Autocovarianța

În teoria probabilității și statisticile , dat un proces stocastic $X=(X_{t})$ ${\ displaystyle X = (X_ {t})}$ ${\ displaystyle X = (X_ {t})}$ , autocovarianța este o funcție care dă covarianța procesului cu sine în perechi de puncte de timp. Cu notația obișnuită E par operatorul de așteptare , dacă procesul are funcția medie $\mu _{t}=E[X_{t}]$ ${\ displaystyle \ mu _ {t} = E [X_ {t}]}$ ${\ displaystyle \ mu _ {t} = E [X_ {t}]}$ , atunci autocovarianța este dată de

C_{XX}(t,s)=cov(X_{t},X_{s})=E[(X_{t}-\mu _{t})(X_{s}-\mu _{s})]=E[X_{t}X_{s}]-\mu _{t}\mu _{s}.\,

{\ displaystyle C_ {XX} (t, s) = cov (X_ {t}, X_ {s}) = E [(X_ {t} - \ mu _ {t}) (X_ {s} - \ mu _ {s})] = E [X_ {t} X_ {s}] - \ mu _ {t} \ mu _ {s}. \,}

{\ displaystyle C_ {XX} (t, s) = cov (X_ {t}, X_ {s}) = E [(X_ {t} - \ mu _ {t}) (X_ {s} - \ mu _ {s})] = E [X_ {t} X_ {s}] - \ mu _ {t} \ mu _ {s}. \,}

Autocovarianța este legată de cea mai frecvent utilizată autocorelare a procesului în cauză.

În cazul unui vector aleatoriu multivariat $X=(X_{1},X_{2},...,X_{n})$ ${\ displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n})}$ ${\ displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n})}$ , autocovarianța devine o matrice pătrată n pentru n , $C_{XX}$ ${\ displaystyle C_ {XX}}$ ${\ displaystyle C_ {XX}}$ , cu elementul $the, j$ ${\ displaystyle i, j}$ $i, j$ dat de $C_{X_{i}X_{j}}(t,s)=cov(X_{i,t},X_{j,s})$ ${\ displaystyle C_ {X_ {i} X_ {j}} (t, s) = cov (X_ {i, t}, X_ {j, s})}$ ${\ displaystyle C_ {X_ {i} X_ {j}} (t, s) = cov (X_ {i, t}, X_ {j, s})}$ și denumită în mod obișnuit matricea de autocovarianță asociată vectorilor $X_{t}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ $X_t$ Și $X_{s}$ ${\ displaystyle X_ {s}}$ $X_s$ .

Staționaritate slabă

Dacă X ( t ) este un proces slab staționar , atunci următoarele egalități sunt adevărate:

\mu _{t}=\mu _{s}=\mu \,

{\ displaystyle \ mu _ {t} = \ mu _ {s} = \ mu \,}

{\ displaystyle \ mu _ {t} = \ mu _ {s} = \ mu \,}

pentru fiecare t , s

Și

C_{XX}(t,s)=C_{XX}(s-t)=C_{XX}(\tau )\,

{\ displaystyle C_ {XX} (t, s) = C_ {XX} (st) = C_ {XX} (\ tau) \,}

{\ displaystyle C_ {XX} (t, s) = C_ {XX} (s-t) = C_ {XX} (\ tau) \,}

unde este $\tau =|s-t|$ ${\ displaystyle \ tau = | st |}$ ${\ displaystyle \ tau = | s-t |}$ este timpul de întârziere sau timpul cu care semnalul a fost tradus.

Normalizare

Când se normalizează autocovarianța C a unui proces slab staționar cu varianța sa, $C_{XX}(0)=\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle C_ {XX} (0) = \ sigma ^ {2}}$ ${\ displaystyle C_ {XX} (0) = \ sigma ^ {2}}$ , se obține coeficientul de autocorelație $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ : ^[1]

\rho _{XX}(\tau )={\frac {C_{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}

{\ displaystyle \ rho _ {XX} (\ tau) = {\ frac {C_ {XX} (\ tau)} {\ sigma ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ rho _ {XX} (\ tau) = {\ frac {C_ {XX} (\ tau)} {\ sigma ^ {2}}}}

cu $-1\leq \rho _{XX}(\tau )\leq 1$ ${\ displaystyle -1 \ leq \ rho _ {XX} (\ tau) \ leq 1}$ ${\ displaystyle -1 \ leq \ rho _ {XX} (\ tau) \ leq 1}$ .

Proprietate

Autocovarianța unui proces filtrat liniar $Y_{t}$ ${\ displaystyle Y_ {t}}$ $YT}$

Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,

{\ displaystyle Y_ {t} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} X_ {t + k} \,}

{\ displaystyle Y_ {t} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} X_ {t + k} \,}

Și

C_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}^{*}C_{XX}(\tau +k-l).\,

{\ displaystyle C_ {YY} (\ tau) = \ sum _ {k, l = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} a_ {l} ^ {*} C_ {XX} (\ tau + kl ). \,}

{\ displaystyle C_ {YY} (\ tau) = \ sum _ {k, l = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} a_ {l} ^ {*} C_ {XX} (\ tau + kl ). \,}

Notă

^ David T. Westwick, Identificarea sistemelor fiziologice neliniare , IEEE Press, 2003, pp. 17-18, ISBN 0-471-27456-9 .

Bibliografie

PG Hoel, Mathematical Statistics , Fifth, New York, Wiley, 1984, ISBN 0-471-89045-6 .
Note de curs despre autocovarianță de la WHOI

Elemente conexe

[nonlinSystems-1] David T. Westwick, Identificarea sistemelor fiziologice neliniare , IEEE Press, 2003, pp. 17-18, ISBN 0-471-27456-9 .

[1]