Lorenz Gauge

Ca parte a teoriei gabaritului , gabaritul Lorenz este alegerea potențialului câmpului electromagnetic, astfel încât să satisfacă condiția (numită condiția Lorenz) ^[1] :

\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = 0}

\ nabla \ cdot {{\ mathbf A}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = 0

unde este $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ Este potențialul magnetic și $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ potențialul electric .

Această condiție are proprietatea de a fi invariant Lorentz și de a respecta gradele de libertate oferite de transformările gabaritului: dacă potențialul îndeplinește condiția lui Lorenz, se spune că aparțin gabaritului Lorenz. ^[2] ^[1] Condiția Lorenz este o taxă de proprietate asupra potențialului electromagnetic, utilizată în calcularea câmpurilor electromagnetice care variază în timp prin potențiale retardate. ^[3]

Această alegere pare a fi deosebit de convenabilă în electrodinamică în soluția ecuațiilor lui Maxwell și, în special, în calculul potențialelor retardate și în studiul propagării undelor electromagnetice . Această condiție în alegerea gabaritului se extinde și la alte câmpuri vectoriale, cum ar fi câmpul Yang-Mills .

Această alegere a gabaritului poartă numele fizicianului Ludvig Lorenz , care nu trebuie confundat cu mai bine cunoscutul Hendrik Lorentz .

Descriere

Starea lui Lorenz:

\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = 0}

\ nabla \ cdot {{\ mathbf A}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = 0

Poate fi scris în notație tensorială :

\partial _{\mu }A^{\mu }\equiv \partial ^{\mu }A_{\mu }=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} \ equiv \ partial ^ {\ mu} A _ {\ mu} = 0}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} \ equiv \ partial ^ {\ mu} A _ {\ mu} = 0}

unde este $A^{\mu }$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ $A ^ {\ mu}$ Este potențialul electromagnetic .

Se poate arăta că sub acest indicator ecuațiile potențialului electromagnetic pot fi exprimate într-o formă simetrică: ^[4] ^[5]

\Box \mathbf {A} =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}

{\ displaystyle \ Box \ mathbf {A} = \ left [{\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ right] \ mathbf {A} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

\ Box {\ mathbf {A}} = \ left [{\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {{2}} \ right] {\ mathbf {A}} = \ mu _ {0} {\ mathbf {J}}

\Box \varphi =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\varphi ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho

{\ displaystyle \ Box \ varphi = \ left [{\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ right] \ varphi = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ rho}

\ Box \ varphi = \ left [{\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {{2 }} \ right] \ varphi = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ rho

unde este $c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$ ${\ displaystyle c = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}}}}}$ $c = {\ frac {1} {{\ sqrt {\ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}}}}}$ este viteza luminii în vid e $\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Cutie$ operatorul Alembertiano . Cu toate acestea, aceste relații sunt valabile și în mass-media polarizată dacă $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ Și $\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf J$ sunt densitățile sursei câmpurilor $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ Și $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ calculat din potențiale $\varphi \$ ${\ displaystyle \ varphi \}$ $\ varphi \$ și $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf A$ prin definiția câmpului electric și câmpului magnetic departe de potențialul lor: ^[6]

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ varphi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \ qquad \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} }

{\ mathbf E} = - \ nabla \ varphi - {\ frac {\ partial {\ mathbf A}} {\ partial t}} \ qquad {\ mathbf B} = \ nabla \ times {\ mathbf A}

Soluțiile explicite pentru potențiale sunt unice dacă este un loc care dispare la infinit suficient de rapid și ecuațiile de întârziere : ^[7]

{\mathit {\mathrm {\varphi } }}(\mathbf {r} ,{\mathit {t}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',{\mathit {t}}_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\tau '

{\ displaystyle {\ mathit {\ mathrm {\ varphi}}} (\ mathbf {r}, {\ mathit {t}}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ', {\ mathit {t}} _ {r})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \, d \ tau '}

{\ displaystyle {\ mathit {\ mathrm {\ varphi}}} (\ mathbf {r}, {\ mathit {t}}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ', {\ mathit {t}} _ {r})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \, d \ tau '}

\mathbf {A} (\mathbf {r} ,{\mathit {t}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',{\mathit {t}}_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\tau '

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, {\ mathit {t}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {\ mathbf { J} (\ mathbf {r} ', {\ mathit {t}} _ {r})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \, d \ tau '}

{\ mathbf A} ({\ mathbf r}, {\ mathit t}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {{\ mathbf J} ({\ mathbf r} ', {\ mathit t} _ {r})} {| {\ mathbf r} - {\ mathbf r}' |}} \, d \ tau '

Notă

^ ^A ^b Jackson , p. 241.
^ L. Lorenz, „Despre identitatea vibrațiilor luminii cu curenți electrici”. Philos. 34 mai , 287-301, 1867.
^ Kirk T. McDonald , Relația dintre expresiile pentru câmpuri electromagnetice dependente de timp date de Jefimenko și de Panofsky și Phillips , în American Journal of Physics, vol. 65, nr. 11, 1997, pp. 1074-1076, cod bib : 1997AmJPh..65.1074M , DOI : 10.1119 / 1.18723 . și link pdf (PDF) pe hep.princeton.edu. Adus la 1 iunie 2010 . .
^ Jackson , pagina 240 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 505 .
^ Vezi, de exemplu, U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - A Concise Overview, Berlin-Heidelberg-New York, Springer 2007.
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 506.

Bibliografie

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fizica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
(EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics , ed. A III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
(EN) L. Lorenz, Despre identitatea vibrațiilor luminii cu curenți electrici Philos. Mag. 34, 287-301, 1867.
(EN) J. van Bladel, Lorenz sau Lorentz? . IEEE Antennas Prop. 33, 2 mai, p. 69, aprilie 1991.
(EN) R. Becker, Câmpuri și interacțiuni electromagnetice, cap. DIII. Publicații Dover, New York, 1982.
(EN) A. O'Rahilly, Electromagnetică, cap. TU. Longmans, Green and Co, New York, 1938.
(EN) R. Nevels, C.-S. Shin, Lorenz, Lorentz și ecartamentul, IEEE Antennas Prop. May 43, 3, pp. 70-1, 2001.
(EN) ET Whittaker, A History of the Theories of Eether and Electricity, Vols. 1-2. New York: Dover, p. 268, 1989.

Elemente conexe

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism

[Jackson241-1] A ^b Jackson , p. 241.

[2] L. Lorenz, „Despre identitatea vibrațiilor luminii cu curenți electrici”. Philos. 34 mai , 287-301, 1867.

[mcdonald-3] Kirk T. McDonald , Relația dintre expresiile pentru câmpuri electromagnetice dependente de timp date de Jefimenko și de Panofsky și Phillips , în American Journal of Physics, vol. 65, nr. 11, 1997, pp. 1074-1076, cod bib : 1997AmJPh..65.1074M , DOI : 10.1119 / 1.18723 . și link pdf (PDF) pe hep.princeton.edu. Adus la 1 iunie 2010 . .

[4] Jackson , pagina 240 .

[5] Mencuccini, Silvestrini , pagina 505 .

[6] Vezi, de exemplu, U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - A Concise Overview, Berlin-Heidelberg-New York, Springer 2007.

[7] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 506.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]