Notația Einstein

În algebra liniară , notația lui Einstein sau convenția lui Einstein în însumări este o convenție pentru contractarea tensoarelor : fiecare index care apare într-un factor de mai multe ori se adaugă la variația tuturor valorilor posibile pe care le poate angaja indexul.

În cele mai frecvente aplicații indicele poate fi 1,2,3 (pentru calcule în spațiul euclidian ) sau 0,1,2,3 sau 1,2,3,4 (pentru calcule în spațiul Minkowski ), dar poate varia în orice interval, inclusiv mulțimi infinite. Notarea abstractă a indicilor este o dezvoltare a notării lui Einstein.

Convenția a fost introdusă de Albert Einstein însuși pentru a face câteva ecuații de geometrie diferențială utile pentru formularea relativității generale mai concise. Cu toate acestea, convenția nu are nicio semnificație fizică; este o metodă de scriere utilă în formalismul matematic.

Definiție

În articolul din 1916 „ Fundamentul teoriei relativității generale ” ( Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie ), ^[1] după câteva paragrafe introductive, Einstein dedică punctul B din secțiunea 4 „ Mijloacelor matematice pentru formularea ecuațiilor covariante în general cale ". În aval de definiția covariantului și contravariantului cu patru vectori, el dedică o notă „ Observației privind scrierea simplificată a expresiilor ”. Prin urmare, el însuși a folosit termenul „ notație simplificată ”, pentru a fi aplicat tensorilor introduși anterior. Apropo, el scrie:

« O privire asupra ecuațiilor din acest paragraf arată că sumele se efectuează întotdeauna cu privire la indicii care apar de două ori sub semnul sumelor și numai cu privire la acești indici. Prin urmare, este posibil, fără a afecta claritatea, să suprimăm semnul $\sum$ ${\ displaystyle \ sum}$ $\ sum$ . În acest scop oferim următoarea regulă: „atunci când un index apare de două ori într-un termen al unei expresii, acesta trebuie adăugat în raport cu acesta, cu excepția cazului în care se indică în mod explicit opusul”. [...]. În urma utilizării introduse de Levi-Civita , indicăm caracterul covariant plasând indexul în partea de jos și cel contravariant plasând indexul în partea de sus . "

Prin urmare, convenția este următoarea:

Când un indice apare de două ori într-un termen al unei expresii, trebuie adăugat în raport cu acesta, cu excepția cazului în care se afirmă în mod explicit opusul.

Exemple

În general, convenția Einstein este utilizată în prezența tensoarelor . Exemplele date aici sunt toate tensori.

Produs scalar

Produsul scalar al a doi vectori $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ a spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este definit ca

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}.}

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}.}

Folosind convenția lui Einstein, simbolul însumării poate fi implicat. Expresia poate fi scrisă ca

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{i}y^{i}.

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = x_ {i} y ^ {i}.}

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = x_ {i} y ^ {i}.}

Într-adevăr, termenul $x_{i}y^{i}$ ${\ displaystyle x_ {i} y ^ {i}}$ $x_ {i} y ^ {i}$ conține de două ori indexul $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , odată ca covariant și odată ca contravariant, însumarea valorilor de $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ se poate intelege.

Produs Vectorial

Produsul vector al a doi vectori $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ Și $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ este definit ca

(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}u^{j}v^{k}\,\!

{\ displaystyle (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}) _ {i} = \ varepsilon _ {ijk} u ^ {j} v ^ {k} \, \!}

{\ displaystyle (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}) _ {i} = \ varepsilon _ {ijk} u ^ {j} v ^ {k} \, \!}

Expresia implică o sumă pe indici $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ Și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ întrucât ambii apar de două ori în poziții opuse în termenul din dreapta. Simbolul $\varepsilon _{ijk}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ $\ varepsilon_ {ijk}$ dependent de 3 indici este simbolul Levi-Civita . Cu toate acestea, expresia nu este adăugată la index $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , deoarece acest lucru apare o singură dată în fiecare termen. Expresia exprimă de fapt pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ L ' $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -a componentă a produsului vector între $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ Și $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ .

Indicând cu

\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3}}

{\ mathbf e} _ {1}, {\ mathbf e} _ {2}, {\ mathbf e} _ {3}

baza canonică a $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ , este posibil să scrieți produsul vector într-o singură ecuație de tip

\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}u^{j}v^{k}\mathbf {e} ^{i}

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ varepsilon _ {ijk} u ^ {j} v ^ {k} \ mathbf {e} ^ {i}}

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ varepsilon _ {ijk} u ^ {j} v ^ {k} \ mathbf {e} ^ {i}}

Aici suma se efectuează pe toți indicii $the, j, k$ ${\ displaystyle i, j, k}$ $i, j, k$ . Cu alte cuvinte,

\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}u_{j}v_{k}\mathbf {e} _{i}.

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ sum _ {k = 1} ^ { 3} \ varepsilon _ {ijk} u_ {j} v_ {k} \ mathbf {e} _ {i}.}

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ sum _ {k = 1} ^ { 3} \ varepsilon _ {ijk} u_ {j} v_ {k} \ mathbf {e} _ {i}.}

Indici muți și liberi

Într-o expresie scrisă în conformitate cu convenția lui Einstein, indicii care trebuie adăugați împreună sunt numiți muti, iar ceilalți sunt liberi . De exemplu, în expresie

v^{i}=T_{k}^{i}w^{k}-U_{h}^{i}z^{h}

{\ displaystyle v ^ {i} = T_ {k} ^ {i} w ^ {k} -U_ {h} ^ {i} z ^ {h}}

v ^ {i} = T_ {k} ^ {i} w ^ {k} -U_ {h} ^ {i} z ^ {h}

indicii $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ sunt muti și indicele $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ Este gratis. Din moment ce indicii $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ ele trebuie adăugate la unele valori prestabilite, joacă un rol complet intern în expresia care nu se „manifestă” în exterior: în special, este posibil să se schimbe litera pentru a indica indicii muti după bunul plac. De exemplu, cei doi indici muți pot fi schimbați fără a schimba semnificația expresiei:

v^{i}=T_{h}^{i}w^{h}-U_{k}^{i}z^{k}.

{\ displaystyle v ^ {i} = T_ {h} ^ {i} w ^ {h} -U_ {k} ^ {i} z ^ {k}.}

v ^ {i} = T_ {h} ^ {i} w ^ {h} -U_ {k} ^ {i} z ^ {k}.

Notare abstractă a indexului

Notarea lui Einstein are dezavantajul de a nu specifica dacă relațiile dintre mărimile care apar în ecuații (în special tensorii ) sunt componente valide de componentă sau dacă sunt ecuații tensoriale , independent de alegerea unei baze . Din acest motiv, Roger Penrose și colab. ^[2] au propus introducerea unei diferențieri a notației care trebuie utilizată în notația lui Einsten:

Ecuații care conțin indici indicați prin litere latine , cum ar fi
$T_{b_{1},\dots ,b_{s}}^{a_{1},\dots ,a_{r}}$ ${\ displaystyle T_ {b_ {1}, \ dots, b_ {s}} ^ {a_ {1}, \ dots, a_ {r}}}$ $T _ {{b_ {1}, \ dots, b_ {s}}} ^ {{a_ {1}, \ dots, a_ {r}}}$
relațiile dintre tensori trebuie luate în considerare și alegerea unei baze de coordonate nu este necesară
Ecuații care conțin indici indicați prin litere grecești , cum ar fi
$T_{\nu _{1},\dots ,\nu _{s}}^{\mu _{1},\dots ,\mu _{r}}$ ${\ displaystyle T _ {\ nu _ {1}, \ dots, \ nu _ {s}} ^ {\ mu _ {1}, \ dots, \ mu _ {r}}}$ $T _ {{\ nu _ {1}, \ dots, \ nu _ {s}}} ^ {{\ mu _ {1}, \ dots, \ mu _ {r}}}$
trebuie luate în considerare relațiile dintre componentele tensorilor și, prin urmare, este necesară alegerea unei baze de coordonate.

Notarea abstractă a indexului distinge aceste două situații; prin urmare

T_{de}^{abc},\ T_{b_{1},\dots ,b_{s}}^{a_{1},\dots ,a_{r}}

{\ displaystyle T_ {de} ^ {abc}, \ T_ {b_ {1}, \ dots, b_ {s}} ^ {a_ {1}, \ dots, a_ {r}}}

T _ {{de}} ^ {{abc}}, \ T _ {{b_ {1}, \ dots, b_ {s}}} ^ {{a_ {1}, \ dots, a_ {r}}}

indica tensori reali de tip (3, 2) și $(r,s)$ ${\ displaystyle (r, s)}$ $(r, s)$ , in timp ce

T_{\lambda }^{\mu }

{\ displaystyle T _ {\ lambda} ^ {\ mu}}

T _ {\ lambda} ^ {{\ mu}}

indică un număr, component al tensorului $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ dependent de numere $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

Această notație se confruntă parțial cu o utilizare anterioară în prezența unui spațiu - timp în 4 dimensiuni, ^[2] totuși încă răspândit, ^[3] conform căruia literele grecești sunt folosite atunci când vrem să indicăm că însumarea trebuie efectuată pe toate indicii (spațiali și temporali), literele latine sunt folosite atunci când însumarea este limitată doar la componentele spațiale. De exemplu,

x^{\mu }x_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}=-(x^{0})^{2}+||{\hat {x}}||^{2}

{\ displaystyle x ^ {\ mu} x _ {\ mu} = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} = - (x ^ {0}) ^ {2} + || {\ hat {x }} || ^ {2}}

x ^ {{\ mu}} x _ {{\ mu}} = \ sum _ {{\ mu = 0}} ^ {{3}} = - (x ^ {0}) ^ {2} + || {\ hat {x}} || ^ {2}

unde am folosit metrica

g_{\mu \nu }=\operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ operatorname {diag} (-1, + 1, + 1, + 1)}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ operatorname {diag} (-1, + 1, + 1, + 1)}

Și $x^{0}=ct$ ${\ displaystyle x ^ {0} = ct}$ $x ^ {0} = ct$ , in schimb

x^{i}x_{i}=\sum _{i=1}^{3}=||{\hat {x}}||^{2}.

{\ displaystyle x ^ {i} x_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} = || {\ hat {x}} || ^ {2}.}

x ^ {{i}} x _ {{i}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{3}} = || {\ hat {x}} || ^ {2}.

Partea spațială (vectorul tridimensional) al celor patru vectori $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este indicat prin ${\hat {x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat {x}}$ Și

||{\hat {x}}||^{2}

{\ displaystyle || {\ hat {x}} || ^ {2}}

|| {\ hat {x}} || ^ {2}

este norma pătrată a ${\hat {x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat {x}}$ .

Notă

^ ( DE ) Albert Einstein, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie ( PDF ) (arhivat din original la 4 februarie 2012) .
^ ^A ^b (EN) Robert M. Wald, General Relativity, prima ediție, University of Chicago Press, 1984, ISBN 0-226-87033-2 .
„Două lucrări Penrose (1968) și Penrose și Rindler (1984) sunt raportate în această carte cu privire la introducerea notației de index abstract.” .
^ Gian Maria Prosperi, Elements of teoria relativității speciale , Cusl, 2004, ISBN 88-8132-505-5 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[articolo-rel-tedesco-1] ( DE ) Albert Einstein, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie ( PDF ) (arhivat din original la 4 februarie 2012) .

[Wald-2] A ^b (EN) Robert M. Wald, General Relativity, prima ediție, University of Chicago Press, 1984, ISBN 0-226-87033-2 .
„Două lucrări Penrose (1968) și Penrose și Rindler (1984) sunt raportate în această carte cu privire la introducerea notației de index abstract.” .

[3] Gian Maria Prosperi, Elements of teoria relativității speciale , Cusl, 2004, ISBN 88-8132-505-5 .

[1]

[2]

[3]