Proces staționar

În matematică și statistică , un proces staționar (sau un proces puternic staționar ) este un proces stocastic, a cărui distribuție comună a probabilității nu se modifică dacă este tradusă în timp. În consecință, parametrii precum media și varianța , dacă sunt prezenți, nu se modifică în timp.

Deoarece staționaritatea este o ipoteză care stă la baza multor proceduri statistice utilizate în analiza seriilor de timp, datele non-staționare sunt adesea transformate pentru a deveni staționare. Cea mai frecventă cauză a încălcării staționarității sunt tendințele medii, care se pot datora fie prezenței unei rădăcini unitare, fie unei tendințe deterministe. În cel de-al doilea caz, procesul este numit un proces de tendință constantă , șocurile stocastice au doar efecte tranzitorii, iar procesul este inversat în medie (în medie, care se schimbă deterministic în timp). Dimpotrivă, în primul caz, șocurile stochastice au efecte permanente, iar procesul nu este invers . Un proces de tendință staționară nu este strict staționar, dar poate fi ușor fixat prin eliminarea tendinței de bază (doar o funcție a timpului). În mod similar, procesele cu una sau mai multe rădăcini unitare pot fi stabilizate prin diferențiere. Un tip important de proces non-staționar care nu include un comportament de tendință similar este procesul ciclostaționar .

Un „proces staționar” nu este același lucru cu un „proces cu o distribuție staționară ”. Într-adevăr, există alte posibilități de confuzie cu utilizarea cuvântului „staționar” în contextul proceselor stochastice; de exemplu, un lanț Markov omogen în timp se spune uneori că are „probabilități de tranziție staționare”. Mai mult, toate procesele staționare Markov aleatorii sunt omogene în timp.

Definiție

În mod formal, fie el $\left\{X_{t}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ un proces stochastic e $F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{k}+\tau })$ ${\ displaystyle F_ {X} (x_ {t_ {1} + \ tau}, \ ldots, x_ {t_ {k} + \ tau})}$ ${\ displaystyle F_ {X} (x_ {t_ {1} + \ tau}, \ ldots, x_ {t_ {k} + \ tau})}$ reprezintă funcția cumulativă a distribuției comune a $\left\{X_{t}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ în momente $t_{1}+\tau ,\ldots ,t_{k}+\tau$ ${\ displaystyle t_ {1} + \ tau, \ ldots, t_ {k} + \ tau}$ ${\ displaystyle t_ {1} + \ tau, \ ldots, t_ {k} + \ tau}$ . Deci, spune asta $\left\{X_{t}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ este strict (sau puternic) staționar dacă, pentru fiecare ${k}$ ${\ displaystyle {k}}$ ${k}$ , pentru fiecare ${\tau }$ ${\ displaystyle {\ tau}}$ ${\ tau}$ , și pentru fiecare $t_{1},\ldots ,t_{k}$ ${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {k}}$ ${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {k}}$ ,

F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{k}+\tau })=F_{X}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{k}}).

{\ displaystyle F_ {X} (x_ {t_ {1} + \ tau}, \ ldots, x_ {t_ {k} + \ tau}) = F_ {X} (x_ {t_ {1}}, \ ldots, x_ {t_ {k}}).}

{\ displaystyle F_ {X} (x_ {t_ {1} + \ tau}, \ ldots, x_ {t_ {k} + \ tau}) = F_ {X} (x_ {t_ {1}}, \ ldots, x_ {t_ {k}}).}

Atâta timp cât $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ nu afectează $F_{X}(\cdot )$ ${\ displaystyle F_ {X} (\ cdot)}$ ${\ displaystyle F_ {X} (\ cdot)}$ , $F_{X}$ ${\ displaystyle F_ {X}}$ ${\ displaystyle F_ {X}}$ nu este o funcție a timpului.

Exemple

De exemplu, zgomotul alb este staționar. Sunetul unui clavecin zgomotos, dacă este lovit o singură dată, nu este staționar, deoarece puterea acustică a loviturii (și, prin urmare, varianța acesteia) scade cu timpul. Cu toate acestea, ar fi posibil să se inventeze un proces stocastic care descrie un caz în care clavecinul este lovit, astfel încât răspunsul global să formeze un proces staționar. De exemplu, dacă clavecinul este lovit în momente din timp corespunzătoare unui proces Poisson omogen, răspunsul general ar fi staționar.

Un exemplu de proces staționar discret în timp în care spațiul eșantionului este, de asemenea, discret (astfel încât variabila aleatoare poate presupune una dintre N valori posibile) este o schemă Bernoulli . Alte exemple de procese staționare în timp discret cu spațiu continuu de probă includ unele procese autoregresive și medii mobile care sunt ambele subseturi ale modelului mediu autoregresiv mobil . Modelele cu o componentă autoregresivă nontrivială pot fi fie staționare, fie non-staționare, în funcție de valorile parametrilor, iar cazurile speciale non-staționare importante sunt cele în care rădăcinile unitare există în model.

Fie Y o variabilă aleatorie scalară și definiți o serie de timp { X _t }, da

X_{t}=Y\qquad {\text{ per ogni }}t.

{\ displaystyle X_ {t} = Y \ qquad {\ text {pentru fiecare}} t.}

{\ displaystyle X_ {t} = Y \ qquad {\ text {pentru fiecare}} t.}

Atunci { X _t } este o serie staționară, pentru care realizările sunt constituite dintr-o serie de valori constante, cu o valoare constantă diferită pentru fiecare realizare. O lege a numerelor mari nu se aplică în acest caz, deoarece valoarea limitativă a unei medii dintr-o singură realizare dă valoarea aleatorie determinată de Y , în loc de valoarea așteptată a lui Y.

Ca un alt exemplu de proces staționar pentru care fiecare realizare are o structură aparent fără zgomot, să presupunem că Y are o distribuție uniformă pe (0.2π] și definește seria temporală { X _t } ca

X_{t}=\cos(t+Y)\quad {\text{ per }}t\in \mathbb {R} .

{\ displaystyle X_ {t} = \ cos (t + Y) \ quad {\ text {per}} t \ in \ mathbb {R}.}

{\ displaystyle X_ {t} = \ cos (t + Y) \ quad {\ text {per}} t \ in \ mathbb {R}.}

Atunci { X _t } este puternic staționar.

Forme mai slabe de staționaritate

Staționaritate slabă sau în sens larg

O formă mai slabă de staționaritate utilizată în mod obișnuit în teoria semnalului este cunoscută sub numele de staționaritate în sens slab , staționaritate în sens larg , staționaritate a covarianței sau staționaritate de ordinul doi . Procesele aleatorii staționare în sens larg necesită doar ca primul moment și autocovarianța să nu varieze în raport cu timpul. Orice proces puternic staționar care are o medie și o covarianță este, de asemenea, un proces staționar în sens larg.

Astfel, un proces aleatoriu în timp continuu x ( t ) care este staționar în sens larg are următoarele restricții asupra funcției sale medii

\mathbb {E} [x(t)]=m_{x}(t)=m_{x}(t+\tau ),\,\,\forall \tau \in \mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [x (t)] = m_ {x} (t) = m_ {x} (t ​​+ \ tau), \, \, \ forall \ tau \ in \ mathbb {R }}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [x (t)] = m_ {x} (t) = m_ {x} (t ​​+ \ tau), \, \, \ forall \ tau \ in \ mathbb {R }}

și asupra funcției sale de autocovarianță

\mathbb {E} [(x(t_{1})-m_{x}(t_{1}))(x(t_{2})-m_{x}(t_{2}))]=C_{x}(t_{1},t_{2})=C_{x}(t_{1}+(-t_{2}),t_{2}+(-t_{2}))=C_{x}(t_{1}-t_{2},0).

{\ displaystyle \ mathbb {E} [(x (t_ {1}) - m_ {x} (t_ {1})) (x (t_ {2}) - m_ {x} (t_ {2}))] = C_ {x} (t_ {1}, t_ {2}) = C_ {x} (t_ {1} + (- t_ {2}), t_ {2} + (- t_ {2})) = C_ {x} (t_ {1} -t_ {2}, 0).}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [(x (t_ {1}) - m_ {x} (t_ {1})) (x (t_ {2}) - m_ {x} (t_ {2}))] = C_ {x} (t_ {1}, t_ {2}) = C_ {x} (t_ {1} + (- t_ {2}), t_ {2} + (- t_ {2})) = C_ {x} (t_ {1} -t_ {2}, 0).}

Prima proprietate implică faptul că funcția medie m _x ( t ) trebuie să fie constantă. A doua proprietate implică faptul că funcția de covarianță depinde doar de diferența dintre $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ și trebuie să fie indexat cu o singură variabilă mai degrabă decât cu două variabile. Deci, în loc să scrie

\,\!C_{x}(t_{1}-t_{2},0)\,

{\ displaystyle \, \! C_ {x} (t_ {1} -t_ {2}, 0) \,}

{\ displaystyle \, \! C_ {x} (t_ {1} -t_ {2}, 0) \,}

notația este adesea prescurtată și scrisă astfel:

C_{x}(\tau )\,\!{\mbox{ dove }}\tau =t_{1}-t_{2}.

{\ displaystyle C_ {x} (\ tau) \, \! {\ mbox {unde}} \ tau = t_ {1} -t_ {2}.}

{\ displaystyle C_ {x} (\ tau) \, \! {\ mbox {unde}} \ tau = t_ {1} -t_ {2}.}

Acest lucru implică, de asemenea, că autocorelația depinde doar de $\tau =t_{1}-t_{2}$ ${\ displaystyle \ tau = t_ {1} -t_ {2}}$ ${\ displaystyle \ tau = t_ {1} -t_ {2}}$ , acesta este

\,\!R_{x}(t_{1},t_{2})=R_{x}(t_{1}-t_{2}).

{\ displaystyle \, \! R_ {x} (t_ {1}, t_ {2}) = R_ {x} (t_ {1} -t_ {2}).}

{\ displaystyle \, \! R_ {x} (t_ {1}, t_ {2}) = R_ {x} (t_ {1} -t_ {2}).}

Principalul avantaj al staționarității în sens larg este că plasează seriile de timp în contextul spațiilor Hilbert . Fie H spațiul Hilbert generat de { x ( t )} (adică închiderea setului tuturor combinațiilor liniare ale acestor variabile aleatoare în spațiul Hilbert al tuturor variabilelor aleatoare integrabile pătrate pe un spațiu de probabilitate dat). Deoarece funcția de autocovarianță este pozitivă definită, din teorema lui Bochner rezultă că există o măsură pozitivă μ pe linia reală astfel încât H este izomorfă pentru ^subespaiul Hilbert al lui L ² ( μ ) generat de { e ^{−2πiξ⋅t} }. Aceasta dă apoi următoarea descompunere Fourier pentru un proces stocastic în timp continuu: există un proces stocastic ω _ξ cu creșteri ortogonale astfel încât, pentru fiecare t

x(t)=\int e^{-2\pi i\lambda \cdot t}d\omega _{\lambda },

{\ displaystyle x (t) = \ int e ^ {- 2 \ pi i \ lambda \ cdot t} d \ omega _ {\ lambda},}

{\ displaystyle x (t) = \ int e ^ {- 2 \ pi i \ lambda \ cdot t} d \ omega _ {\ lambda},}

unde integrala din partea dreaptă este interpretată într-un sens adecvat (Riemann). Același rezultat este valabil și pentru un proces staționar în timp discret, cu măsurarea spectrală în acest caz definită pe cercul unitar.

Când se procesează semnale aleatorii staționare în sens larg cu filtre liniare invariante în timp (filtre LTI ), este util să ne gândim la funcția de corelație ca la un operator liniar . Deoarece este un operator de circulație (depinde doar de diferența dintre cele două argumente), funcțiile sale proprii sunt exponențiale complexe Fourier . Mai mult, deoarece funcțiile proprii ale operatorilor LTI sunt, de asemenea, exponențiale complexe, o prelucrare LTI a semnalelor aleatorii staționare în sens larg este ușor negociabilă - toate calculele pot fi făcute în domeniul frecvenței . Astfel, presupunerea staționarității în sens larg este utilizată pe scară largă în algoritmii teoriei semnalului.

Altă terminologie

Terminologia utilizată pentru tipuri de staționaritate, altele decât staționaritatea puternică, poate fi destul de conflictuală. Aici sunt cateva exemple.

Priestley vorbește despre staționaritate până la ordinea m dacă condiții similare cu cele date aici pentru staționaritate în sens larg se aplică momentelor până la ordinea m . ^[1] ^[2] În acest fel staționaritatea în sens larg ar fi echivalentă cu „staționaritatea până la ordinul 2”, care este diferită de definiția staționarității de ordinul doi dată aici.

Honarkhah și Caers folosesc, de asemenea, ipoteza staționarității în contextul geostatisticii cu mai multe puncte, unde statisticile de deasupra punctului n sunt presupuse a fi staționare în domeniul spațial. ^[3]

Tahmasebi și Sahimi au prezentat o metodologie adaptivă, bazată pe rezultatele lui Shannon, care poate fi utilizată pentru modelarea oricărui sistem non-staționar. ^[4]

Diferenţiere

O modalitate de a avea o serie temporală staționară este de a calcula diferențele dintre observațiile consecutive. Acest lucru este cunoscut sub numele de diferențiere.

Transformările precum logaritmii pot ajuta la stabilizarea varianței unei serii temporale. Diferențierea poate ajuta la stabilizarea mediei unei serii temporale prin eliminarea modificărilor la nivelul unei serii cronologice, eliminând astfel tendințele și sezonalitatea.

O modalitate de a identifica seriile de timp nestacionare este reprezentarea grafică a funcției de autocorelare (ACF). Pentru o serie de timp staționară, funcția de autocorelație va tinde să se reducă destul de repede la zero, în timp ce funcția de autocorelație a datelor non-staționare scade încet. ^[5]

Notă

^ MB Priestley, Spectral Analysis and Time Series , Academic Press, 1981, ISBN 0-12-564922-3 .
^ MB Priestley,Non-linear și Non-stationary Time Series Analysis , Academic Press, 1988, ISBN 0-12-564911-8 .
^ M. Honarkhah și J. Caers, Stochastic Simulation of Patterns Using Distance-Based Pattern Modeling , în Mathematical Geosciences , vol. 42, n. 5, 2010, pp. 487-517, DOI : 10.1007 / s11004-010-9276-7 .
^ P. Tahmasebi și M. Sahimi, Reconstrucția materialelor și mediilor nestationare dezordonate: Transformarea bazinului hidrografic și funcția de corelație încrucișată ( PDF ), în Physical Review E , vol. 91, nr. 3, 2015, DOI : 10.1103 / PhysRevE.91.032401 .
^ 8.1 Staționaritate și diferențiere | OTexts , la www.otexts.org . Adus la 18 mai 2016 .

Elemente conexe

Lecturi suplimentare

Walter Enders, Applied Econometric Time Series , Third, New York, Wiley, 2010, pp. 53-57, ISBN 978-0-470-50539-7 .
I. Jestrovic, JL Coyle și E Sejdic, Efectele vâscozității fluidelor crescute asupra caracteristicilor staționare ale semnalului EEG la adulții sănătoși , în Brain Research , vol. 1589, 2015, pp. 45-53, DOI : 10.1016 / j.brainres.2014.09.035 .
Hyndman, Athanasopoulos (2013). Prognoza: Principii și practică. Textele. https://www.otexts.org/fpp/8/1

linkuri externe

( EN ) Proces staționar , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Descompunerea spectrală a unei funcții aleatorii (Springer)

Controlul autorității	Tezaur BNCF 26871

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] MB Priestley, Spectral Analysis and Time Series , Academic Press, 1981, ISBN 0-12-564922-3 .

[2] MB Priestley,Non-linear și Non-stationary Time Series Analysis , Academic Press, 1988, ISBN 0-12-564911-8 .

[3] M. Honarkhah și J. Caers, Stochastic Simulation of Patterns Using Distance-Based Pattern Modeling , în Mathematical Geosciences , vol. 42, n. 5, 2010, pp. 487-517, DOI : 10.1007 / s11004-010-9276-7 .

[4] P. Tahmasebi și M. Sahimi, Reconstrucția materialelor și mediilor nestationare dezordonate: Transformarea bazinului hidrografic și funcția de corelație încrucișată ( PDF ), în Physical Review E , vol. 91, nr. 3, 2015, DOI : 10.1103 / PhysRevE.91.032401 .

[5] 8.1 Staționaritate și diferențiere | OTexts , la www.otexts.org . Adus la 18 mai 2016 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]