S.180T , DOI : 10.1142 / S0217751X02013113 , arXiv : astro-ph / 0202008 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]