Potențial magnetic

În domeniul magnetostaticii și electrodinamicii , termenul de potențial magnetic se poate referi la două mărimi matematice diferite, potențialul magnetic scalar și potențialul magnetic vectorial . Potențialul magnetic vector este componenta spațială a cvadrupotențialului : împreună cu potențialul electric , care are o natură scalară , formează potențialul asociat câmpului electromagnetic .

O condiție necesară pentru ca un câmp vector să fie conservator este ca câmpul să fie irotațional , adică rotorul aplicat câmpului vectorial să fie zero peste tot. Pentru a patra ecuație Maxwell câmpul magnetic are un rotor proporțional cu densitatea curentului , deci în general nu este zero. Cu toate acestea, dacă densitatea curentului este diferită de zero numai în regiuni limitate ale spațiului, cum ar fi în interiorul conductoarelor traversate de curent electric, putem încerca totuși să calculăm, în analogie cu câmpul electrostatic , o funcție potențială scalară a cărei câmp magnetic este gradient. De fapt, o astfel de funcție scalară există și este proporțională cu unghiul solid sub care este văzut circuitul care generează câmpul.

Introducerea potențialului vectorial este în schimb strâns legată de solenoiditatea câmpului magnetic. De fapt, se știe că divergența unui rotor al unui câmp vector este întotdeauna zero. Deoarece divergența câmpului magnetic este zero, ne putem gândi la acesta din urmă ca la rotorul unui câmp vectorial numit, de fapt, potențial vectorial . Potențialul vector este cunoscut până la orice gradient al unei funcții scalare și acest fapt este denumit invarianța gabaritului câmpului magnetic.

Un interes și o importanță deosebită sunt potențialele întârziate , care iau în considerare viteza finită (viteza luminii c ) de propagare a potențialelor în sine și a câmpurilor.

Definiție

Potențialul magnetic $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf A$ este definit împreună cu potențialul electric $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ după cum urmează: ^[1]

\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}

{\ mathbf E} = - {\ mathbf \ nabla} \ phi - {\ frac {\ partial {\ mathbf A}} {\ partial t}}

\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A}}

{\ mathbf B} = {\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf A}

unde este $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ Și $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ sunt câmpul electric și câmpul magnetic .

În ecartamentul Lorenz , inserând expresia potențialelor în ecuațiile lui Maxwell verificăm dacă legea lui Faraday și legea magnetică a lui Gauss sunt reduse la identitate, în timp ce restul de două ecuații iau forma:

\nabla \cdot (\varepsilon \nabla \phi )+\mathbf {\nabla } (\varepsilon \cdot {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}})+\rho _{E}=0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ varepsilon \ nabla \ phi) + \ mathbf {\ nabla} (\ varepsilon \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}) + \ rho _ {E} = 0}

\ nabla \ cdot (\ varepsilon \ nabla \ phi) + {\ mathbf \ nabla} (\ varepsilon \ cdot {\ frac {\ partial {\ mathbf A}} {\ partial t}}) + \ rho _ {E} = 0

\left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\rho _{E}\mathbf {v}

{\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) - \ mathbf {\ nabla} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} { \ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ right) = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} \ mathbf {v}}

\ left (\ nabla ^ {2} {\ mathbf A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ mathbf A}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) - {\ mathbf \ nabla} \ left ({\ mathbf \ nabla} \ cdot {\ mathbf A} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac { \ partial \ phi} {\ partial t}} \ right) = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} {\ mathbf v}

și sunt echivalente cu ecuațiile lui Maxwell. ^[2]

Magnetostatice

Același subiect în detaliu: potențialul vectorial .

În absența unor surse care variază în timp, potențialul vector este definit $\mathbf {A} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {0}}$ ${\ mathbf A} _ {0}$ ca câmp vector al cărui rotor este câmpul magnetic : ^[3]

\mathbf {B} _{0}(x,y,z)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}(x,y,z)

{\ displaystyle \ mathbf {B} _ {0} (x, y, z) = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A} _ {0} (x, y, z)}

{\ mathbf B} _ {0} (x, y, z) = {\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf A} _ {0} (x, y, z)

Potențialul vector este determinat până la gradientul unei funcții arbitrare $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , de fapt, rotorul unui gradient este identic zero:

\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {A} _{0}+\mathbf {\nabla } \phi )=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times (\ mathbf {A} _ {0} + \ mathbf {\ nabla} \ phi) = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A} _ {0}}

{\ mathbf \ nabla} \ times ({\ mathbf A} _ {0} + {\ mathbf \ nabla} \ phi) = {\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf A} _ {0}

Profitând de acest fapt, divergența se calculează:

\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {A} _{0}+\mathbf {\nabla } \phi )=\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} _{0}+\mathbf {\nabla } \mathbf {\nabla } \phi =\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} _{0}+\mathbf {\nabla } ^{2}\phi

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ mathbf {A} _ {0} + \ mathbf {\ nabla} \ phi) = \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} _ {0} + \ mathbf {\ nabla} \ mathbf {\ nabla} \ phi = \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} _ {0} + \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ phi}

{\ mathbf \ nabla} \ cdot ({\ mathbf A} _ {0} + {\ mathbf \ nabla} \ phi) = {\ mathbf \ nabla} \ cdot {\ mathbf A} _ {0} + {\ mathbf \ nabla} {\ mathbf \ nabla} \ phi = {\ mathbf \ nabla} \ cdot {\ mathbf A} _ {0} + {\ mathbf \ nabla} ^ {2} \ phi

și puteți alege o funcție potrivită $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ astfel încât:

\mathbf {\nabla } ^{2}\phi =-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} _{0}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ phi = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} _ {0}}

{\ mathbf \ nabla} ^ {2} \ phi = - {\ mathbf \ nabla} \ cdot {\ mathbf A} _ {0}

astfel încât divergența de $(\mathbf {A} _{0}+\mathbf {\nabla } \phi )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {A} _ {0} + \ mathbf {\ nabla} \ phi)}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {A} _ {0} + \ mathbf {\ nabla} \ phi)}$ nu este nimic:

\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {A} _{0}+\mathbf {\nabla } \phi )=0

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ mathbf {A} _ {0} + \ mathbf {\ nabla} \ phi) = 0}

{\ mathbf \ nabla} \ cdot ({\ mathbf A} _ {0} + {\ mathbf \ nabla} \ phi) = 0

.

Exploatând relația anterioară și aplicând rotorul la ecuația potențialului vectorial, obținem:

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} _{0}=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} _{0})-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} _{0}=-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} _{0}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} _ {0} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A} _ {0} = \ mathbf { \ nabla} (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} _ {0}) - \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ mathbf {A} _ {0} = - \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ mathbf {A} _ {0}}

{\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf B} _ {0} = {\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf A} _ {0} = {\ mathbf \ nabla} ({\ mathbf \ nabla} \ cdot {\ mathbf A} _ {0}) - {\ mathbf \ nabla} ^ {2} {\ mathbf A} _ {0} = - {\ mathbf \ nabla} ^ {2 } {\ mathbf A} _ {0}

și amintind de Legea lui Ampère, avem:

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} _{0}=-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} _{0}=\mu _{0}\rho _{E}\mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} _ {0} = - \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ mathbf {A} _ {0} = \ mu _ {0} \ rho _ {E} \ mathbf {v}}

{\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf B} _ {0} = - {\ mathbf \ nabla} ^ {2} {\ mathbf A} _ {0} = \ mu _ {0} \ rho _ {E } {\ mathbf v}

.

Aceasta implică faptul că componentele $\mathbf {A} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {0}}$ ${\ mathbf A} _ {0}$ verificați ecuația Poisson : ^[4]

{\begin{cases}\nabla ^{2}A_{0x}=-\mu _{0}\rho _{E}v_{x}\\\nabla ^{2}A_{0y}=-\mu _{0}\rho _{E}v_{y}\\\nabla ^{2}A_{0z}=-\mu _{0}\rho _{E}v_{z}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ nabla ^ {2} A_ {0x} = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} v_ {x} \\\ nabla ^ {2} A_ {0y} = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} v_ {y} \\\ nabla ^ {2} A_ {0z} = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} v_ {z} \ end { cazuri}}}

{\ begin {cases} \ nabla ^ {2} A _ {{0x}} = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} v_ {x} \\\ nabla ^ {2} A _ {{0y }} = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} v_ {y} \\\ nabla ^ {2} A _ {{0z}} = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} v_ {z} \ end {cases}}

Soluția ecuației există și este unică: ^[5]

\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V'}{\frac {\mathbf {\rho } _{E}\mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{|\Delta \mathbf {r} |}}dV'

{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {0} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {V '} {\ frac {\ mathbf {\ rho} _ {E} \ mathbf {v} (\ mathbf {r} ')} {| \ Delta \ mathbf {r} |}} dV'}

{\ mathbf A} _ {0} ({\ mathbf r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {{V '}} {\ frac {{\ mathbf \ rho} _ {E} {\ mathbf v} ({\ mathbf r} ')} {| \ Delta {\ mathbf r} |}} dV'

În special, pentru circuitele de tip thread:

\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{l'}{\frac {d\mathbf {l} '}{|\Delta \mathbf {r} |}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {0} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} I \ int _ {l '} {\ frac {d \ mathbf {l} '} {| \ Delta \ mathbf {r} |}}}

{\ mathbf A} _ {0} ({\ mathbf r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} I \ int _ {{l '}} {\ frac {d { \ mathbf l} '} {| \ Delta {\ mathbf r} |}}

Derivarea explicită a potențialului vectorial

O derivare mai imediată a formulei pentru potențialul vectorial al câmpului magnetic care nu trece prin soluția ecuației Poisson se obține prin reexprimare $\mathbf {B} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {0}}$ în funcție de densitatea curentului $\mathbf {J(r')}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J (r ')}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J (r ')}}$ după cum urmează:

$\mathbf {B} ({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\nu }{\frac {\mathbf {J(r')} \times \Delta r}{|\Delta r|^{3}}}d\tau '$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ vec {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {\ nu} {\ frac {\ mathbf {J (r ')} \ times \ Delta r} {| \ Delta r | ^ {3}}} d \ tau'}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ vec {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {\ nu} {\ frac {\ mathbf {J (r ')} \ times \ Delta r} {| \ Delta r | ^ {3}}} d \ tau'}$

unde indicii primatelor se referă la integrarea pe volum unde acesta nu este zero $\mathbf {J(r')} .$ ${\ displaystyle \ mathbf {J (r ')}.}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J (r ')}.}$

Observând această relație ${\textstyle {\frac {\Delta \mathbf {r} }{|\Delta \mathbf {r} |^{3}}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ Delta \ mathbf {r}} {| \ Delta \ mathbf {r} | ^ {3}}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ Delta \ mathbf {r}} {| \ Delta \ mathbf {r} | ^ {3}}}}$ se rescrie ca. ${\textstyle -\nabla {\Bigl (}{\frac {1}{\Delta \mathbf {r} }}{\Bigr )}}$ ${\ textstyle - \ nabla {\ Bigl (} {\ frac {1} {\ Delta \ mathbf {r}}} {\ Bigr)}}$ ${\ textstyle - \ nabla {\ Bigl (} {\ frac {1} {\ Delta \ mathbf {r}}} {\ Bigr)}}$ - sau ca gradient al unei funcții scalare - scrierea anterioară devine: $\mathbf {B} ({\vec {r}})=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\nu }\mathbf {J(r')} \times \nabla {\Bigl (}{\frac {1}{\Delta r}}{\Bigr )}d\tau '$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ vec {r}}) = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {\ nu} \ mathbf {J (r ' )} \ times \ nabla {\ Bigl (} {\ frac {1} {\ Delta r}} {\ Bigr)} d \ tau '}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ vec {r}}) = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {\ nu} \ mathbf {J (r ' )} \ times \ nabla {\ Bigl (} {\ frac {1} {\ Delta r}} {\ Bigr)} d \ tau '}$

Prin exploatarea proprietății rotorului $\nabla \times (f\cdot {\vec {v}})=f\cdot (\nabla \times {\vec {v}})-({\vec {v}}\times \nabla f)$ ${\ displaystyle \ nabla \ times (f \ cdot {\ vec {v}}) = f \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {v}}) - ({\ vec {v}} \ times \ nabla f )}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times (f \ cdot {\ vec {v}}) = f \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {v}}) - ({\ vec {v}} \ times \ nabla f )}}$ :

$\mathbf {B} ({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\nu }{\Bigl (}\nabla \times {\frac {\mathbf {J(r')} }{\Delta r}}{\Bigr )}d\tau '$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ vec {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {\ nu} {\ Bigl (} \ nabla \ ori {\ frac {\ mathbf {J (r ')}} {\ Delta r}} {\ Bigr)} d \ tau'}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ vec {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {\ nu} {\ Bigl (} \ nabla \ ori {\ frac {\ mathbf {J (r ')}} {\ Delta r}} {\ Bigr)} d \ tau'}$

(rotorul de $\mathbf {J(r')}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J (r ')}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J (r ')}}$ destinat cu privire la coordonatele non-primate este evident nul). Deoarece integrarea operează pe variabile $(x',y',z')$ ${\ displaystyle (x ', y', z ')}$ ${\ displaystyle (x ', y', z ')}$ în timp ce operatorul $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ operează pe $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ , este posibil să o scoți din integrare și expresia devine:

$\mathbf {B} ({\vec {r}})=\nabla \times \int _{\nu }{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\Bigl (}{\frac {\mathbf {J(r')} }{\Delta r}}{\Bigr )}d\tau '=\nabla \times \mathbf {A} ({\vec {r}})$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ vec {r}}) = \ nabla \ times \ int _ {\ nu} {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ Bigl ( } {\ frac {\ mathbf {J (r ')}} {\ Delta r}} {\ Bigr)} d \ tau' = \ nabla \ times \ mathbf {A} ({\ vec {r}})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ vec {r}}) = \ nabla \ times \ int _ {\ nu} {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ Bigl ( } {\ frac {\ mathbf {J (r ')}} {\ Delta r}} {\ Bigr)} d \ tau' = \ nabla \ times \ mathbf {A} ({\ vec {r}})}$

Relații integrale

Am văzut că există un potențial vectorial pentru calculul câmpului magnetic astfel încât:

\mathbf {B} _{0}(x,y,z)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}(x,y,z)

{\ displaystyle \ mathbf {B} _ {0} (x, y, z) = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A} _ {0} (x, y, z)}

{\ mathbf B} _ {0} (x, y, z) = {\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf A} _ {0} (x, y, z)

Relația integrală corespunzătoare, prin intermediul teoremei rotorului , ne spune că integralul de-a lungul oricărei linii închise și orientate $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ care este limita oricărei suprafețe $\mathbf {S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S}}$ ${\ mathbf S}$ :

\int _{S}\mathbf {B} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{S}\nabla \times \mathbf {A} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{l}\mathbf {A} _{0}\cdot d\mathbf {l}

{\ displaystyle \ int _ {S} \ mathbf {B} _ {0} \ cdot d \ mathbf {S} = \ int _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {A} _ {0} \ cdot d \ mathbf {S} = \ oint _ {l} \ mathbf {A} _ {0} \ cdot d \ mathbf {l}}

\ int _ {{S}} {\ mathbf B} _ {0} \ cdot d {\ mathbf S} = \ int _ {S} \ nabla \ times {\ mathbf A} _ {0} \ cdot d {\ mathbf S} = \ oint _ {{l}} {\ mathbf A} _ {0} \ cdot d {\ mathbf l}

adică circulația potențialului vector de-a lungul oricărei linii închise este egală cu fluxul câmpului magnetic concatenat cu acea linie.

În plus, potențialul vectorial trebuie să fie solenoidal , deci pentru teorema divergenței fluxul calculat pe orice suprafață trebuie să fie zero:

\oint _{S}\mathbf {A} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} _{0}dV=0

{\ displaystyle \ oint _ {S} \ mathbf {A} _ {0} \ cdot d \ mathbf {S} = \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {A} _ {0} dV = 0}

\ oint _ {S} {\ mathbf A} _ {0} \ cdot d {\ mathbf S} = \ int _ {V} \ nabla \ cdot {\ mathbf A} _ {0} dV = 0

Electrodinamică

Același subiect în detaliu: Quadropotențial .

În cel mai general caz, în care sursele variază în timp și se iau în considerare aspectele relativiste , potențialul magnetic este componenta spațială a cvadripotențialului electromagnetic, definit ca: ^[6]

A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)

{\ displaystyle A ^ {\ alpha} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {A} \ right)}

A ^ {{\ alpha}} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, {\ mathbf A} \ right)

in care $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este potențialul scalar și $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf A$ potențialul magnetic vectorial .

Unitatea de măsură a $A^{\alpha }$ ${\ displaystyle A ^ {\ alpha}}$ $A ^ {\ alpha}$ este volt · secundă / metru în SI și Maxwell / centimetru în sistemul Gauss. Pentru a satisface condițiile impuse de relativitatea specială, câmpurile trebuie scrise în formă tensorială , astfel încât în transformările de coordonate dintre două referințe inerțiale să respecte transformările Lorentz . În gabaritul Lorenz , tensorul electromagnetic este definit pornind de la cvadripotențial în felul următor: ^[7]

F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu}}

F ^ {{\ mu \ nu}} = \ partial ^ {{\ mu}} A ^ {{\ nu}} - \ partial ^ {{\ nu}} A ^ {{\ mu}}

Este un tensor antisimetric a cărui urmă este zero.

De cand $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} = 0}$ $\ partial _ {{\ alpha}} A ^ {{\ alpha}} = 0$ într-un sistem de referință inerțial , ecuația undei pentru câmpuri este dată de:

\Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }\qquad \left(\Box A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}J^{\alpha }\right)

{\ displaystyle \ Box A ^ {\ alpha} = \ mu _ {0} J ^ {\ alpha} \ qquad \ left (\ Box A ^ {\ alpha} = {\ frac {4 \ pi} {c}} J ^ {\ alpha} \ right)}

\ Box A ^ {{\ alpha}} = \ mu _ {0} J ^ {{\ alpha}} \ qquad \ left (\ Box A ^ {{\ alpha}} = {\ frac {4 \ pi} { c}} J ^ {{\ alpha}} \ dreapta)

unde este $J^{\alpha }$ ${\ displaystyle J ^ {\ alpha}}$ $J ^ {{\ alpha}}$ sunt componentele curentului cvadruplu și:

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}

{\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}}

\ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}

este operatorul d'Alembert . ^[6] Ecuațiile lui Maxwell exprimate în termeni de potențial scalar și vectorial iau în consecință forma:

\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ qquad \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ qquad \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

Pentru o distribuție de taxe dată $\rho (\mathbf {x} ,t)$ ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}, t)}$ $\ rho ({\ mathbf {x}}, t)$ și curent $\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} (\ mathbf {x}, t)}$ ${\ mathbf J} ({\ mathbf {x}}, t)$ soluțiile din SI ale ecuațiilor anterioare sunt potențialele întârziate :

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho (\mathbf {x} ^{\prime },\tau )}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}\qquad \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} ^{\prime },\tau )}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int \ mathrm {d} ^ {3} x ^ {\ prime} {\ frac {\ rho (\ mathbf {x} ^ {\ prime}, \ tau)} {\ left | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime} \ right |}} \ qquad \ mathbf {A} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int \ mathrm {d} ^ {3} x ^ {\ prime} {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {x} ^ {\ prime}, \ tau)} {\ left | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime} \ right |}}}

\ phi ({\ mathbf {x}}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ mathrm {d}} ^ {3} x ^ {\ prime } {\ frac {\ rho ({\ mathbf {x}} ^ {\ prime}, \ tau)} {\ left | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}} ^ {\ prime} \ dreapta |}} \ qquad {\ mathbf A} ({\ mathbf {x}}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ mathrm {d}} ^ {3} x ^ {\ prime} {\ frac {{\ mathbf J} ({\ mathbf {x}} ^ {\ prime}, \ tau)} {\ left | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}} ^ {\ prime} \ right |}}

unde este:

\tau =t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}{c}}

{\ displaystyle \ tau = t - {\ frac {\ left | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} '\ right |} {c}}}

\ tau = t - {\ frac {\ left | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x}} '\ right |} {c}}

este timpul întârziat.

Potențial scalar

Există un potențial magnetic scalar $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ dacă și numai dacă câmpul magnetostatic este irotațional într-un domeniu pur și simplu conectat . ^[8]
Știind că câmpul magnetic nu este irotațional peste tot, ci doar departe de spațiul în care sunt prezenți conductorii, doar în acest caz există un potențial magnetic scalar astfel încât:

\mathbf {B} _{0}=-\mathbf {\nabla } \psi

{\ displaystyle \ mathbf {B} _ {0} = - \ mathbf {\ nabla} \ psi}

{\ mathbf B} _ {0} = - {\ mathbf \ nabla} \ psi

Este posibil să derivăm acest potențial folosind legea lui Ampère , departe de spațiul în care sunt prezenți curenții:

\oint \mathbf {B} _{0}\cdot d\mathbf {l} =0

{\ displaystyle \ oint \ mathbf {B} _ {0} \ cdot d \ mathbf {l} = 0}

\ oint {\ mathbf B} _ {0} \ cdot d {\ mathbf l} = 0

sau echivalent:

\mathbf {B} _{0}\cdot d\mathbf {l} =-\nabla \psi \cdot d\mathbf {l}

{\ displaystyle \ mathbf {B} _ {0} \ cdot d \ mathbf {l} = - \ nabla \ psi \ cdot d \ mathbf {l}}

{\ mathbf B} _ {0} \ cdot d {\ mathbf l} = - \ nabla \ psi \ cdot d {\ mathbf l}

în care prin înlocuirea legii Biot-Savart și integrarea: ^[9]

\psi =-{\frac {\mu _{0}\ I}{4\pi }}\Omega +cost

{\ displaystyle \ psi = - {\ frac {\ mu _ {0} \ I} {4 \ pi}} \ Omega + cost}

\ psi = - {\ frac {\ mu _ {0} \ I} {4 \ pi}} \ Omega + cost

unde constanta poate fi setată la zero.
$\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este unghiul solid creat de conul cu vârf în punctul în care se calculează potențialul, iar acest lucru înseamnă că câmpul magnetostatic departe de spațiul în care sunt prezenți curenții:

\mathbf {B} _{0}={\frac {\mu _{0}\ I}{4\pi }}\mathbf {\nabla } \Omega

{\ displaystyle \ mathbf {B} _ {0} = {\ frac {\ mu _ {0} \ I} {4 \ pi}} \ mathbf {\ nabla} \ Omega}

{\ mathbf B} _ {0} = {\ frac {\ mu _ {0} \ I} {4 \ pi}} {\ mathbf \ nabla} \ Omega

Notă

^ Jackson , pagina 239 .
^ Jackson , pagina 240 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 273 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 274 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 260 .
^ ^a ^b Jackson , pagina 555 .
^ Jackson , pagina 556 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 270 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 271 .

Bibliografie

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Physics II , Naples, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Theoretical Physics 2 - Field Theory , Rome, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8 .
( EN ) John D. Jackson, Electrodynamics Classical , ed. A III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
Richard P Feynman, Robert B Leighton și Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics Volumul 2 , Addison-Wesley, 1964, ISBN 0-201-02117-X .

John D. Kraus, Electromagnetică , 3, McGraw-Hill, 1984, ISBN 0-07-035423-5 .

Fawwaz Ulaby, Fundamentals of Applied Electromagnetics, ediția a cincea , Pearson Prentice Hall, 2007, pp. 226-228, ISBN 0-13-241326-4 .

Jack Vanderlinde, Teoria electromagnetică clasică ^{[ link rupt ]} , 2005, ISBN 1-4020-2699-4 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism

[1] Jackson , pagina 239 .

[pot-2] Jackson , pagina 240 .

[3] Mencuccini, Silvestrini , pagina 273 .

[4] Mencuccini, Silvestrini , pagina 274 .

[5] Mencuccini, Silvestrini , pagina 260 .

[def-6] Jackson , pagina 555 .

[7] Jackson , pagina 556 .

[8] Mencuccini, Silvestrini , pagina 270 .

[9] Mencuccini, Silvestrini , pagina 271 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]