Partea internă

În matematică și mai exact în topologie , partea internă a unui întreg $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ constă din toate punctele care sunt intuitiv «nu pe marginile $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ". Un punct al interiorului $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este un punct interior al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Noțiunea de parte internă este în multe feluri dualitatea noțiunii de închidere .

Definiții

De sine $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ atunci este un subset al unui spațiu euclidian $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un punct interior al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ dacă există o bilă deschisă centrată în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și conținut în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Această definiție se generalizează la orice subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a unui spațiu metric $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , de fapt dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu metric cu metric $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , asa de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un punct interior al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ dacă există $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ astfel încât $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ atât în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ori de câte ori distanța este $d(x,y)<r$ ${\ displaystyle d (x, y) <r}$ ${\ displaystyle d (x, y) <r}$ .

Partea interioară a unui subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a unui spațiu euclidian este ansamblul tuturor punctelor interioare ale lui S.

Interiorul $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este indicat cu ${\rm {int}}(S)$ ${\ displaystyle {\ rm {int}} (S)}$ ${\ displaystyle {\ rm {int}} (S)}$ , ${\rm {Int}}(S)$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} (S)}$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} (S)}$ , sau ${\overset {\circ }{S}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ circ} {S}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ circ} {S}}}$ . Cu alte cuvinte:

{\rm {Int}}(S)=\{x\in S\ |\ \exists U(x):U(x)\subset S\}

{\ displaystyle {\ rm {Int}} (S) = \ {x \ în S \ | \ \ există U (x): U (x) \ subset S \}}

{\ displaystyle {\ rm {Int}} (S) = \ {x \ în S \ | \ \ există U (x): U (x) \ subset S \}}

unde este indicat cu $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ ${\ displaystyle U (x)}$ un cartier al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Rețineți că aceste proprietăți sunt, de asemenea, satisfăcute dacă „interior”, „subset”, „uniune”, conținut în „,„ mai mare ”și„ deschis ”sunt înlocuite cu„ închidere ”,„ superset ”,„ intersecție ”,„ care conține ” , „mai mic” și „închis”. Pentru mai multe informații despre acest lucru, consultați operatorul de extensie de mai jos.

Caz general într-un spațiu topologic

Această definiție este generalizată la un spațiu topologic prin înlocuirea „mingii deschise” cu „în jurul ”. Rețineți că această definiție nu depinde de faptul dacă cartierele sunt deschise sau nu.

Este $(X,\tau )$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ spațiul topologic și ambele $S\subseteq X$ ${\ displaystyle S \ subseteq X}$ ${\ displaystyle S \ subseteq X}$ . Un punct $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ se spune intern la $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ de sine $\exists \ U\in \tau$ ${\ displaystyle \ există \ U \ in \ tau}$ ${\ displaystyle \ există \ U \ in \ tau}$ astfel încât $x\in U\subseteq S$ ${\ displaystyle x \ în U \ subseteq S}$ ${\ displaystyle x \ în U \ subseteq S}$ _, adică dacă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este un cartier al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Partea interioară a unui subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este ansamblul tuturor punctelor interioare ale $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și este indicat cu $Int(S)$ ${\ displaystyle Int (S)}$ ${\ displaystyle Int (S)}$ sau ${\overset {\circ }{S}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ circ} {S}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ circ} {S}}}$ .

Proprietate

Este $(X,\tau )$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ spațiul topologic și sunt $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ subseturi de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Atunci:

${\rm {Int}}(A)\subseteq A$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} (A) \ subseteq A}$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} (A) \ subseteq A}$ este un open in $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și este cea mai mare deschidere conținută în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ;
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este deschis în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ $\Leftrightarrow$ ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$ $\ Leftrightarrow$ $A={\rm {Int}}(A)$ ${\ displaystyle A = {\ rm {Int}} (A)}$ ${\ displaystyle A = {\ rm {Int}} (A)}$ ;
$A\subseteq B\Rightarrow {\rm {Int}}(A)\subseteq {\rm {Int}}(B)$ ${\ displaystyle A \ subseteq B \ Rightarrow {\ rm {Int}} (A) \ subseteq {\ rm {Int}} (B)}$ ${\ displaystyle A \ subseteq B \ Rightarrow {\ rm {Int}} (A) \ subseteq {\ rm {Int}} (B)}$ ;
${\rm {Int}}(A\cup B)\supseteq {\rm {Int}}(A)\cup {\rm {Int}}(B)$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} (A \ cup B) \ supseteq {\ rm {Int}} (A) \ cup {\ rm {Int}} (B)}$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} (A \ cup B) \ supseteq {\ rm {Int}} (A) \ cup {\ rm {Int}} (B)}$
${\rm {Int}}(A\cap B)={\rm {Int}}(A)\cap {\rm {Int}}(B)$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} (A \ cap B) = {\ rm {Int}} (A) \ cap {\ rm {Int}} (B)}$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} (A \ cap B) = {\ rm {Int}} (A) \ cap {\ rm {Int}} (B)}$ .

Observăm că, prin urmare, aceste proprietăți se dețin și în orice spațiu metric și spațiu euclidian .

Exemple

În fiecare spațiu, partea interioară a întregului gol este întregul gol.
În orice spațiu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , ${\overset {\circ }{X}}=X$ ${\ displaystyle {\ overset {\ circ} {X}} = X}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ circ} {X}} = X}$ .
De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este spațiul euclidian $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ numere reale , atunci ${\rm {Int}}([0,1])=(0,1)$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} ([0,1]) = (0,1)}$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} ([0,1]) = (0,1)}$ .
De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este spațiul euclidian $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , apoi partea interioară a întregului $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ de numere raționale este gol.
De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este planul complex $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} ^ {2}}$ , asa de $\operatorname {Int} ({z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1})=\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}.$ ${\ displaystyle \ operatorname {Int} ({z \ in \ mathbb {C}: | z | \ geq 1}) = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z |> 1 \}.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Int} ({z \ in \ mathbb {C}: | z | \ geq 1}) = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z |> 1 \}.}$
În orice spațiu euclidian , interiorul oricărei mulțimi finite este mulțimea goală.

Pe setul de numere reale este posibil să se plaseze o altă topologie diferită de cea standard.

De sine $X=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ , unde este $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ are topologia limită inferioară , atunci ${\rm {Int}}([0,1])=[0,1)$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} ([0,1]) = [0,1)}$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} ([0,1]) = [0,1)}$ .
Dacă vă gândiți mai departe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ topologia în care fiecare set este deschis, atunci ${\rm {Int}}([0,1])=[0,1]$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} ([0,1]) = [0,1]}$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} ([0,1]) = [0,1]}$ .
Dacă vă gândiți mai departe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ topologia în care singurele seturi deschise sunt setul gol și $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ la fel, atunci ${\rm {Int}}([0,1])=\emptyset$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} ([0,1]) = \ emptyset}$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} ([0,1]) = \ emptyset}$ .

Aceste exemple arată că interiorul unui set depinde de alegerea topologiei spațiului de mai jos. Ultimele două exemple sunt cazuri speciale din următoarele:

În orice spațiu discret , deoarece fiecare set este deschis, fiecare set este egal în interiorul său.
În orice spațiu banal $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , deoarece singurele seturi deschise sunt setul gol și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la fel, avem ${\rm {Int}}(X)=X$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} (X) = X}$ ${\ displaystyle {\ rm {Int}} (X) = X}$ și pentru fiecare subset corespunzător $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , ${\overset {\circ }{A}}=\emptyset$ ${\ displaystyle {\ overset {\ circ} {A}} = \ emptyset}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ circ} {A}} = \ emptyset}$ .

Operator piesă internă

Având un set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , operatorul piesei interne ${\overset {\circ }{S}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ circ} {S}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ circ} {S}}}$ este dualul operatorului de închidere ${\bar {S}}$ ${\ displaystyle {\ bar {S}}}$ ${\ baruri}}$ , in sensul că

{\displaystyle {\overset {\circ }{S}}}=X\backslash {\overline {(X\backslash S)}}

{\ displaystyle {\ displaystyle {\ overset {\ circ} {S}}} = X \ backslash {\ overline {(X \ backslash S)}}}

{\ displaystyle {\ displaystyle {\ overset {\ circ} {S}}} = X \ backslash {\ overline {(X \ backslash S)}}}

Si deasemenea

{\displaystyle {\bar {S}}=X\backslash {\overset {\circ }{(X\backslash S)}}}

{\ displaystyle {\ displaystyle {\ bar {S}} = X \ backslash {\ overset {\ circ} {(X \ backslash S)}}}}

{\ displaystyle {\ displaystyle {\ bar {S}} = X \ backslash {\ overset {\ circ} {(X \ backslash S)}}}}

unde este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ indică spațiul topologic care conține $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , Și $\backslash$ ${\ displaystyle \ backslash}$ ${\ displaystyle \ backslash}$ indică complementul unui set.

În consecință, teoria abstractă a operatorilor de închidere șiaxiomele de închidere ale lui Kuratowski pot fi ușor traduse în limba operatorilor de părți interioare prin înlocuirea seturilor cu complementele lor.

Bibliografie

Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .
Nicola Fusco, Paolo Marcellini și Carlo Sbordone, Mathematical Analysis Due , Liguori Editore, 1996, ISBN 978-88-207-2675-1 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică