Teorema Hellinger-Toeplitz

În matematică , în special în analiza funcțională , teorema Hellinger-Toeplitz , numită după Ernst Hellinger și Otto Toeplitz , stabilește că un operator simetric definit oriunde într-un spațiu Hilbert este un operator mărginit . Spus $\langle \cdot |\cdot \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle}$ produsul interior al spațiului Hilbert, prin definiție un operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este simetric dacă:

\langle Ax|y\rangle =\langle x|Ay\rangle

{\ displaystyle \ langle Ax | y \ rangle = \ langle x | Ay \ rangle}

{\ displaystyle \ langle Ax | y \ rangle = \ langle x | Ay \ rangle}

pentru toți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în domeniul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Operatorii simetrici definiți peste tot sunt neapărat autoadjuncti, deci putem formula și teorema spunând că orice operator autoadjunct definit peste tot este mărginit. Deoarece operatorii autoadjuncti sunt închisi , teorema Hellinger-Toeplitz poate fi văzută ca un corolar al teoremei graficului închis . Poate fi, de asemenea, derivat din principiul limitării uniforme .

Teorema are consecințe în fizică , în special în formalizarea mecanicii cuantice , întrucât observabilele sunt adesea operatori autoadjuncti nelimitați: conform teoremei Hellinger-Toeplitz nu pot fi definiți peste tot, ci doar într-un subset dens de spațiu. De exemplu oscilatorul armonic :

[Hf](x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}f(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}f(x)\qquad x\in \mathbb {R}

{\ displaystyle [Hf] (x) = - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} f ( x) + {\ frac {1} {2}} x ^ {2} f (x) \ qquad x \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle [Hf] (x) = - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} f ( x) + {\ frac {1} {2}} x ^ {2} f (x) \ qquad x \ in \ mathbb {R}}

este autoadjunct (cu valori proprii 1/2, 3/2, 5/2, ...) și nu poate fi definit pe întreg spațiul Hilbert $L^{2}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ , nefiind limitat.

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( EN ) Gerald Teschl,Metode matematice în mecanica cuantică; With Applications to Schrödinger Operators , Providence , American Mathematical Society , 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Joel Feldman - Principiul uniformității limitării și prietenii (PDF) pe math.ubc.ca.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică