Algebra simplă
În matematică, în special în teoria inelelor , o algebră simplă se numește algebră care nu conține niciun ideal bilateral adecvat și astfel încât mulțimea { ab | a , b sunt elemente ale algebrei} nu coincide doar cu zero {0}.
A doua condiție necesară previne următoarea situație: considerăm o algebră
cu operațiile obișnuite de matrice. Aceasta este o algebră unidimensională în care produsul oricăror 2 elemente este zero. Această condiție asigură că algebra are un ideal stâng minim care nu este zero; acest lucru simplifică unele situații.
Un exemplu imediat de algebră simplă este o algebră de divizare (de exemplu, algebra reală a cuaternionilor ), în care fiecare element admite invers în raport cu operația de multiplicare.
Mai mult, se poate demonstra că algebra n × n matrici cu elemente aparținând unui inel de divizare este o algebră simplă. Aceasta caracterizează toate algebrele simple, cu excepția izomorfismului , deoarece fiecare algebră simplă este izomorfă pentru o algebră matricială pe un inel de divizare.
Acest rezultat a fost descoperit în 1907 de Joseph Wedderburn în teza sa de doctorat „On Hypercomplex numbers” care a apărut în „Proceedings of the London Mathematical Society”. Wedderburn a deosebit algebrele în algebre simple și semi-simple, demonstrând că algebrele simple sunt elementele de bază pentru generarea algebrelor semi-simple. Fiecare algebră dimensională semisimplă este produsul cartezian în sensul algebric al algebrelor simple.
Rezultatul lui Wedderburn a fost ulterior generalizat la un inel semisimplu în teorema Artin-Wedderburn .
Exemple
O algebră centrală simplă (numită și algebră Brauer) este o algebră dimensională finită simplă pe un câmp „F”, al cărui centru este „F”.
Algebre simple în algebră universală
În algebra universală , o algebră abstractă A este numită „simplă” dacă și numai dacă nu are o relație de congruență adecvată sau dacă, în mod echivalent, fiecare omomorfism cu domeniul A este injectiv sau constant.
Deoarece congruențele dintre inele corespund idealurilor lor, această noțiune este o generalizare directă a noțiunii valabilă în teoria inelelor. Un inel este simplu, adică nu are un ideal propriu, dacă și numai dacă este simplu în sensul algebrei universale (cu excepția eventuală a cazului special al unei algebre triviale cu un singur element).
O teoremă a lui Roberto Magari din 1969 afirmă că fiecare varietate (adică o clasă de algebre de același tip definite prin ecuații) are cel puțin o algebră simplă. [1]
Notă
- ^ (EN) WA Lampe, Taylor, W., Algebre simple în soiuri [ link rupt ] , în Algebra Universalis , vol. 14, n. 1, 1982, pp. 36-43, DOI : 10.1007 / BF02483905 . Dovada originală a apărut în R. Magari, O dovadă că fiecare varietate admite algebre simple [ conexiune întreruptă ] , în Annalli de la Universitatea din Ferrara, sect. VII , vol. 14, n. 1, 1969, pp. 1-4, DOI : 10.1007 / BF02896794 . Adus pe 3 iulie 2011 .
Bibliografie
- AA Albert , Structura algebrelor , publicații colocviale 24 , American Mathematical Society , 2003, ISBN 0-8218-1024-3 . P.37.
