Formula de interpolare Whittaker-Shannon

În teoria semnalului , formula de interpolare Whittaker - Shannon , numită și formula de interpolare Shannon , formula de interpolare Whittaker , sau pur și simplu formula de interpolare , este o metodă de reconstituire a unui semnal continuu, limitat de bandă dintr-o serie de probe echidistante.

Formula de interpolare Whittaker - Shannon datează de la lucrările lui E. Borel în 1898 și ET Whittaker în 1915 și a fost citată din lucrările lui JM Whittaker în 1935 și în formularea teoremei de eșantionare de Claude Shannon în 1949. ET Whittaker, care a publicat-o în 1915, a numit-o o serie cardinală .

Definiție

Teorema de eșantionare afirmă că o funcție $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ având o bandă de frecvență limitată de $f_{M}$ ${\ displaystyle f_ {M}}$ $f_M$ poate fi rescris într-un mod unic folosind mostrele sale $x[n]=x(nT)$ ${\ displaystyle x [n] = x (nT)}$ ${\ displaystyle x [n] = x (nT)}$ (cu $n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$ $n \ in \ Z$ ), luată la frecvență $f_{s}={\frac {1}{T}}$ ${\ displaystyle f_ {s} = {\ frac {1} {T}}}$ ${\ displaystyle f_ {s} = {\ frac {1} {T}}}$ , de sine $f_{s}>2f_{M}$ ${\ displaystyle f_ {s}> 2f_ {M}}$ $f_s> 2f_M$ . Reconstrucția se bazează pe formula de interpolare Whittaker-Shannon:

x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot {\rm {sinc}}\left({\frac {t-nT}{T}}\right)

{\ displaystyle x (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {t-nT} {T} } \ dreapta)}

{\ displaystyle x (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {t-nT} {T} } \ dreapta)}

unde este $T=1/f_{s}$ ${\ displaystyle T = 1 / f_ {s}}$ ${\ displaystyle T = 1 / f_ {s}}$ este intervalul de eșantionare, $f_{s}$ ${\ displaystyle f_ {s}}$ $f_s$ este frecvența de eșantionare și ${\rm {sinc}}(x)$ ${\ displaystyle {\ rm {sinc}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ rm {sinc}} (x)}$ este funcția sinc normalizată.

Condiția de valabilitate

Spectrul unui semnal cu bandă limitată în funcție de frecvență. Distanța dintre cele două limite ale benzii, adică lățimea de bandă R _N = 2f _M este, de asemenea, cunoscută sub numele de rată Nyquist (sau frecvență) pentru semnal.

Dacă funcția $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ are o lățime de bandă limitată și este eșantionat cu o frecvență de eșantionare care respectă teorema de eșantionare, deci formula de interpolare garantează reconstrucția exactă a semnalului. În mod formal, dacă există $f_{M}\geq 0$ ${\ displaystyle f_ {M} \ geq 0}$ ${\ displaystyle f_ {M} \ geq 0}$ astfel încât:

functia $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este bandă limitată de frecvență $f_{M}$ ${\ displaystyle f_ {M}}$ $f_M$ , sau transformata lui Fourier ${\mathcal {F}}\{x(t)\}={\hat {x}}(f)=0$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {x (t) \} = {\ hat {x}} (f) = 0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {x (t) \} = {\ hat {x}} (f) = 0}$ pentru $|f|>f_{M}$ ${\ displaystyle | f |> f_ {M}}$ ${\ displaystyle | f |> f_ {M}}$ .
rata de eșantionare $f_{s}$ ${\ displaystyle f_ {s}}$ $f_s$ este mai mare decât rata Nyquist, care este de două ori lățimea de bandă: $f_{s}>2f_{M}$ ${\ displaystyle f_ {s}> 2f_ {M}}$ $f_s> 2f_M$ , iar această frecvență de prag se numește frecvența Nyquist . Echivalent, $T<1/2f_{M}$ ${\ displaystyle T <1 / 2f_ {M}}$ ${\ displaystyle T <1 / 2f_ {M}}$ .

apoi folosind formula de interpolare va fi posibilă reconstituirea exactă a semnalului original $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ din probele sale. În caz contrar, este posibil să se producă fenomenul de aliasing, adică frecvențe egale sau mai mari decât $f_{s}/2$ ${\ displaystyle f_ {s} / 2}$ $f_s / 2$ pot fi reconstituite greșit.

Interpolare ca o sumă de convoluție

Formula de interpolare este derivată în lucrarea Nyquist-Shannon asupra teoremei de eșantionare, care subliniază că poate fi exprimată și ca convoluția unui tren de impuls infinit cu o funcție sinc :

x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta \left(t-nT\right)\right)*{\rm {sinc}}\left({\frac {t}{T}}\right)

{\ displaystyle x (t) = \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ delta \ left (t-nT \ right) \ right) * {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {t} {T}} \ right)}

{\ displaystyle x (t) = \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ delta \ left (t-nT \ right) \ right) * {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {t} {T}} \ right)}

unde este $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ denotă convoluție . Acest lucru este echivalent cu filtrarea trenului de impulsuri cu un filtru ideal pentru trecerea joasă .

Convergenţă

Formula de interpolare converge întotdeauna în mod absolut și local uniform atunci când:

\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n}}\right|<\infty

{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}, \, n \ neq 0} \ left | {\ frac {x [n]} {n}} \ right | <\ infty}

{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}, \, n \ neq 0} \ left | {\ frac {x [n]} {n}} \ right | <\ infty}

Prin inegalitatea Hölder această condiție este îndeplinită dacă secvența $\scriptstyle (x[n])_{n\in \mathbb {Z} }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (x [n]) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (x [n]) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ aparține oricăruia dintre spațiile Lp $\scriptstyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {C})}$ spații cu ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 1 <p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 <p <\ infty}$ , atunci când:

\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left|x[n]\right|^{p}<\infty

{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ left | x [n] \ right | ^ {p} <\ infty}

{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ left | x [n] \ right | ^ {p} <\ infty}

Această condiție este suficientă, dar nu este necesară. De exemplu, seria va converge în general dacă secvența eșantioanelor din orice proces staționar , caz în care secvența eșantionului nu este pătrată și nu se află în niciun spațiu. $\scriptstyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {C})}$ .

Procese staționare aleatorii

De sine $x[n]$ ${\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ este o secvență infinită de eșantioane ale unei funcții de eșantionare a unui proces staționar, atunci nu este membru al niciunui $\scriptstyle \ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p}}$ sau spațiul L ^p cu probabilitatea 1, adică suma infinită a probelor ridicate la puterea p nu are o valoare așteptată finită. Cu toate acestea, formula de interpolare converge cu probabilitatea 1.

Convergența poate fi ușor dovedită prin calcularea variațiilor sumelor curente și arătând că varianța poate fi făcută în mod arbitrar mică prin alegerea unui număr suficient de termeni. Dacă media procesului nu este zero, atunci trebuie luate în considerare perechile de termeni pentru a arăta, de asemenea, că valoarea așteptată a sumelor care rulează converge la zero.

Deoarece un proces aleatoriu nu are o transformată Fourier, condiția în care suma converge la funcția originală trebuie să fie, de asemenea, diferită. Un proces staționar aleatoriu are o funcție de autocorelație și, prin urmare, o densitate spectrală stabilită de teorema Wiener-Khinchin . O condiție adecvată pentru convergența unei funcții de eșantionare a procesului este aceea că densitatea spectrală a procesului este zero pentru toate frecvențele pare și peste jumătate din rata de eșantionare.

Bibliografie

( EN ) Robert J. Marks II, Introducere în eșantionarea și teoria interpolației Shannon , Springer-Verlag, New York, 1991

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Claude E. Shannon - Comunicare în prezența zgomotului ( PDF ), pe stanford.edu . Adus la 14 septembrie 2014 (arhivat din original la 8 februarie 2010) .

Portal electrotehnic

Portalul de fizică