Operator liniar închis

În matematică și, mai precis, în analiza funcțională , operatorii liniari închiși sunt o clasă importantă de operatori liniari pe un spațiu Banach . Acestea sunt mai generale decât operatorii liniari delimitați și, prin urmare, nu sunt neapărat continue , dar au aceleași proprietăți interesante pentru definirea spectrului și (în anumite ipoteze) un calcul funcțional pentru astfel de operatori. Mulți operatori liniari importanți care nu sunt delimitați sunt închise, cum ar fi operatorul derivat și clasa mare de operatori diferențiali , de exemplu în mecanica cuantică operatorul de moment și operatorul de poziție .

Definiție

Este $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ un spațiu Banach . Un operator liniar :

A\colon {\mathcal {D}}(A)\subset B\to B

{\ displaystyle A \ colon {\ mathcal {D}} (A) \ subset B \ to B}

{\ displaystyle A \ colon {\ mathcal {D}} (A) \ subset B \ to B}

se spune închis dacă pentru fiecare succesiune $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ în ${\mathcal {D}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A)}$ convergent la $x\in B$ ${\ displaystyle x \ în B}$ $x \ în B$ astfel încât:

\lim _{n\to \infty }Ax_{n}=y\in B\

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} Ax_ {n} = y \ în B \}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} Ax_ {n} = y \ în B \}

avem asta $x\in {\mathcal {D}}(A)$ ${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {D}} (A)}$ ${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {D}} (A)}$ este asta:

Ax=y\

{\ displaystyle Ax = y \}

{\ displaystyle Ax = y \}

Echivalent, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este închisă dacă graficul său este închis în $X\oplus Y$ ${\ displaystyle X \ oplus Y}$ ${\ displaystyle X \ oplus Y}$ . ^[1]

Având în vedere un operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , dacă închideți graficul în $X\oplus Y$ ${\ displaystyle X \ oplus Y}$ ${\ displaystyle X \ oplus Y}$ este graficul unui operator ${\overline {A}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}}}$ $\ overline {A}$ asa de ${\overline {A}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}}}$ $\ overline {A}$ este închiderea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se numește închis . $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este deci închisibil dacă este restricția unui operator închis ${\overline {A}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}}}$ $\ overline {A}$ la domeniu ${\mathcal {D}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A)}$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Proprietate

Prin teorema graficului închis , fiecare operator închis este definit pe tot spațiul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este limitat.

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este închis atunci $A-\lambda I$ ${\ displaystyle A- \ lambda I}$ ${\ displaystyle A- \ lambda I}$ este închis, unde $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este un scalar și $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ identitate.

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este închis, atunci nucleul său este un sub spațiu închis al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este închis și injectiv, apoi invers $A^{-1}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$ $A ^ {- 1}$ este închis.

Un operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ admite o închidere dacă și numai dacă pentru fiecare pereche de secvențe $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ Și $\{y_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {y_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {y_ {n} \}}$ în ${\mathcal {D}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A)}$ convergând către $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și așa încât este $\{Ax_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {Ax_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {Ax_ {n} \}}$ acea $\{Ay_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {Ay_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {Ay_ {n} \}}$ convergem, avem:

\lim _{n}Ax_{n}=\lim _{n}Ay_{n}\

{\ displaystyle \ lim _ {n} Ax_ {n} = \ lim _ {n} Ay_ {n} \}

{\ displaystyle \ lim _ {n} Ax_ {n} = \ lim _ {n} Ay_ {n} \}

Notă

^ Reed, Simon , pagina 250 .

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , pagina 250 .

[1]