Teorema funcției deschise (analiză complexă)
În analiza complexă , teorema funcției deschise afirmă că, dacă U este un subset deschis și conectat al planului complex C și f : U → C este o funcție holomorfă neconstantă , atunci f este o funcție deschisă (adică trimite subseturi deschise de U în subseturi deschise de C ).
Afirmația evidențiază diferența profundă dintre conceptul de diferențialitate în câmpul complex (holomorfie) și cel de diferențialitate pentru funcții reale. Pe linia reală , de exemplu, funcția f ( x ) = x 2 poate fi diferențiată oriunde (infinit de multe ori), dar nu este o funcție deschisă, deoarece imaginea intervalului deschis (-1, 1) este intervalul pe jumătate deschisă [0, 1).
Teorema, de exemplu, implică faptul că o funcție holomorfă neconstantă nu poate transforma un disc deschis într-o porțiune a oricărei linii cufundate în planul complex. Dacă f : U → C este o funcție holomorfă (unde U este un set definit ca în afirmație), atunci dimensiunea reală a imaginii f ( U ) (înțeleasă luând în considerare structura spațiului R 2 , subiacent C ) poate să fie zero (dacă f este constantă) sau două (pentru neconstanta f ), dar nu poate avea niciodată dimensiunea 1.
Demonstrație
Să presupunem că f : U → C este o funcție holomorfă neconstantă, unde U este un set deschis și conectat al planului complex (un astfel de set este adesea numit domeniu sau regiune). Trebuie arătat că fiecare punct din imaginea f ( U ) este un punct interior al lui f ( U ), ceea ce echivalează cu a spune că fiecare punct al lui f ( U ) are un vecinătate (disc deschis) inclus în f ( U ) .
Se consideră un w 0 arbitrar în f ( U ). Atunci există (cel puțin) un punct z 0 în U astfel încât w 0 = f ( z 0 ). Deoarece U este deschis, este posibil să găsiți un d > 0 astfel încât discul închis B centrat în z 0 și cu raza d să fie conținut în U. Se consideră funcția g ( z ) = f ( z ) - w 0 . Rețineți că dispare la z 0 (adică z 0 este o rădăcină a funcției .
Este evident că g ( z ) este, de asemenea, holomorf și nu constant. Mai mult, rădăcinile sale sunt puncte izolate (datorită principiului identității funcțiilor holomorfe). În consecință, prin scăderea corespunzătoare a razei d a discului de imagine, se poate presupune că g ( z ) are o singură rădăcină în B (deși această singură rădăcină poate avea multiplicitate mai mare de 1).
Frontiera lui B este un cerc, deci un set compact . Despre asta, | g ( z ) | este o funcție continuă și pozitivă, astfel încât teorema lui Weierstrass garantează existența unui minim pozitiv m : cu alte cuvinte, m este minimul de | g ( z ) | pentru z aparținând limitei lui B și m > 0.
Notați cu D discul deschis w 0 cu raza m . Prin teorema lui Rouché , funcția g ( z ) = f ( z ) - w 0 va avea același număr de rădăcini (numărate cu multiplicitatea lor) în B ca h ( z ): = f ( z ) - w 1 pentru fiecare w 1 'în D. Acest lucru se datorează faptului că h ( z ) = g ( z ) + ( w 0 - w 1 ) și, pentru z la limita lui B , | g ( z ) | ≥ m > | w 0 - w 1 |. Astfel, pentru fiecare w 1 în D , există cel puțin un z 1 în B astfel încât f ( z 1 ) = w 1 . Aceasta înseamnă că discul D este conținut în f ( B ).
Imaginea mingii B , f ( B ) este un subset al imaginii lui U , f ( U ). Prin urmare, w 0 este un punct interior al lui f ( U ). Deoarece w 0 a fost un punct arbitrar al lui f ( U ), deducem că f ( U ) este deschis. Deoarece U este arbitrar, funcția f este deschisă.
Bibliografie
- Walter Rudin , Analiză reală și complexă , în = ( col. Program de matematică electronică de fizică , Traducere de Maria Laura Vesentini și Edoardo Vesentini , Boringhieri , 1974, ISBN 9788833953427 .
Aplicații
Elemente conexe
Alte proiecte
-
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe teorema funcției deschise
