Distribuție comună

În probabilitate , având în vedere două variabile aleatorii X și Y , definite pe același spațiu de probabilitate , distribuția lor comună este definită ca distribuția de probabilitate asociată vectorului $(X,Y)$ ${\ displaystyle (X, Y)}$ $(X Y)$ . În cazul doar a două variabile, vorbim de o distribuție bivariantă , în timp ce în cazul mai multor variabile vorbim de o distribuție multivariantă .

Funcția de distribuție

Funcția de distribuție a unei distribuții comune este definită ca

F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y).

{\ displaystyle F (x, y) = P (X \ leq x, Y \ leq y).}

{\ displaystyle F (x, y) = P (X \ leq x, Y \ leq y).}

sau mai general

F(x_{1},...,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},...,X_{n}\leq x_{n}).

{\ displaystyle F (x_ {1}, ..., x_ {n}) = P (X_ {1} \ leq x_ {1}, ..., X_ {n} \ leq x_ {n}).}

{\ displaystyle F (x_ {1}, ..., x_ {n}) = P (X_ {1} \ leq x_ {1}, ..., X_ {n} \ leq x_ {n}).}

Funcția de densitate

Caz discret

În cazul variabilelor aleatorii discrete, densitatea discretă comună (sau funcția de masă a probabilității comune) este dată de

p_{X,Y}(x_{i},y_{j})=\mathrm {P} (X=x_{i},Y=y_{j})=\mathrm {P} (Y=y_{j}\mid X=x_{i})\cdot \mathrm {P} (X=x_{i})=\mathrm {P} (X=x_{i}\mid Y=y_{j})\cdot \mathrm {P} (Y=y_{j})

{\ displaystyle p_ {X, Y} (x_ {i}, y_ {j}) = \ mathrm {P} (X = x_ {i}, Y = y_ {j}) = \ mathrm {P} (Y = y_ {j} \ mid X = x_ {i}) \ cdot \ mathrm {P} (X = x_ {i}) = \ mathrm {P} (X = x_ {i} \ mid Y = y_ {j}) \ cdot \ mathrm {P} (Y = y_ {j})}

{\ displaystyle p_ {X, Y} (x_ {i}, y_ {j}) = \ mathrm {P} (X = x_ {i}, Y = y_ {j}) = \ mathrm {P} (Y = y_ {j} \ mid X = x_ {i}) \ cdot \ mathrm {P} (X = x_ {i}) = \ mathrm {P} (X = x_ {i} \ mid Y = y_ {j}) \ cdot \ mathrm {P} (Y = y_ {j})}

Deoarece densitatea articulației este, de asemenea, o densitate, se îndeplinește următoarea ecuație:

\sum _{x}\sum _{y}\mathrm {P} (X=x\ ,Y=y)=1.\;

{\ displaystyle \ sum _ {x} \ sum _ {y} \ mathrm {P} (X = x \, Y = y) = 1. \;}

{\ displaystyle \ sum _ {x} \ sum _ {y} \ mathrm {P} (X = x \, Y = y) = 1. \;}

Este posibil să se obțină densitățile marginale din densitatea articulației în acest fel:

p_{X}(x_{i})=\Sigma _{j}p(x_{i},y_{j})

{\ displaystyle p_ {X} (x_ {i}) = \ Sigma _ {j} p (x_ {i}, y_ {j})}

{\ displaystyle p_ {X} (x_ {i}) = \ Sigma _ {j} p (x_ {i}, y_ {j})}

Și

p_{Y}(y_{i})=\Sigma _{j}p(x_{j},y_{i})

{\ displaystyle p_ {Y} (y_ {i}) = \ Sigma _ {j} p (x_ {j}, y_ {i})}

{\ displaystyle p_ {Y} (y_ {i}) = \ Sigma _ {j} p (x_ {j}, y_ {i})}

Caz continuu

În cazul variabilelor aleatorii constante , densitatea articulației este dată de

f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)=f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\;

{\ displaystyle f_ {X, Y} (x, y) = f_ {Y | X} (y | x) f_ {X} (x) = f_ {X | Y} (x | y) f_ {Y} ( y) \;}

{\ displaystyle f_ {X, Y} (x, y) = f_ {Y | X} (y | x) f_ {X} (x) = f_ {X | Y} (x | y) f_ {Y} ( y) \;}

unde f _{Y | X} ( y | x ) și f _{X | Y} ( x | y ) sunt distribuțiile condiționale ale lui Y date X = x și ale lui X date Y = y, în timp ce f _X ( x ) și f _Y ( y ) sunt distribuțiile marginale ale densității articulațiilor, pentru X și respectiv Y în acest caz, el este mulțumit

\int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.

{\ displaystyle \ int _ {x} \ int _ {y} f_ {X, Y} (x, y) \; dy \; dx = 1.}

{\ displaystyle \ int _ {x} \ int _ {y} f_ {X, Y} (x, y) \; dy \; dx = 1.}

Portalul de matematică

Portalul de statistici