Echicontinuitate

În matematică , echicontinuitatea unei familii de funcții continue este proprietatea fiecăreia dintre funcțiile sale de a admite același modul de continuitate . Conceptul de echicontinuitate, utilizat frecvent în analiza funcțională , se aplică în general familiilor de funcții numărabile și, prin urmare, secvențelor de funcții .

Având în vedere spațiul $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ de funcții continue pe un spațiu compact Hausdorff $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , teorema Ascoli-Arzelà afirmă că un subset $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ din $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ este compact dacă și numai dacă este închis, limitat punctual și echicontinuu. Echivalent, $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este echicontinuu dacă este relativ compact în $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ cu metrica dată de:

d(f,g)=\mathrm {max} _{x\in X}d(f(x),g(x))

{\ displaystyle d (f, g) = \ mathrm {max} _ {x \ in X} d (f (x), g (x))}

d (f, g) = {\ mathrm {max}} _ {{x \ in X}} d (f (x), g (x))

Ca corolar, o secvență în $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ este convergent uniform dacă și numai dacă este echicontinuu și converge punctual către o funcție (nu neapărat continuă). În special, limita unei secvențe echicontinue, care converge punctual, a funcțiilor continue este continuă $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ definit pe un spațiu metric sau compact local (în general, un spațiu topologic generat compact ). Dacă și $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ sunt holomorfe , chiar și limita este o funcție holomorfă.

Principiul îngustimii uniforme afirmă faptul că dat un spațiu baril $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și un spațiu local convex $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , fiecare familie de operatori liniari punctual continuu de la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este echicontinuu (și, de asemenea, uniform echicontinuu).

Definiție

Lasa-i sa fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ două spații metrice și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ o familie de funcții definită de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .

Familia $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este echicontinuu la punctul respectiv $x_{0}\in X$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în X}$ $x_0 \ în X$ dacă pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ există $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât $d(f(x_{0}),f(x))<\epsilon$ ${\ displaystyle d (f (x_ {0}), f (x)) <\ epsilon}$ $d (f (x_0), f (x)) <\ epsilon$ pentru toți $f\in F$ ${\ displaystyle f \ în F}$ $f \ în F$ și pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât $d(x_{0},x)<\delta$ ${\ displaystyle d (x_ {0}, x) <\ delta}$ $d (x_0, x) <\ delta$ . Familia $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este echicontinuu (în total $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ) dacă este echicontinuă în fiecare dintre punctele sale.

Familia $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este uniform echicontinuu dacă pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ există $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât $d(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon$ ${\ displaystyle d (f (x_ {1}), f (x_ {2})) <\ epsilon}$ $d (f (x_1), f (x_2)) <\ epsilon$ pentru toți $f\in F$ ${\ displaystyle f \ în F}$ $f \ în F$ iar pentru fiecare pereche de puncte $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât $d(x_{1},x_{2})<\delta$ ${\ displaystyle d (x_ {1}, x_ {2}) <\ delta}$ $d (x_1, x_2) <\ delta$ .

Noțiunea de echicontinuitate (uniformă) derivă din noțiunea de continuitate ( uniformă ): să spunem că toate funcțiile $f\in F$ ${\ displaystyle f \ în F}$ $f \ în F$ sunt mijloace continue care pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ , pentru fiecare $f\in F$ ${\ displaystyle f \ în F}$ $f \ în F$ și pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ există $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât $d(f(x_{0}),f(x))<\epsilon$ ${\ displaystyle d (f (x_ {0}), f (x)) <\ epsilon}$ $d (f (x_0), f (x)) <\ epsilon$ pentru toți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât $d(x_{0},x)<\delta$ ${\ displaystyle d (x_ {0}, x) <\ delta}$ $d (x_0, x) <\ delta$ . Adică:

În definiția continuității , $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ a depinde de $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ , $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .
În definiția continuității uniforme , $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ a depinde de $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ Și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .
În definiția echicontinuității , $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ a depinde de $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ Și $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .
În definiția echicontinuității uniforme , $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ depinde doar de $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ .

Mai general, când $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu topologic , un întreg $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ de funcții din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este echicontinuu la punctul respectiv $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ dacă pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ ideea $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ deține un cartier $U_{x}$ ${\ displaystyle U_ {x}}$ $U_x$ astfel încât:

d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon \qquad \forall y\in U_{x}\quad \forall f\in F

{\ displaystyle d_ {Y} (f (y), f (x)) <\ epsilon \ qquad \ forall y \ in U_ {x} \ quad \ forall f \ in F}

d_Y (f (y), f (x)) <\ epsilon \ qquad \ forall y \ in U_x \ quad \ forall f \ in F

Această definiție este adesea utilizată în contextul spațiilor vectoriale topologice .

Dacă și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este compact , un set este uniform echicontinuu dacă și numai dacă este echicontinuu în fiecare punct, din esențial același motiv pentru care continuitatea și continuitatea uniformă coincid pe spațiile compacte.

Din definițiile date rezultă că un set finit de funcții continue este echicontinuu și că închiderea unui set echicontinuu este echicontinuu. Mai mult, fiecare element al unui set de funcții uniform echicontinuu este uniform continuu și fiecare set finit de funcții uniform continue este uniform echicontinuu.

Convergență uniformă

Același subiect în detaliu: Secvența funcțiilor .

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu compact Hausdorff și definește o normă uniformă pe $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ , astfel încât să devină un spațiu Banach (deci un spațiu metric). Teorema Ascoli-Arzelà afirmă că un subset de $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ este compact dacă și numai dacă este închis, limitat punctual și echicontinuu. Este o teoremă analogă teoremei Heine-Borel , care afirmă că un subset de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este compact dacă și numai dacă este închis și limitat. Ca corolar, fiecare secvență echicontinuă delimitată uniform în $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ conține cel puțin o subsecvență care converge uniform către o funcție continuă activată $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Din teorema Ascoli-Arzelà rezultă, de asemenea, că o secvență în $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ converge uniform dacă și numai dacă este echicontinuu și converge punctual. Mai general, o succesiune în $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ converge uniform dacă este echicontinuu și converge punctual într-un subset dens $D\subset X$ ${\ displaystyle D \ subset X}$ $D \ subset X$ la o funcție (nu neapărat continuă) activată $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Într-adevăr, fie el $f_{j}$ ${\ displaystyle f_ {j}}$ $f_ {j}$ o secvență echicontinuă de funcții continue pe $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , și așa să fie $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ . Mulțumim echicontinuității, pentru fiecare $z\in D$ ${\ displaystyle z \ în D}$ $z \ în D$ există un cartier $U_{z}$ ${\ displaystyle U_ {z}}$ $U_ {z}$ din $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ astfel încât:

|f_{j}(x)-f_{j}(z)|<\epsilon /3\qquad \forall j\quad \forall x\in U_{z}

{\ displaystyle | f_ {j} (x) -f_ {j} (z) | <\ epsilon / 3 \ qquad \ forall j \ quad \ forall x \ in U_ {z}}

| f_ {j} (x) -f_ {j} (z) | <\ epsilon / 3 \ qquad \ forall j \ quad \ forall x \ in U_ {z}

Datorită densității și compactității, este posibil să se găsească un subset finit $D'\subset D$ ${\ displaystyle D '\ subset D}$ $D '\ subset D$ astfel încât $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este uniunea cartierelor $U_{z}$ ${\ displaystyle U_ {z}}$ $U_ {z}$ pentru $z\in D'$ ${\ displaystyle z \ in D '}$ $z \ în D '$ . De cand $f_{j}$ ${\ displaystyle f_ {j}}$ $f_ {j}$ converge punctual pe ${D.}^{'}$ ${\ displaystyle D '}$ $D '$ , există $N>0$ ${\ displaystyle N> 0}$ $N> 0$ astfel încât:

|f_{j}(z)-f_{k}(z)|<\epsilon /3\qquad \forall z\in D'\quad j,k>N

{\ displaystyle | f_ {j} (z) -f_ {k} (z) | <\ epsilon / 3 \ qquad \ forall z \ in D '\ quad j, k> N}

| f_ {j} (z) -f_ {k} (z) | <\ epsilon / 3 \ qquad \ forall z \ in D '\ quad j, k> N

Rezultă că:

\sup _{X}|f_{j}-f_{k}|<\epsilon \qquad j,k>N

{\ displaystyle \ sup _ {X} | f_ {j} -f_ {k} | <\ epsilon \ qquad j, k> N}

\ sup _ {X} | f_ {j} -f_ {k} | <\ epsilon \ qquad j, k> N

De fapt, dacă $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ asa de $x\in U_{z}$ ${\ displaystyle x \ în U_ {z}}$ $x \ în U_ {z}$ pentru unii $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ și obținem:

|f_{j}(x)-f_{k}(x)|\leq |f_{j}(x)-f_{j}(z)|+|f_{j}(z)-f_{k}(z)|+|f_{k}(z)-f_{k}(x)|<\epsilon

{\ displaystyle | f_ {j} (x) -f_ {k} (x) | \ leq | f_ {j} (x) -f_ {j} (z) | + | f_ {j} (z) -f_ {k} (z) | + | f_ {k} (z) -f_ {k} (x) | <\ epsilon}

| f_ {j} (x) -f_ {k} (x) | \ leq | f_ {j} (x) -f_ {j} (z) | + | f_ {j} (z) -f_ {k} (z) | + | f_ {k} (z) -f_ {k} (x) | <\ epsilon

Prin urmare, $f_{j}$ ${\ displaystyle f_ {j}}$ $f_ {j}$ este o secvență Cauchy în $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ și, prin urmare, converge datorită completitudinii.

Generalizări

Familii de operatori liniari

Lasa-i sa fie $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Spații Banach e $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ o familie de operatori lineari continui definita de $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Atunci $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este echicontinuu dacă și numai dacă:

\sup\{\|T\|:T\in \Gamma \}<\infty

{\ displaystyle \ sup \ {\ | T \ |: T \ in \ Gamma \} <\ infty}

\ sup \ {\ | T \ |: T \ in \ Gamma \} <\ infty

Adică, $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este uniform limitată în norma operativă . Datorită liniarității, în plus, $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este uniform echicontinuu dacă și numai dacă este echicontinuu în 0.

Principiul îngustimii uniforme afirmă că $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este echicontinuu dacă este limitat punctual, adică:

\sup\{\|T(x)\|:T\in \Gamma \}<\infty \qquad \forall x\in E

{\ displaystyle \ sup \ {\ | T (x) \ |: T \ in \ Gamma \} <\ infty \ qquad \ forall x \ in E}

\ sup \ {\ | T (x) \ |: T \ in \ Gamma \} <\ infty \ qquad \ forall x \ in E

Rezultatul poate fi generalizat în cazul în care $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este local convex și $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este un spațiu de butoaie . ^[1]

Teorema lui Alaoglu afirmă în continuare că dacă $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este un spațiu vector topologic, apoi fiecare subset ecicontinuu al $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este relativ compact în comparație cu topologia ultra-slabă . ^[2]

Spații topologice

Cel mai general scenariu în care echicontinuitatea poate fi definită este cel al spațiilor topologice , în timp ce echicontinuitatea uniformă, stabilită într-un spațiu uniform , necesită ca filtrul vecinătăților unui punct ( uniformitate ) să fie cumva comparabil cu filtrul vecinătăților altui punct.

Un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a funcțiilor continue între spațiile topologice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este punct de vedere topologic echicontinuu $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ Și $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ dacă pentru fiecare set deschis $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ conținând $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt cartiere $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ astfel încât pentru fiecare $f\in A$ ${\ displaystyle f \ în A}$ $f \ în A$ , dacă intersecția dintre $f[U]$ ${\ displaystyle f [U]}$ $f [U]$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ nu este gol, apare $f(U)\subseteq O$ ${\ displaystyle f (U) \ subseteq O}$ $f (U) \ subseteq O$ . Întregul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este topologic echicontinuu la punct $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ dacă este topologic echicontinuă în puncte $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ pentru fiecare $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Întregul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se spune că este echicontinuu dacă este topologic echicontinuu în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$

Un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a funcțiilor continue între spații uniforme $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este uniform echicontinuu dacă pentru fiecare element $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ de uniformitate pe $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , întregul:

\{\{(u,v)\in X\times X:(f(u),f(v))\in W\}\ \forall f\in A\}

{\ displaystyle \ {\ {(u, v) \ in X \ times X: (f (u), f (v)) \ in W \} \ \ forall f \ in A \}}

\ {\ {(u, v) \ in X \ times X: (f (u), f (v)) \ in W \} \ \ forall f \ in A \}

este un membru al uniformității pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Procese stochastice

Vezi Equicontinuitatea stochastică .

Notă

^ Schaefer, Teorema 4.2
^ Schaefer, Corolar 4.3

Bibliografie

( EN ) JA Dieudonné, Fundamente ale analizei moderne , Acad. Presă (1961)
( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Helmuth H. Schaefer, Spații vectoriale topologice , New York, The Macmillan Company, 1966.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) EM Semenov, Equicontinuity , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Schaefer, Teorema 4.2

[2] Schaefer, Corolar 4.3

[1]

[2]