Lagrangian de Proca

Proca Lagrangian descrie câmpul de particule cu masă diferită de zero și spin unitar ( bosoni vectoriali și bosoni vectoriali axiali ). Acesta poartă numele fizicianului român Alexandru Proca .

Definiție

În teoria câmpului , un câmp este asociat cu fiecare particulă elementară de masă definită și cu rotire definită și invers. Prin urmare, se dovedește că pentru fiecare boson , de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și spin 1 ( bosoni vectoriali sau bosoni vectoriali axiali ), corespunde unui câmp $\Omega _{\alpha }(x)$ ${\ displaystyle \ Omega _ {\ alpha} (x)}$ $\ Omega _ {\ alpha} (x)$ (sau similar $\Omega ^{\alpha }(x)=g^{\alpha \beta }\Omega _{\beta }(x)$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {\ alpha} (x) = g ^ {\ alpha \ beta} \ Omega _ {\ beta} (x)}$ $\ Omega ^ {\ alpha} (x) = g ^ {{\ alpha \ beta}} \ Omega _ {\ beta} (x)$ ), unde este $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este tensorul metric cu componente covariante $g_{\alpha \beta }$ ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}$ $g _ {{\ alpha \ beta}}$ și cu componente contravariante $g^{\alpha \beta }$ ${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta}}$ $g ^ {{\ alpha \ beta}}$ , dat de:

g_{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)

{\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta} = g ^ {\ alpha \ beta} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {array}} \ right)}

g _ {{\ alpha \ beta}} = g ^ {{\ alpha \ beta}} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {array}} \ right)

Ecuația de câmp pentru $\Omega ^{\alpha }(x)$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {\ alpha} (x)}$ $\ Omega ^ {\ alpha} (x)$ poate fi dedus din cel al câmpului electromagnetic cu substituția (în unități naturale ):

\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\rightarrow \partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2}

{\ displaystyle \ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ rightarrow \ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m ^ {2}}

\ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ rightarrow \ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m ^ {2}

sau:

(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m_{\omega }^{2})\Omega ^{\alpha }-\partial ^{\alpha }(\partial _{\beta }\Omega ^{\beta })=0

{\ displaystyle (\ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m _ {\ omega} ^ {2}) \ Omega ^ {\ alpha} - \ partial ^ {\ alpha} (\ partial _ { \ beta} \ Omega ^ {\ beta}) = 0}

(\ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m _ {\ omega} ^ {2}) \ Omega ^ {\ alpha} - \ partial ^ {\ alpha} (\ partial _ {\ beta} \ Omega ^ {\ beta}) = 0

care este ecuația Proca. Densitatea lagrangiană corespunzătoare este:

{\mathcal {L}}_{\Omega }=-{\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }^{\Omega \dagger }F^{\Omega ,\alpha \beta }+{\frac {1}{2}}m^{2}\Omega _{\alpha }^{\dagger }\Omega ^{\alpha }

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ Omega} = - {\ frac {1} {4}} F _ {\ alpha \ beta} ^ {\ Omega \ dagger} F ^ {\ Omega, \ alpha \ beta} + {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ Omega _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ Omega ^ {\ alpha}}

{\ mathcal L} _ {\ Omega} = - {\ frac {1} {4}} F _ {{\ alpha \ beta}} ^ {{\ Omega \ dagger}} F ^ {{\ Omega, \ alpha \ beta}} + {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ Omega _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ Omega ^ {\ alpha}

cu:

F_{\alpha \beta }^{\Omega }\equiv \partial _{\alpha }\Omega _{\beta }-\partial _{\beta }\Omega _{\alpha }

{\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} ^ {\ Omega} \ equiv \ partial _ {\ alpha} \ Omega _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} \ Omega _ {\ alpha}}

F _ {{\ alpha \ beta}} ^ {\ Omega} \ equiv \ partial _ {\ alpha} \ Omega _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} \ Omega _ {\ alpha}

Se remarcă faptul că, datorită prezenței termenului de masă:

m^{2}\Omega _{\alpha }^{\dagger }\Omega ^{\alpha }

{\ displaystyle m ^ {2} \ Omega _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ Omega ^ {\ alpha}}

m ^ {2} \ Omega _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ Omega ^ {\ alpha}

Lagrangianul nu este invariant sub transformările ecartamentului :

\Omega _{\alpha }(x)\rightarrow \Omega '_{\alpha }(x)=\Omega _{\alpha }(x)+\partial _{\alpha }\chi (x)

{\ displaystyle \ Omega _ {\ alpha} (x) \ rightarrow \ Omega '_ {\ alpha} (x) = \ Omega _ {\ alpha} (x) + \ partial _ {\ alpha} \ chi (x) }

\ Omega _ {\ alpha} (x) \ rightarrow \ Omega '_ {\ alpha} (x) = \ Omega _ {\ alpha} (x) + \ partial _ {\ alpha} \ chi (x)

Luând divergența ecuației Proca, obținem:

m^{2}\partial _{\beta }\Omega ^{\beta }=0

{\ displaystyle m ^ {2} \ partial _ {\ beta} \ Omega ^ {\ beta} = 0}

m ^ {2} \ partial _ {\ beta} \ Omega ^ {\ beta} = 0

Astfel, dacă $m\neq 0$ ${\ displaystyle m \ neq 0}$ $m \ neq 0$ , trebuie impus ca:

\partial _{\beta }\Omega ^{\beta }=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ beta} \ Omega ^ {\ beta} = 0}

\ partial _ {\ beta} \ Omega ^ {\ beta} = 0

iar ecuația Proca devine:

(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\Omega ^{\alpha }=0

{\ displaystyle (\ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m ^ {2}) \ Omega ^ {\ alpha} = 0}

(\ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m ^ {2}) \ Omega ^ {\ alpha} = 0

Acestea sunt patru ecuații decuplate și fiecare dintre ele este o ecuație Klein-Gordon , la care trebuie să satisfacă cele patru componente ale câmpului vectorial $\Omega ^{\alpha }$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {\ alpha}}$ $\ Omega ^ {\ alpha}$ , cu constrângerea suplimentară:

\partial _{\alpha }\Omega ^{\alpha }(x)=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} \ Omega ^ {\ alpha} (x) = 0}

\ partial _ {\ alpha} \ Omega ^ {\ alpha} (x) = 0

Astfel, pentru particulele vectoriale masive, această constrângere reduce numărul componentelor independente de la patru la trei.

Bibliografie

Hermann Weyl (1952), Simetrie , Princeton University Press, 1952. ISBN 0691023743
Pierre Curie (1894), Sur la symétrie dans les phénomenes physiques, symétrie d'un champ electric și d'un champ magnétique , Journal de Physique 3me series 3, 393-415.
Ernst Haeckel (1898-1904), Kunstformen der Natur, Leipzig, Verlag des Bibliographischen Institut , reeditare Prestel Verlag, München , 1998 . Se găsește și online pe acest site
István Hargittai și Magdolna Hargittai (1995), Simetria prin ochii unui chimist , 2ª

ediție, New York , Kluwer.

István Hargittai și Magdolna Hargittai (2000), În propria noastră imagine , New York, Kluwer.
Jenann, Ismael (2001), Eseuri despre simetrie , New York, Garland.
Alan Holden (1971), Shapes, Space and Symmetry, New York, Columbia University Press , reeditare New York, Dover, 1991.
Joe Rosen (1975), Symmetry Discovered , Londra, Cambridge University Press. Reprint New York, Dover, 2000.
Joe Rosen (1983), A Symmetry Primer for Scientists , New York, John Wiley & Sons .
Alexei Vasil'evich Shubnikov și Vladimir Alexandrovich Koptsik (1974), Simetrie în știință și artă , New York, Plenum Press.

Elemente conexe

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică