Potențialele întârziate

În electrodinamică , potențialele retardate descriu potențialul generalizat al câmpului electromagnetic într-un sistem a cărui sursă de distribuție a sarcinii și curentului câmpului este variabilă în timp. Acestea sunt expresiile potențialului electric și magnetic introduse în cazul în care nu este posibil să se utilizeze aproximarea conform căreia propagarea interacțiunii electromagnetice este instantanee, de exemplu atunci când considerăm sarcini care se mișcă cu o viteză deloc neglijabilă. în comparație cu viteza.propagarea luminii.

Definiție

Presupunând că vă aflați într-un vid, în indicatorul Lorenz potențialul întârziat ia forma: ^[1]

\psi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {x} _ {0 }, t_ {r})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}}

\ psi ({\ mathbf x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho ({\ mathbf x} _ {0}, t_ {r})} {| {\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} \ int {\ frac {\ mathbf { J} (\ mathbf {x} _ {0}, t_ {r})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}}

{\ mathbf A} ({\ mathbf x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} \ int {\ frac {{\ mathbf J} ( {\ mathbf x} _ {0}, t_ {r})} {| {\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}

unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea sarcinii , $\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf J$ Este densitatea curentului , $|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|$ ${\ displaystyle | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |}$ $| \ mathbf x - \ mathbf x_0 |$ distanța punctului de observație al câmpului de elementul volum $d V.$ ${\ displaystyle dV}$ $dV$ pe care se realizează integrarea și:

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}}

{\ displaystyle t_ {r} = t - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |} {c}}}

t_r = t- \ frac {| \ mathbf x - \ mathbf x_0 |} {c}

este timpul întârziat.

Potențialul întârziat este soluția „ ecuației undei pentru potențial:

\quad \nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ quad \ nabla ^ {2} \ psi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial t ^ {2}} } = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

\ quad \ nabla ^ {2} \ psi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial t ^ {2}}} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}

\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J}

{\ displaystyle \ quad \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

\ quad \ nabla ^ {2} {\ mathbf A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ mathbf A}} {\ partial t ^ { 2}}} = - \ mu _ {0} {\ mathbf J}

Odată ce potențialele sunt determinate $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ Și $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf A$ din distribuția sarcinilor și curenților în spațiu, este posibil să se exprime câmpul electric și câmpul magnetic prin intermediul formulelor:

\mathbf {E} =-\nabla \psi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ psi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \ qquad \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} }

{\ mathbf {E}} = - \ nabla \ psi - {\ frac {\ partial {\ mathbf {A}}} {\ partial t}} \ qquad {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}

iar acest lucru vă permite să scrieți ecuația de undă pentru câmpurile în vid:

\quad \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\left(-\nabla \rho -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right)

{\ displaystyle \ quad \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2}}} = - {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ left (- \ nabla \ rho - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ mathbf {J}} {\ partial t}} \ right)}

\ quad \ nabla ^ {2} {\ mathbf {E}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ mathbf {E}}} {\ partial t ^ {2}}} = - {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ left (- \ nabla \ rho - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial {\ mathbf {J}}} {\ partial t}} \ right)

\quad \nabla ^{2}\mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\nabla \times \mathbf {J}

{\ displaystyle \ quad \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {B}} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} \ nabla \ times \ mathbf {J}}

\ quad \ nabla ^ {2} {\ mathbf {B}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ mathbf {B}}} {\ parțial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} \ nabla \ times {\ mathbf {J}}

a cărei soluție la timpul întârziat oferă expresia preliminară pentru câmpuri: ^[2]

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\left[-\nabla '\rho -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right]_{t=t_{r}}d^{3}x'

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {1} {| \ mathbf {x } - \ mathbf {x} _ {0} |}} \ left [- \ nabla '\ rho - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ mathbf {J}} {\ partial t}} \ right] _ {t = t_ {r}} d ^ {3} x '}

{\ mathbf {E}} ({\ mathbf {x}}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {1} {| {\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0} |}} \ left [- \ nabla '\ rho - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial {\ mathbf {J }}} {\ partial t}} \ right] _ {{t = t_ {r}}} d ^ {3} x '

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}\left[\nabla '\times \mathbf {J} \right]_{t=t_{r}}d^{3}x'

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |}} \ left [\ nabla '\ times \ mathbf {J} \ right] _ {t = t_ {r}} d ^ {3} x'}

{\ mathbf {B}} ({\ mathbf {x}}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {1} {| {\ mathbf x } - {\ mathbf x} _ {0} |}} \ left [\ nabla '\ times {\ mathbf {J}} \ right] _ {{t = t_ {r}}} d ^ {3} x'

Scrierea explicită a câmpurilor este asigurată de ecuațiile Jefimenko .

Derivare

Același subiect în detaliu: ecuația undei .

Vrem să găsim soluțiile generale ale ecuației undei pentru potențialele prezentate mai sus, luând în considerare ecuația pentru o sursă punctuală plasată în $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _ {0}$ : ^[3]

\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi (\mathbf {x} ,t)=-S(\mathbf {x} _{0},t)\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi (\ mathbf {x}, t) - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ phi (\ mathbf {x}, t) = - S (\ mathbf {x} _ {0}, t) \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0 })}

\ nabla ^ {2} \ phi ({\ mathbf x}, t) - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2 }}} \ phi ({\ mathbf x}, t) = - S ({\ mathbf x} _ {0}, t) \ delta ({\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0})

Mulțumită definiției deltei Dirac $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este deci posibil să se descrie prezența unei surse punctuale: în restul spațiului nu există surse, iar ecuația undei nu este omogenă doar pentru $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {x} _ {0}}$ ${\ mathbf x} = {\ mathbf x} _ {0}$ . Scriind laplacianul în coordonate sferice, ecuația omogenă devine:

{1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \phi  \over \partial r}\right)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\phi  \over \partial t^{2}}=0

{\ displaystyle {1 \ over r ^ {2}} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r ^ {2} {\ partial \ phi \ over \ partial r} \ right) - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ phi \ over \ partial t ^ {2}} = 0}

{1 \ over r ^ {2}} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r ^ {2} {\ partial \ phi \ over \ partial r} \ right) - {1 \ over c ^ {2 }} {\ partial ^ {2} \ phi \ over \ partial t ^ {2}} = 0

și dacă efectuați înlocuirea:

\phi (r,t)={\frac {\chi (r,t)}{r}}

{\ displaystyle \ phi (r, t) = {\ frac {\ chi (r, t)} {r}}}

\ phi (r, t) = {\ frac {\ chi (r, t)} {r}}

avem:

{\partial ^{2}\chi  \over \partial r^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\chi  \over \partial t^{2}}=0

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ chi \ over \ partial r ^ {2}} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ chi \ over \ partial t ^ {2 }} = 0}

{\ partial ^ {2} \ chi \ over \ partial r ^ {2}} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ chi \ over \ partial t ^ {2}} = 0

a cărei soluție este că ecuația undelor omogene: ^[4]

\chi (r,t)=f\left(t-{r \over c}\right)+g\left(t+{r \over c}\right)

{\ displaystyle \ chi (r, t) = f \ left (t- {r \ over c} \ right) + g \ left (t + {r \ over c} \ right)}

\ chi (r, t) = f \ left (t- {r \ over c} \ right) + g \ left (t + {r \ over c} \ right)

de la care

\phi (r,t)={\frac {f(t-{\frac {r}{c}})}{r}}+{\frac {g(t+{\frac {r}{c}})}{r}}

{\ displaystyle \ phi (r, t) = {\ frac {f (t - {\ frac {r} {c}})} {r}} + {\ frac {g (t + {\ frac {r} {c}})} {r}}}

\ phi (r, t) = {\ frac {f (t - {\ frac {r} {c}})} {r}} + {\ frac {g (t + {\ frac {r} {c} })} {r}}

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt două funcții de determinat. Impunând că valurile ies din sursă, termenul trebuie exclus

g\left(t+{\frac {r}{c}}\right)\quad .

{\ displaystyle g \ left (t + {\ frac {r} {c}} \ right) \ quad.}

g \ left (t + {\ frac {r} {c}} \ right) \ quad.

Această condiție este dictată de principiul cauzalității și de faptul că nu are sens să vorbim despre unde care ajung din infinit spre sursă. Prin urmare, există: ^[5]

\phi (r,t)={\frac {f(t-{\frac {r}{c}})}{r}}

{\ displaystyle \ phi (r, t) = {\ frac {f (t - {\ frac {r} {c}})} {r}}}

\ phi (r, t) = {\ frac {f (t - {\ frac {r} {c}})} {r}}

de la care:

\nabla \phi =-{\frac {f(t-{\frac {r}{c}})}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'(t-{\frac {r}{c}})}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}

{\ displaystyle \ nabla \ phi = - {\ frac {f (t - {\ frac {r} {c}})} {r ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} - { \ frac {1} {c}} {\ frac {f '(t - {\ frac {r} {c}})} {r}} {\ hat {\ mathbf {r}}}}

\ nabla \ phi = - {\ frac {f (t - {\ frac {r} {c}})} {r ^ {2}}} {\ hat {{\ mathbf r}}} - {\ frac { 1} {c}} {\ frac {f '(t - {\ frac {r} {c}})} {r}} {\ hat {{\ mathbf r}}}

unde este $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ este derivatul lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu privire la argumentul său. Acum integrăm ecuația undei pe un volum sferic de rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ centrat în $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _ {0}$ și înlocuind expresiile găsite mai sus cu $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și $\nabla \phi$ ${\ displaystyle \ nabla \ phi}$ $\ nabla \ phi$ avem:

\int \nabla \cdot \left[-{\frac {f}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}\right]d^{3}x-{\frac {1}{c^{2}}}\int {\frac {f''}{r}}d^{3}x=-\int S(\mathbf {x} _{0},t)\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})d^{3}x

{\ displaystyle \ int \ nabla \ cdot \ left [- {\ frac {f} {r ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} - {\ frac {1} {c}} { \ frac {f '} {r}} {\ hat {\ mathbf {r}}} \ right] d ^ {3} x - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ int {\ frac {f ''} {r}} d ^ {3} x = - \ int S (\ mathbf {x} _ {0}, t) \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0 }) d ^ {3} x}

\ int \ nabla \ cdot \ left [- {\ frac {f} {r ^ {2}}} {\ hat {{\ mathbf r}}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac { f '} {r}} {\ hat {{\ mathbf r}}} \ right] d ^ {3} x - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ int {\ frac {f' '} {r}} d ^ {3} x = - \ int S ({\ mathbf x} _ {0}, t) \ delta ({\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0}) d ^ {3} x

și luând în considerare limita pentru $R\to 0$ ${\ displaystyle R \ to 0}$ $R \ la 0$ a doua integrală dispare deoarece este mai mică decât maximul integrandului pe domeniul de integrare, înmulțit cu măsura domeniului de integrare. Exploatarea teoremei divergenței este apoi calculată valoarea primei integrale:

\int _{V}\nabla \cdot \left[-{\frac {f}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}\right]d^{3}x=\int _{S}\left[-{\frac {f}{r^{2}}}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'}{r}}\right]{\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {S} '=4\pi R^{2}\left[-{\frac {f}{R^{2}}}-{\frac {1}{c}}{\frac {f'}{R}}\right]

{\ displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ left [- {\ frac {f} {r ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} - {\ frac {1} { c}} {\ frac {f '} {r}} {\ hat {\ mathbf {r}}} \ right] d ^ {3} x = \ int _ {S} \ left [- {\ frac {f } {r ^ {2}}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac {f '} {r}} \ right] {\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot d \ mathbf {S} '= 4 \ pi R ^ {2} \ left [- {\ frac {f} {R ^ {2}}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac {f'} { R}} \ dreapta]}

\ int _ {V} \ nabla \ cdot \ left [- {\ frac {f} {r ^ {2}}} {\ hat {{\ mathbf r}}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac {f '} {r}} {\ hat {{\ mathbf r}}} \ right] d ^ {3} x = \ int _ {S} \ left [- {\ frac {f} {r ^ {2}}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac {f '} {r}} \ right] {\ hat {{\ mathbf r}}} \ cdot d {\ mathbf S} '= 4 \ pi R ^ {2} \ left [- {\ frac {f} {R ^ {2}}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac {f'} {R}} \ dreapta]

unde este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este volumul sferei de rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ suprafața sferei în sine. Prin stabilirea limitei pentru $R\to 0$ ${\ displaystyle R \ to 0}$ $R \ la 0$ rețineți că al doilea termen dintre paranteze dispare. Prin urmare, având în vedere ecuația de undă integrată, obținem relația:

-4\pi f(t)=-S(\mathbf {x} _{0},t)

{\ displaystyle -4 \ pi f (t) = - S (\ mathbf {x} _ {0}, t)}

-4 \ pi f (t) = - S ({\ mathbf x} _ {0}, t)

unde: ^[5]

f(t)={\frac {S(\mathbf {x} _{0},t)}{4\pi }}

{\ displaystyle f (t) = {\ frac {S (\ mathbf {x} _ {0}, t)} {4 \ pi}}}

f (t) = {\ frac {S ({\ mathbf x} _ {0}, t)} {4 \ pi}}

și exploatarea relației:

\phi (r,t)={\frac {f(t-{\frac {r}{c}})}{r}}

{\ displaystyle \ phi (r, t) = {\ frac {f (t - {\ frac {r} {c}})} {r}}}

\ phi (r, t) = {\ frac {f (t - {\ frac {r} {c}})} {r}}

în cele din urmă obținem soluția generală a ecuației undei de pornire, valabilă pentru sursele punctuale:

\phi (r,t)={\frac {S(\mathbf {x} _{0},t-{\frac {r}{c}})}{4\pi r}}

{\ displaystyle \ phi (r, t) = {\ frac {S (\ mathbf {x} _ {0}, t - {\ frac {r} {c}})} {4 \ pi r}}}

\ phi (r, t) = {\ frac {S ({\ mathbf x} _ {0}, t - {\ frac {r} {c}})} {4 \ pi r}}

Pentru a lua în considerare cazul general al unei surse non-punct, este suficient să se integreze su $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _ {0}$ soluția de mai sus, obținând soluția valabilă pentru orice sursă:

\phi (\mathbf {x} ,t)_{g}=\int {\frac {S(\mathbf {x} _{0},t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}})}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t) _ {g} = \ int {\ frac {S (\ mathbf {x} _ {0}, t - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |} {c}})} {4 \ pi | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}}

\ phi ({\ mathbf x}, t) _ {g} = \ int {\ frac {S ({\ mathbf x} _ {0}, t - {\ frac {| {\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0} |} {c}})} {4 \ pi | {\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}

Apoi este suficient să se înlocuiască respectiv a $\phi _{g}$ ${\ displaystyle \ phi _ {g}}$ $\ phi _ {g}$ este la $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ vector potențial și scalar și sursele respective pentru a obține soluții generale de ecuații de undă pentru potențiale: ^[1]

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} \ int {\ frac {\ mathbf { J} (\ mathbf {x} _ {0}, t - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |} {c}})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}}

{\ mathbf A} ({\ mathbf x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} \ int {\ frac {{\ mathbf J} ( {\ mathbf x} _ {0}, t - {\ frac {| {\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0} |} {c}})} {| {\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}

\psi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {x} _ {0 }, t - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |} {c}})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} | }} d ^ {3} x_ {0}}

\ psi ({\ mathbf x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho ({\ mathbf x} _ {0}, t - {\ frac {| {\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0} |} {c}})} {| {\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}

aceasta este expresia pe care o căutați.

Ecuația undei și gabaritul Lorenz

Același subiect în detaliu: Lorenz Gauge .

Înlocuind definiția potențialului vectorial $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ mathbf A}$ în a doua ecuație Maxwell se obține:

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {A} )

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ nabla \ times \ mathbf {A})}

\ nabla \ times {\ mathbf E} = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ nabla \ times {\ mathbf A})

de la care:

\nabla \times (\mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A} )=0

{\ displaystyle \ nabla \ times (\ mathbf {E} + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ mathbf {A}) = 0}

\ nabla \ times (\ mathbf E + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ mathbf A) = 0

Deoarece cantitatea dintre paranteze are un rotor zero, aceasta poate fi exprimată ca gradientul unui câmp scalar și, în special, al potențialului scalar $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ : ^[6]

\nabla \psi =-(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}})

{\ displaystyle \ nabla \ psi = - (\ mathbf {E} + {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}})}

\ nabla \ psi = - ({\ mathbf E} + {\ frac {\ partial {\ mathbf A}} {\ partial t}})

adică:

\mathbf {E} =-\nabla \psi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ psi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}

{\ mathbf E} = - \ nabla \ psi - {\ frac {\ partial {\ mathbf A}} {\ partial t}}

Folosind relația acum:

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F}

{\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {F}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) - \ nabla ^ {2} \ mathbf {F}}

\ nabla \ times (\ nabla \ times {\ mathbf F}) = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ mathbf F}) - \ nabla ^ {2} {\ mathbf F}

unde cu $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ ${\ mathbf F}$ am indicat o mărime vectorială generică și înlocuind în cele două ecuații Maxwell:

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

\ nabla \ cdot {\ mathbf E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}

\nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon _{0}c^{2}}}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} = {\ frac { \ mathbf {J}} {\ varepsilon _ {0} c ^ {2}}}}

\ nabla \ times {\ mathbf B} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial {\ mathbf E}} {\ partial t}} = {\ frac {{\ mathbf J}} {\ varepsilon _ {0} c ^ {2}}}

obținem următoarele relații:

\nabla ^{2}\psi +{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0} }}}

\ nabla ^ {2} \ psi + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ cdot {\ mathbf A} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}

\nabla ^{2}\mathbf {A} -\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon _{0}c^{2}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ psi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}} } = - {\ frac {\ mathbf {J}} {\ varepsilon _ {0} c ^ {2}}}}

\ nabla ^ {2} {\ mathbf A} - \ nabla (\ nabla \ cdot {\ mathbf A}) - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ psi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ mathbf A}} {\ partial t ^ {2}}} = - {\ frac {{\ mathbf J}} {\ varepsilon _ {0} c ^ {2}}}

numite ecuații electrodinamice nedecuplate. ^[7]

Pentru a simplifica aceste ecuații este convenabil să recurgeți la o anumită transformare a ecartamentului . Amintindu-mi că potențialul transportator $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ mathbf A}$ este definit cu excepția cazului în care un gradient, puteți adăuga gradientul cu o cantitate scalară $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ menținând nemodificat câmpul magnetic:

\mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \phi

{\ displaystyle \ mathbf {A} '= \ mathbf {A} + \ nabla \ phi}

{\ mathbf A} '= {\ mathbf A} + \ nabla \ phi

și pentru ca câmpul electric să rămână neschimbat, trebuie să se aplice și următoarele:

\mathbf {E} =-\nabla \psi '-{\frac {\partial \mathbf {A} '}{\partial t}}=-\nabla \psi '-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \phi =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-(\nabla \psi '+{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \phi )

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ psi '- {\ frac {\ partial \ mathbf {A}'} {\ partial t}} = - \ nabla \ psi '- {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ phi = - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} - (\ nabla \ psi '+ {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ phi)}

{\ mathbf E} = - \ nabla \ psi '- {\ frac {\ partial {\ mathbf A}'} {\ partial t}} = - \ nabla \ psi '- {\ frac {\ partial {\ mathbf A }} {\ partial t}} - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ phi = - {\ frac {\ partial {\ mathbf A}} {\ partial t}} - (\ nabla \ psi '+ {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ phi)

prin urmare, exploatând relația dintre $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ ${\ mathbf E}$ , $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ Și $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ mathbf A}$ primesti:

\nabla \psi =\nabla \psi '+{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \phi

{\ displaystyle \ nabla \ psi = \ nabla \ psi '+ {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ phi}

\ nabla \ psi = \ nabla \ psi '+ {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ phi

care se traduce prin:

\psi '=\psi -{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

{\ displaystyle \ psi '= \ psi - {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}}}

\ psi '= \ psi - {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}}

Prin exploatarea invarianței gabaritului este posibil să alegeți $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ mathbf A}$ astfel încât să îndeplinească anumite condiții. În electrodinamică este frecvent alegerea stării Lorenz, care se obține prin alegerea adecvată $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ astfel încât:

\nabla \cdot \mathbf {A} =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}}}

\ nabla \ cdot {\ mathbf A} = - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}}

Această condiție determină forma covariantă a ecuațiilor lui Maxwell pentru potențialele care descriu câmpul. Dacă potențialele îndeplinesc condiția Lorenz, se spune că aparțin ecartamentului Lorenz. ^[8]
Înlocuind în cele două ecuații potențialul obținut anterior, s-au obținut ecuațiile Maxwell pentru potențial: ^[9] ^[10]

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {J} }{\varepsilon _{0}c^{2}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} = - {\ frac {\ mathbf {J}} {\ varepsilon _ {0} c ^ {2}}}}

\ nabla ^ {2} {\ mathbf A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ mathbf A}} {\ partial t ^ {2} }} = - {\ frac {{\ mathbf J}} {\ varepsilon _ {0} c ^ {2}}}

\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial t ^ {2}}} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

\ nabla ^ {2} \ psi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial t ^ {2}}} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}

pe care le recunoașteți forma ecuațiilor de undă .

Potențiale Liénard-Wiechert

Același subiect în detaliu: Potențialul Liénard-Wiechert .

Soluția la timpul întârziat al ecuației de undă nu este omogenă pentru potențialul câmpului electromagnetic este după cum urmează:

\varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\rho (\mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = \ int {\ frac {\ delta \ left (t '+ {\ frac {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |} {c }} - t \ right)} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \ rho (\ mathbf {r}', t ') d ^ {3} r'dt' \ qquad \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = \ int {\ frac {\ delta \ left (t '+ {\ frac {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |} {c} } -t \ right)} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \ mathbf {J} (\ mathbf {r}', t ') d ^ {3} r'dt'}

\ varphi ({\ mathbf {r}}, t) = \ int {\ frac {\ delta \ left (t '+ {\ frac {| {\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r}}' | } {c}} - t \ right)} {| {\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r}} '|}} \ rho ({\ mathbf {r}}', t ') d ^ { 3} r'dt '\ qquad {\ mathbf {A}} ({\ mathbf {r}}, t) = \ int {\ frac {\ delta \ left (t' + {\ frac {| {\ mathbf { r}} - {\ mathbf {r}} '|} {c}} - t \ right)} {| {\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r}}' |}} {\ mathbf {J }} ({\ mathbf {r}} ', t') d ^ {3} r'dt '

unde este $\rho (\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t)}$ $\ rho ({\ mathbf {r}}, t)$ Și $\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ mathbf {J}} ({\ mathbf {r}}, t)$ sunt termenii sursă și:

\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}-t\right)

{\ displaystyle \ delta \ left (t '+ {\ frac {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |} {c}} - t \ right)}

\ delta \ left (t '+ {\ frac {| {\ mathbf {r}} - {\ mathbf {r}}' |} {c}} - t \ right)

este delta Dirac . Pentru o încărcare care se mută $\mathbf {r} _{0}(t')$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0} (t ')}$ ${\ mathbf {r}} _ {0} (t ')$ cu viteza $\mathbf {v} _{0}(t')$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (t ')}$ ${\ mathbf {v}} _ {0} (t ')$ , densitatea de încărcare și curent ia forma:

\rho (\mathbf {r} ',t')=q\delta {\big (}\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t'){\big )}\qquad \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')=q\mathbf {v} _{0}(t')\delta {\big (}\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t'){\big )}

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r} ', t') = q \ delta {\ big (} \ mathbf {r} '- \ mathbf {r} _ {0} (t') {\ big)} \ qquad \ mathbf {J} (\ mathbf {r} ', t') = q \ mathbf {v} _ {0} (t ') \ delta {\ big (} \ mathbf {r}' - \ mathbf { r} _ {0} (t ') {\ big)}}

\ rho ({\ mathbf {r}} ', t') = q \ delta {\ big (} {\ mathbf {r}} '- {\ mathbf {r}} _ {0} (t') {\ big)} \ qquad {\ mathbf {J}} ({\ mathbf {r}} ', t') = q {\ mathbf {v}} _ {0} (t ') \ delta {\ big (} { \ mathbf {r}} '- {\ mathbf {r}} _ {0} (t') {\ big)}

Dacă se integrează pe volum $d^{3}r'$ ${\ displaystyle d ^ {3} r '}$ $d ^ {3} r '$ , folosind relația anterioară obținem:

\varphi (\mathbf {r} ,t)=q\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')|}}dt'\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=q\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {|\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')|}{c}}-t\right)}{|\mathbf {r} '-\mathbf {r} _{0}(t')|}}\mathbf {v} _{0}(t')dt'

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = q \ int {\ frac {\ delta \ left (t '+ {\ frac {| \ mathbf {r}' - \ mathbf {r} _ {0 } (t ') |} {c}} - t \ right)} {| \ mathbf {r}' - \ mathbf {r} _ {0} (t ') |}} dt' \ qquad \ mathbf {A } (\ mathbf {r}, t) = q \ int {\ frac {\ delta \ left (t '+ {\ frac {| \ mathbf {r}' - \ mathbf {r} _ {0} (t ' ) |} {c}} - t \ right)} {| \ mathbf {r} '- \ mathbf {r} _ {0} (t') |}} \ mathbf {v} _ {0} (t ' ) dt '}

\ varphi ({\ mathbf {r}}, t) = q \ int {\ frac {\ delta \ left (t '+ {\ frac {| {\ mathbf {r}}' - {\ mathbf {r}} _ {0} (t ') |} {c}} - t \ right)} {| {\ mathbf {r}}' - {\ mathbf {r}} _ {0} (t ') |}} dt '\ qquad {\ mathbf {A}} ({\ mathbf {r}}, t) = q \ int {\ frac {\ delta \ left (t' + {\ frac {| {\ mathbf {r}} ' - {\ mathbf {r}} _ {0} (t ') |} {c}} - t \ right)} {| {\ mathbf {r}}' - {\ mathbf {r}} _ {0} (t ') |}} {\ mathbf {v}} _ {0} (t') dt '

și integrarea în $t^{'}$ ${\ displaystyle t '}$ $nu$ sunt potențiali Liénard-Wiechert: ^[11]

\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {e}{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{0}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}\qquad \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {e\mathbf {\beta } }{(1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {\beta } )|\mathbf {x} -\mathbf {r} _{0}(\tau )|}}\right)_{\tau =\tau _{0}}={\frac {\mathbf {\beta } (\tau =\tau _{0})}{c}}\varphi (\mathbf {x} ,t)

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {e} {(1- \ mathbf {n } \ cdot \ mathbf {\ beta}) | \ mathbf {x} - \ mathbf {r} _ {0} (\ tau) |}} \ right) _ {\ tau = \ tau _ {0}} \ qquad \ mathbf {A} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {\ mu _ {0} c} {4 \ pi}} \ left ({\ frac {e \ mathbf {\ beta}} {( 1- \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {\ beta}) | \ mathbf {x} - \ mathbf {r} _ {0} (\ tau) |}} \ right) _ {\ tau = \ tau _ {0}} = {\ frac {\ mathbf {\ beta} (\ tau = \ tau _ {0})} {c}} \ varphi (\ mathbf {x}, t)}

\ varphi ({\ mathbf {x}}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {e} {(1 - {\ mathbf {n }} \ cdot {\ mathbf {\ beta}}) | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {r}} _ {0} (\ tau) |}} \ right) _ {{\ tau = \ tau _ {0}}} \ qquad {\ mathbf {A}} ({\ mathbf {x}}, t) = {\ frac {\ mu _ {0} c} {4 \ pi}} \ left ({ \ frac {e {\ mathbf {\ beta}}} {(1 - {\ mathbf {n}} \ cdot {\ mathbf {\ beta}}) | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {r} } _ {0} (\ tau) |}} \ right) _ {{\ tau = \ tau _ {0}}} = {\ frac {{\ mathbf {\ beta}} (\ tau = \ tau _ { 0})} {c}} \ varphi ({\ mathbf {x}}, t)

cu:

\mathbf {\beta } (t)={\frac {\mathbf {v} _{0}(t)}{c}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ beta} (t) = {\ frac {\ mathbf {v} _ {0} (t)} {c}}}

{\ mathbf {\ beta}} (t) = {\ frac {{\ mathbf {v}} _ {0} (t)} {c}}

Și $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ timpul potrivit . Este o formă echivalentă, dar nu covariantă, a potențialului electric $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ și potențial magnetic $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ generat de o sursă punctuală de încărcare în mișcare. ^[12] Potențialele oferă o caracterizare generală și relativistă a câmpului care variază în timp generat de o sarcină în mișcare, iar expresia lor a fost dezvoltată parțial de Alfred-Marie Liénard în 1898 și mai târziu în 1900 de Emil Wiechert ^[13] într-un fel independent de cel al lui Liénard.

Notă

^ ^A ^b Mencuccini, Silvestrini , Pag. 506.
^ Jackson , p. 246.
^ Landau, Lifshits , Pag. 213.
^ Landau, Lifshits , Pag. 150.
^ ^A ^b Landau, Lifshits , Pag. 214.
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 503.
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 504.
^ Jackson , p. 241.
^ Jackson , p. 240.
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 505.
^ Landau, Lifshits , Pag. 218.
^ Jackson , p. 663.
^ Unele aspecte în Emil Wiechert

Bibliografie

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fizica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Theoretical Physics 2 - Field Theory , Rome, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8 .
( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[pot-1] A ^b Mencuccini, Silvestrini , Pag. 506.

[2] Jackson , p. 246.

[3] Landau, Lifshits , Pag. 213.

[4] Landau, Lifshits , Pag. 150.

[wave-5] A ^b Landau, Lifshits , Pag. 214.

[6] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 503.

[7] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 504.

[8] Jackson , p. 241.

[9] Jackson , p. 240.

[10] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 505.

[11] Landau, Lifshits , Pag. 218.

[12] Jackson , p. 663.

[13] Unele aspecte în Emil Wiechert

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]