Teorema funcției deschise (analiză funcțională)

În analiza funcțională , teorema funcției deschise sau teorema hărții deschise , cunoscută și sub numele de teorema Banach-Schauder , stabilește că un operator liniar continuu surjectiv între spațiile Banach este o funcție deschisă .

Afirmație

Este $T:X\to Y$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ un operator liniar surjectiv continuu între spațiile Banach $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Atunci $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este o funcție deschisă , adică dacă $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este un set deschis în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , asa de $T(U)$ ${\ displaystyle T (U)}$ ${\ displaystyle T (U)}$ este deschis în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .

Demonstrație

Dovada folosește teorema categoriei lui Baire și poate fi împărțită în trei părți.

Partea 1

Este necesar să se demonstreze că pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ și pentru fiecare $N\subseteq X$ ${\ displaystyle N \ subseteq X}$ ${\ displaystyle N \ subseteq X}$ , în jurul valorii de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $T(N)$ ${\ displaystyle T (N)}$ ${\ displaystyle T (N)}$ este un cartier al $T. X$ ${\ displaystyle Tx}$ ${\ displaystyle Tx}$ . Prin linearitate rezultă $T(x+A)=Tx+T(A)$ ${\ displaystyle T (x + A) = Tx + T (A)}$ ${\ displaystyle T (x + A) = Tx + T (A)}$ ( $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ , $A\subseteq X$ ${\ displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ displaystyle A \ subseteq X}$ ), deci este suficient să dovediți afirmația pentru $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ . Deoarece un cartier de zero conține în mod necesar o minge $B_{r}=B(0,r)$ ${\ displaystyle B_ {r} = B (0, r)}$ ${\ displaystyle B_ {r} = B (0, r)}$ , doar demonstrează asta pentru fiecare $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ este un $r^{\prime }>0$ ${\ displaystyle r ^ {\ prime}> 0}$ ${\ displaystyle r ^ {\ prime}> 0}$ astfel încât $B_{r^{\prime }}^{Y}\subseteq T(B_{r}^{X})$ ${\ displaystyle B_ {r ^ {\ prime}} ^ {Y} \ subseteq T (B_ {r} ^ {X})}$ ${\ displaystyle B_ {r ^ {\ prime}} ^ {Y} \ subseteq T (B_ {r} ^ {X})}$ . Observăm, de asemenea, că $B_{r}=rB_{1}$ ${\ displaystyle B_ {r} = rB_ {1}}$ ${\ displaystyle B_ {r} = rB_ {1}}$ și, de asemenea, prin linearitate, că $T(B_{r}^{X})=rT(B_{1}^{X})$ ${\ displaystyle T (B_ {r} ^ {X}) = rT (B_ {1} ^ {X})}$ ${\ displaystyle T (B_ {r} ^ {X}) = rT (B_ {1} ^ {X})}$ pentru fiecare $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ .

Pentru surjectivitatea $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ avem:

Y=\cup _{n=1}^{\infty }T(B_{n})=\cup _{n=1}^{\infty }{\overline {T(B_{n})}}

{\ displaystyle Y = \ cup _ {n = 1} ^ {\ infty} T (B_ {n}) = \ cup _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ overline {T (B_ {n}) }}}

{\ displaystyle Y = \ cup _ {n = 1} ^ {\ infty} T (B_ {n}) = \ cup _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ overline {T (B_ {n}) }}}

.

Prin teorema categoriei lui Baire există ${\overline {n}}$ ${\ displaystyle {\ overline {n}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {n}}}$ astfel încât: ${\overline {T(B_{\overline {n}})}}$ ${\ displaystyle {\ overline {T (B _ {\ overline {n}})}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {T (B _ {\ overline {n}})}}}$ are un interior ne-gol și, prin urmare, fiind:

{\overline {T(B_{\overline {n}})}}={\overline {n}}{\overline {T(B_{1})}}

{\ displaystyle {\ overline {T (B _ {\ overline {n}})}} = {\ overline {n}} {\ overline {T (B_ {1})}}}

{\ displaystyle {\ overline {T (B _ {\ overline {n}})}} = {\ overline {n}} {\ overline {T (B_ {1})}}}

deducem că ${\overline {T(B_{1})}}$ ${\ displaystyle {\ overline {T (B_ {1})}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {T (B_ {1})}}}$ are un interior ne-gol.

Partea 2

Este $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ o deschidere de $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ astfel încât:

W\subseteq {\overline {T(B_{1})}}

{\ displaystyle W \ subseteq {\ overline {T (B_ {1})}}}

{\ displaystyle W \ subseteq {\ overline {T (B_ {1})}}}

Evident ${\overline {T(B_{1})}}$ ${\ displaystyle {\ overline {T (B_ {1})}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {T (B_ {1})}}}$ conține zero, dar trebuie dovedit că există $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ astfel încât:

B_{\varepsilon }^{Y}\subseteq W

{\ displaystyle B _ {\ varepsilon} ^ {Y} \ subseteq W}

{\ displaystyle B _ {\ varepsilon} ^ {Y} \ subseteq W}

Lasa-i sa fie $x_{0}\in B_{1}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în B_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în B_ {1}}$ Și $y_{0}=Tx_{0}\in W$ ${\ displaystyle y_ {0} = Tx_ {0} \ în W}$ ${\ displaystyle y_ {0} = Tx_ {0} \ în W}$ . De la aplicare $x\mapsto x-x_{0}$ ${\ displaystyle x \ mapsto x-x_ {0}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto x-x_ {0}}$ este un homeomorfism, există un cartier $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de zero în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ astfel încât:

V\subseteq -y_{0}+{\overline {T(B_{1})}}

{\ displaystyle V \ subseteq -y_ {0} + {\ overline {T (B_ {1})}}}

{\ displaystyle V \ subseteq -y_ {0} + {\ overline {T (B_ {1})}}}

Avem:

-y_{0}+T(B_{1})=\left\{-y_{0}+Tw,w\in B_{1}\right\}=\left\{T(w-x_{0}),w\in B_{1}\right\}\subseteq T(B_{2})

{\ displaystyle -y_ {0} + T (B_ {1}) = \ left \ {- y_ {0} + Tw, w \ in B_ {1} \ right \} = \ left \ {T (w-x_ {0}), w \ în B_ {1} \ right \} \ subseteq T (B_ {2})}

{\ displaystyle -y_ {0} + T (B_ {1}) = \ left \ {- y_ {0} + Tw, w \ in B_ {1} \ right \} = \ left \ {T (w-x_ {0}), w \ în B_ {1} \ right \} \ subseteq T (B_ {2})}

atâta timp cât $x_{0},w\in B_{1}$ ${\ displaystyle x_ {0}, w \ în B_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {0}, w \ în B_ {1}}$ presupune că $w-x_{0}\in B_{2}$ ${\ displaystyle w-x_ {0} \ în B_ {2}}$ ${\ displaystyle w-x_ {0} \ în B_ {2}}$ . Prin urmare, am demonstrat că:

V\subseteq -y_{0}+{\overline {T(B_{1})}}\subseteq {\overline {T(B_{2})}}

{\ displaystyle V \ subseteq -y_ {0} + {\ overline {T (B_ {1})}} \ subseteq {\ overline {T (B_ {2})}}}

{\ displaystyle V \ subseteq -y_ {0} + {\ overline {T (B_ {1})}} \ subseteq {\ overline {T (B_ {2})}}}

prin urmare:

{\tilde {V}}\doteq {\frac {1}{2}}V\subseteq {\overline {T(B_{1})}}

{\ displaystyle {\ tilde {V}} \ doteq {\ frac {1} {2}} V \ subseteq {\ overline {T (B_ {1})}}}

{\ displaystyle {\ tilde {V}} \ doteq {\ frac {1} {2}} V \ subseteq {\ overline {T (B_ {1})}}}

Și ${\tilde {V}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {V}}}$ ${\ tilde V}$ este un cartier cu zero în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . De aceea există $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ astfel încât:

B_{\varepsilon }^{Y}\subseteq {\overline {T(B_{1})}}

{\ displaystyle B _ {\ varepsilon} ^ {Y} \ subseteq {\ overline {T (B_ {1})}}}

{\ displaystyle B _ {\ varepsilon} ^ {Y} \ subseteq {\ overline {T (B_ {1})}}}

Partea 3

Vrei să demonstrezi asta ${\overline {T(B_{1})}}\subseteq T(B_{2})$ ${\ displaystyle {\ overline {T (B_ {1})}} \ subseteq T (B_ {2})}$ ${\ displaystyle {\ overline {T (B_ {1})}} \ subseteq T (B_ {2})}$ , care încheie proba, deoarece rezultă că $B_{\frac {\varepsilon }{2}}^{Y}$ ${\ displaystyle B _ {\ frac {\ varepsilon} {2}} ^ {Y}}$ ${\ displaystyle B _ {\ frac {\ varepsilon} {2}} ^ {Y}}$ este cuprins în $T(B_{1})$ ${\ displaystyle T (B_ {1})}$ ${\ displaystyle T (B_ {1})}$ . Este $y\in {\overline {T(B_{1})}}$ ${\ displaystyle y \ in {\ overline {T (B_ {1})}}}$ ${\ displaystyle y \ in {\ overline {T (B_ {1})}}}$ . Alege $x_{1}\in B_{1}^{X}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ în B_ {1} ^ {X}}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ în B_ {1} ^ {X}}$ astfel încât $\|y-Tx_{1}\|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ ${\ displaystyle \ | y-Tx_ {1} \ | <{\ frac {\ varepsilon} {2}}}$ ${\ displaystyle \ | y-Tx_ {1} \ | <{\ frac {\ varepsilon} {2}}}$ , acesta este $y-Tx_{1}\in B_{\frac {\varepsilon }{2}}^{Y}$ ${\ displaystyle y-Tx_ {1} \ in B _ {\ frac {\ varepsilon} {2}} ^ {Y}}$ ${\ displaystyle y-Tx_ {1} \ in B _ {\ frac {\ varepsilon} {2}} ^ {Y}}$ . Pentru cele spuse anterior rezultă:

B_{\frac {\varepsilon }{2}}^{Y}\subseteq {\overline {T(B_{\frac {1}{2}}^{X})}}

{\ displaystyle B _ {\ frac {\ varepsilon} {2}} ^ {Y} \ subseteq {\ overline {T (B _ {\ frac {1} {2}} ^ {X})}}}

{\ displaystyle B _ {\ frac {\ varepsilon} {2}} ^ {Y} \ subseteq {\ overline {T (B _ {\ frac {1} {2}} ^ {X})}}}

astfel încât să putem alege $x_{2}\in B_{\frac {1}{2}}^{X}$ ${\ displaystyle x_ {2} \ în B _ {\ frac {1} {2}} ^ {X}}$ ${\ displaystyle x_ {2} \ în B _ {\ frac {1} {2}} ^ {X}}$ astfel încât:

\|y-Tx_{1}-Tx_{2}\|<{\frac {\varepsilon }{4}}

{\ displaystyle \ | y-Tx_ {1} -Tx_ {2} \ | <{\ frac {\ varepsilon} {4}}}

{\ displaystyle \ | y-Tx_ {1} -Tx_ {2} \ | <{\ frac {\ varepsilon} {4}}}

, acesta este

y-Tx_{1}-Tx_{2}\in B_{\frac {\varepsilon }{4}}^{Y}

{\ displaystyle y-Tx_ {1} -Tx_ {2} \ în B _ {\ frac {\ varepsilon} {4}} ^ {Y}}

{\ displaystyle y-Tx_ {1} -Tx_ {2} \ în B _ {\ frac {\ varepsilon} {4}} ^ {Y}}

Prin iterarea procedurii, se definește o succesiune $(x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_n)$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât:

x_{n}\in B_{2^{1-n}}^{X}

{\ displaystyle x_ {n} \ în B_ {2 ^ {1-n}} ^ {X}}

{\ displaystyle x_ {n} \ în B_ {2 ^ {1-n}} ^ {X}}

Și

y-\sum _{j=1}^{n}Tx_{j}\in B_{\varepsilon 2^{1-n}}^{Y}

{\ displaystyle y- \ sum _ {j = 1} ^ {n} Tx_ {j} \ in B _ {\ varepsilon 2 ^ {1-n}} ^ {Y}}

{\ displaystyle y- \ sum _ {j = 1} ^ {n} Tx_ {j} \ in B _ {\ varepsilon 2 ^ {1-n}} ^ {Y}}

Se pare:

\left\|\sum _{j=n}^{n+p}\right\|<2^{1-n}\ \ \forall n,p\in {\textbf {N}}

{\ displaystyle \ left \ | \ sum _ {j = n} ^ {n + p} \ right \ | <2 ^ {1-n} \ \ \ forall n, p \ in {\ textbf {N}}}

{\ displaystyle \ left \ | \ sum _ {j = n} ^ {n + p} \ right \ | <2 ^ {1-n} \ \ \ forall n, p \ in {\ textbf {N}}}

de aceea există:

x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}

{\ displaystyle x = \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} x_ {j}}

{\ displaystyle x = \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} x_ {j}}

și avem:

\|x\|\leq \sum _{j=1}^{\infty }\|x_{j}\|<\sum _{j=1}^{\infty }2^{1-j}=2

{\ displaystyle \ | x \ | \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ | x_ {j} \ | <\ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {1- j} = 2}

{\ displaystyle \ | x \ | \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ | x_ {j} \ | <\ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {1- j} = 2}

Prin urmare $x\in B_{2}$ ${\ displaystyle x \ în B_ {2}}$ ${\ displaystyle x \ în B_ {2}}$ și, pentru continuitatea lui $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , se pare $Tx=y$ ${\ displaystyle Tx = y}$ ${\ displaystyle Tx = y}$ . Din aceasta rezultă că

{\overline {T(B_{1})}}\ni y=Tx\in T(B_{2})

{\ displaystyle {\ overline {T (B_ {1})}} \ ni y = Tx \ în T (B_ {2})}

{\ displaystyle {\ overline {T (B_ {1})}} \ ni y = Tx \ în T (B_ {2})}

iar teorema este dovedită.

Corolari

Același subiect în detaliu: Teorema funcției inverse și Teorema graficului închis .

Teorema funcției deschise are două consecințe importante:

Teorema funcției inverse afirmă că dacă $T:X\to Y$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ este un operator liniar continu și bijectiv între spațiile Banach $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , apoi operatorul invers $T^{-1}:Y\to X$ ${\ displaystyle T ^ {- 1}: Y \ to X}$ ${\ displaystyle T ^ {- 1}: Y \ to X}$ este, de asemenea, continuu.
Teorema graficului închis afirmă că dacă $T:X\to Y$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ este un operator liniar între spațiile Banach $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , și dacă pentru fiecare succesiune $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât $x_{n}\to 0$ ${\ displaystyle x_ {n} \ to 0}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ to 0}$ Și $Tx_{n}\to y$ ${\ displaystyle Tx_ {n} \ to y}$ ${\ displaystyle Tx_ {n} \ to y}$ rezultă că $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ , asa de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este continuu.

Bibliografie

(EN) Krantz, SG „The Open Mapping Theorem”. §5.2.1 din Manualul variabilelor complexe . Boston, MA: Birkhäuser, pp. 73-74, 1999.
( EN ) Zeidler, E. Analiza funcțională aplicată: aplicații la fizica matematică . New York: Springer-Verlag, 1995.
( EN ) M. de Wilde, Teoreme închise ale graficelor și spații cu margini , Pitman (1978)
( EN ) HH Schaefer, Spații vectoriale topologice , Springer (1971)
( EN ) H. Jarchow, Spații local convexe , Teubner (1981)

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică