Formula de însumare Poisson

Formula de însumare Poisson , numită și Poisson reluare , este o identitate între două sume infinite, dintre care prima este construită cu o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ iar al doilea cu transformata lui Fourier ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat f}$ . Funcția este definită pe axa reală sau în spațiul euclidian a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mărimea. Formula a fost descoperită de Siméon Denis Poisson .

Formula și generalizările sale sunt importante în multe domenii ale matematicii, inclusiv teoria numerelor , analiza armonică și geometria Riemanniană . O modalitate de a interpreta formula unidimensională este obținută prin observarea relației dintre spectrul operatorului Laplace-Beltrami pe cerc și lungimea geodeziei periodice pe această curbă. În analiza funcțională , formula de urmărire Selberg stabilește o relație de acest tip - dar cu un caracter mult mai profund - între spectrul Laplacianului și lungimea geodeziei pe suprafețe cu curbură negativă constantă.

Formula

Având o funcție adecvată $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , formula sumei Poisson este dată de:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}\left(k\right)

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} \ left (k \ dreapta)}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} \ left (k \ dreapta)}

unde este ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat f}$ este transformata Fourier a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , adică:

{\hat {f}}(\nu )={\mathcal {F}}\{f(x)\}\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi i\nu x}\,dx

{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ nu) = {\ mathcal {F}} \ {f (x) \} \, {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ e ^ {- 2 \ pi i \ nu x} \, dx}

{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ nu) = {\ mathcal {F}} \ {f (x) \} \, {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ e ^ {- 2 \ pi i \ nu x} \, dx}

Prin înlocuire $g(xP)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ f(x)$ ${\ displaystyle g (xP) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ f (x)}$ ${\ displaystyle g (xP) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ f (x)}$ și exploatarea proprietății:

{\mathcal {F}}\{g(xP)\}\ ={\frac {1}{P}}\cdot {\hat {g}}\left({\frac {\nu }{P}}\right)\qquad P>0

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g (xP) \} \ = {\ frac {1} {P}} \ cdot {\ hat {g}} \ left ({\ frac {\ nu} { P}} \ dreapta) \ qquad P> 0}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g (xP) \} \ = {\ frac {1} {P}} \ cdot {\ hat {g}} \ left ({\ frac {\ nu} { P}} \ dreapta) \ qquad P> 0}

formula însumării devine:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(nP)={\frac {1}{P}}\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }{\hat {g}}\left({\frac {\nu }{P}}\right)

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} g (nP) = {\ frac {1} {P}} \ sum _ {\ nu = - \ infty} ^ {\ infty} { \ hat {g}} \ left ({\ frac {\ nu} {P}} \ right)}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} g (nP) = {\ frac {1} {P}} \ sum _ {\ nu = - \ infty} ^ {\ infty} { \ hat {g}} \ left ({\ frac {\ nu} {P}} \ right)}

De asemenea, definitorii $s(t+x)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ g(x)$ ${\ displaystyle s (t + x) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ g (x)}$ ${\ displaystyle s (t + x) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ g (x)}$ și utilizarea proprietății:

{\mathcal {F}}\{s(t+x)\}\ ={\hat {s}}(\nu )\cdot e^{i2\pi \nu t}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {s (t + x) \} \ = {\ hat {s}} (\ nu) \ cdot e ^ {i2 \ pi \ nu t}}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {s (t + x) \} \ = {\ hat {s}} (\ nu) \ cdot e ^ {i2 \ pi \ nu t}}

se obține o reprezentare periodică a perioadei $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , a cărei serie Fourier este:

\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP)} _{S_{P}(t)}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot {\hat {s}}\left({\frac {k}{P}}\right)} _{S[k]}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}

{\ displaystyle \ underbrace {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s (t + nP)} _ {S_ {P} (t)} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ underbrace {{\ frac {1} {P}} \ cdot {\ hat {s}} \ left ({\ frac {k} {P}} \ right)} _ {S [k]} \ e ^ {i2 \ pi {\ frac {k} {P}} t}}

{\ displaystyle \ underbrace {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s (t + nP)} _ {S_ {P} (t)} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ underbrace {{\ frac {1} {P}} \ cdot {\ hat {s}} \ left ({\ frac {k} {P}} \ right)} _ {S [k]} \ e ^ {i2 \ pi {\ frac {k} {P}} t}}

Se poate arăta că această relație se menține în sensul că dacă $s(t)\in L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle s (t) \ în L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle s (t) \ în L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ apoi membrul din dreapta este seria Fourier a elementului din stânga, iar această serie poate fi divergentă. Într-adevăr, din teorema convergenței dominată rezultă că suma $s_{P}(t)$ ${\ displaystyle s_ {P} (t)}$ ${\ displaystyle s_ {P} (t)}$ există și este finit pentru aproape toate valorile lui $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , și este integrabil pe interval $[0,P]$ ${\ displaystyle [0, P]}$ ${\ displaystyle [0, P]}$ . Mai mult, din expresia membrului din dreapta este clar că este suficient să se arate că coeficienții acestei serii Fourier sunt $\scriptstyle {\frac {1}{P}}{\hat {s}}\left({\frac {k}{P}}\right)$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {P}} {\ hat {s}} \ left ({\ frac {k} {P}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {P}} {\ hat {s}} \ left ({\ frac {k} {P}} \ right)}$ , procedând după cum urmează:

{\begin{aligned}S[k]\ &{\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt\\&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(t+nP)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} S [k] \ & {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ frac {1} {P}} \ int _ {0} ^ {P} s_ {P} (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} t} \, dt \\ & = \ {\ frac {1} {P}} \ int _ { 0} ^ {P} \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s (t + nP) \ right) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P }} t} \, dt \\ & = \ {\ frac {1} {P}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {P} s (t + nP) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} t} \, dt \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} S [k] \ & {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ frac {1} {P}} \ int _ {0} ^ {P} s_ {P} (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} t} \, dt \\ & = \ {\ frac {1} {P}} \ int _ { 0} ^ {P} \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s (t + nP) \ right) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P }} t} \, dt \\ & = \ {\ frac {1} {P}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {P} s (t + nP) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} t} \, dt \ end {align}}}

unde schimbul dintre sumă și integrală este încă permis de teorema convergenței dominată. Cu o integrare prin substituție, prin plasare $\tau =t+nPt$ ${\ displaystyle \ tau = t + nPt}$ ${\ displaystyle \ tau = t + nPt}$ , expresia anterioară devine în cele din urmă:

{\begin{aligned}S[k]={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{nP+P}s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau ={\frac {1}{P}}\cdot {\hat {s}}\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} S [k] = {\ frac {1} {P}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {nP} ^ {nP + P } s (\ tau) \ e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} \ tau} \ \ underbrace {e ^ {i2 \ pi kn}} _ {1} \, d \ tau \ = \ {\ frac {1} {P}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (\ tau) \ e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} \ tau } d \ tau = {\ frac {1} {P}} \ cdot {\ hat {s}} \ left ({\ frac {k} {P}} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} S [k] = {\ frac {1} {P}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {nP} ^ {nP + P } s (\ tau) \ e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} \ tau} \ \ underbrace {e ^ {i2 \ pi kn}} _ {1} \, d \ tau \ = \ {\ frac {1} {P}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (\ tau) \ e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} \ tau } d \ tau = {\ frac {1} {P}} \ cdot {\ hat {s}} \ left ({\ frac {k} {P}} \ right) \ end {align}}}

În mod similar, reprezentarea periodică a transformatei Fourier a unei funcții are o expansiune echivalentă în seria Fourier:

\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(\nu +k/T)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\ e^{-i2\pi nT\nu }\equiv {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\ \delta (t-nT)\right\}

{\ displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {s}} (\ nu + k / T) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ e ^ {- i2 \ pi nT \ nu} \ equiv {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ \ delta (t-nT) \ right \}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {s}} (\ nu + k / T) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ e ^ {- i2 \ pi nT \ nu} \ equiv {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ \ delta (t-nT) \ right \}}

unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intervalul de timp care corespunde perioadei pentru care $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ este eșantionat.

Teorema

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție complexă definită pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ de două ori continuu diferențiat , ale cărui primele două derivate pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sunt integrabile și că îndeplinește relația:

|f(x)|\leq {\frac {C}{1+x^{2}}}\qquad \forall x\in \mathbb {R}

{\ displaystyle | f (x) | \ leq {\ frac {C} {1 + x ^ {2}}} \ qquad \ forall x \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle | f (x) | \ leq {\ frac {C} {1 + x ^ {2}}} \ qquad \ forall x \ in \ mathbb {R}}

De asemenea, să fie $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ un număr strict pozitiv. Spus $\omega _{0}=2\pi /a$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = 2 \ pi / a}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = 2 \ pi / a}$ modul fundamental, deține următoarea identitate:

S(t)\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(t+na)={\frac {1}{a}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(m\omega _{0})\ e^{im\omega _{0}t}

{\ displaystyle S (t) \ equiv \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (t + na) = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {m = - \ infty } ^ {\ infty} {\ hat {f}} (m \ omega _ {0}) \ e ^ {im \ omega _ {0} t}}

{\ displaystyle S (t) \ equiv \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (t + na) = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {m = - \ infty } ^ {\ infty} {\ hat {f}} (m \ omega _ {0}) \ e ^ {im \ omega _ {0} t}}

Demonstrație

Partea stângă a formulei de însumare Poisson este suma unei serii de funcții continue. Ipotezele făcute cu privire la comportamentul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la infinit implică faptul că seria converge în mod normal pe fiecare compact $[-a,a]$ ${\ displaystyle [-a, a]}$ ${\ displaystyle [-a, a]}$ din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . Prin urmare, suma sa este o funcție continuă, iar formula definitorie arată că este periodică de perioadă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Atunci putem calcula coeficienții seriei sale exponențiale Fourier pe sistemul ortonormal complet $\left\{e^{i2\pi {\frac {n}{a}}}\right\}_{n=-\infty }^{n=+\infty }$ ${\ displaystyle \ left \ {e ^ {i2 \ pi {\ frac {n} {a}}} \ right \} _ {n = - \ infty} ^ {n = + \ infty}}$ ${\ displaystyle \ left \ {e ^ {i2 \ pi {\ frac {n} {a}}} \ right \} _ {n = - \ infty} ^ {n = + \ infty}}$ :

c_{m}=\int _{0}^{a}\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(t+na)e^{-2\mathrm {i} \pi mt/a}\,dt

{\ displaystyle c_ {m} = \ int _ {0} ^ {a} \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} f (t + na) e ^ {- 2 \ mathrm {i} \ pi mt / a} \, dt}

{\ displaystyle c_ {m} = \ int _ {0} ^ {a} \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} f (t + na) e ^ {- 2 \ mathrm {i} \ pi mt / a} \, dt}

Datorită convergenței normale a seriei definitorii $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ putem schimba suma și integrarea și, prin urmare, scriem:

c_{m}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{a}f(t+na)e^{-2\mathrm {i} \pi mt/a}\,dt

{\ displaystyle c_ {m} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ int _ {0} ^ {a} f (t + na) e ^ {- 2 \ mathrm {i} \ pi mt / a} \, dt}

{\ displaystyle c_ {m} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ int _ {0} ^ {a} f (t + na) e ^ {- 2 \ mathrm {i} \ pi mt / a} \, dt}

Dacă schimbarea variabilei se efectuează în fiecare integral $s=t+na$ ${\ displaystyle s = t + na}$ ${\ displaystyle s = t + na}$ primesti:

c_{m}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{na}^{(n+1)a}f(s)e^{-2\mathrm {i} \pi m(s-na)/a}\,ds={\hat {f}}(2m\pi /a)

{\ displaystyle c_ {m} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ int _ {na} ^ {(n + 1) a} f (s) e ^ {- 2 \ mathrm {i} \ pi m (s-na) / a} \, ds = {\ hat {f}} (2m \ pi / a)}

{\ displaystyle c_ {m} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ int _ {na} ^ {(n + 1) a} f (s) e ^ {- 2 \ mathrm {i} \ pi m (s-na) / a} \, ds = {\ hat {f}} (2m \ pi / a)}

Din ipotezele de pe $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și derivatele sale, și din identitățile clasice de pe transformatele derivatei, vedem că funcția ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat f}$ satisface relația:

\forall \omega \in \mathbb {R} ,\quad |{\hat {f}}(\omega )|\leq {\hat {C}}/(1+\omega ^{2})

{\ displaystyle \ forall \ omega \ in \ mathbb {R}, \ quad | {\ hat {f}} (\ omega) | \ leq {\ hat {C}} / (1+ \ omega ^ {2}) }

{\ displaystyle \ forall \ omega \ in \ mathbb {R}, \ quad | {\ hat {f}} (\ omega) | \ leq {\ hat {C}} / (1+ \ omega ^ {2}) }

Prin urmare, seria de $c_{m}$ ${\ displaystyle c_ {m}}$ ${\ displaystyle c_ {m}}$ este absolut convergent ne găsim într-o situație în care putem adăuga seria Fourier a $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și obțineți:

S(t)={\frac {1}{a}}\sum _{m\in \mathbb {Z} }c_{m}e^{2\mathrm {i} \pi mt/a}={\frac {1}{a}}\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(2m\pi /a)e^{2\mathrm {i} \pi mt/a}

{\ displaystyle S (t) = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z}} c_ {m} e ^ {2 \ mathrm {i} \ pi mt / a} = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {f}} (2m \ pi / a) și ^ {2 \ mathrm {i} \ pi mt /la}}

{\ displaystyle S (t) = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z}} c_ {m} e ^ {2 \ mathrm {i} \ pi mt / a} = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {f}} (2m \ pi / a) și ^ {2 \ mathrm {i} \ pi mt /la}}

Aceasta este formula dorită, amintindu-ne $2\pi /a=\omega _{0}$ ${\ displaystyle 2 \ pi / a = \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle 2 \ pi / a = \ omega _ {0}}$ .

Teoria distribuției

Același subiect în detaliu: Distribuție (matematică) .

O modalitate convenabilă de a ocoli condițiile de regularitate impuse funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este de a plasa formula în contextul mai larg al teoriei distribuțiilor. De sine $\delta (x)$ ${\ displaystyle \ delta (x)}$ $\ delta (x)$ este distribuția Dirac și dacă introduceți următoarea distribuție, cunoscută sub numele de pieptene Dirac :

\Delta (x)\equiv \sum _{n\in \mathbb {Z} }\delta (x-n)

{\ displaystyle \ Delta (x) \ equiv \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ delta (xn)}

{\ displaystyle \ Delta (x) \ equiv \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ delta (x-n)}

Un mod elegant de a rescrie suma este să spui asta $\Delta (x)$ ${\ displaystyle \ Delta (x)}$ ${\ displaystyle \ Delta (x)}$ este transformata Fourier a sa.

Luați în considerare o distribuție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ale căror derivate scad rapid. Având în vedere pieptenul Dirac și dezvoltarea sa a seriei Fourier :

\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nP)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{P}}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{P}}\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\nu +k/P)

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x-nP) \ equiv \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {P }} \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} x} \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ Longleftrightarrow}} \ quad {\ frac {1} {P }} \ cdot \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ nu + k / P)}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x-nP) \ equiv \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {P }} \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} x} \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ Longleftrightarrow}} \ quad {\ frac {1} {P }} \ cdot \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ nu + k / P)}

Avem:

{\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\underbrace {\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}\right)} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ \delta (x-n)\ dx\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} (k) & = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty } \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ e ^ {- i2 \ pi kx} dx \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ underbrace {\ left (\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi kx} \ right)} _ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (xn)} dx \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ \ delta (xn) \ dx \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} (k) & = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty } \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ e ^ {- i2 \ pi kx} dx \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ underbrace {\ left (\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi kx} \ right)} _ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (xn)} dx \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ \ delta (xn) \ dx \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) \ end {align}}}

și în mod similar:

{\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(\nu +k/T)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}t}\right\}\\&={\mathcal {F}}{\bigg \{}s(t)\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}t}} _{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)}{\bigg \}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (t-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot e^{-i2\pi nT\nu }\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {s}} (\ nu + k / T) & = \ sum _ {k = - \ infty } ^ {\ infty} {\ mathcal {F}} \ left \ {s (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {T}} t} \ right \} \\ & = {\ mathcal {F}} {\ bigg \ {} s (t) \ underbrace {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {T }} t}} _ {T \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT)} {\ bigg \}} = {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot \ delta (t-nT) \ right \} \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ { \ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot {\ mathcal {F}} \ left \ {\ delta (t-nT) \ right \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot e ^ {- i2 \ pi nT \ nu} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {s}} (\ nu + k / T) & = \ sum _ {k = - \ infty } ^ {\ infty} {\ mathcal {F}} \ left \ {s (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {T}} t} \ right \} \\ & = {\ mathcal {F}} {\ bigg \ {} s (t) \ underbrace {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {T }} t}} _ {T \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT)} {\ bigg \}} = {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot \ delta (t-nT) \ right \} \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ { \ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot {\ mathcal {F}} \ left \ {\ delta (t-nT) \ right \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot e ^ {- i2 \ pi nT \ nu} \ end {align}}}

Suma periodică

O formă de însumare a lui Poisson se obține luând în considerare o funcție periodică $f_{P}$ ${\ displaystyle f_ {P}}$ ${\ displaystyle f_ {P}}$ perioadă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și reprezentându-l printr-o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu periodică după cum urmează:

f_{P}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-nP)

{\ displaystyle f_ {P} (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (x + nP) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f ( x-nP)}

{\ displaystyle f_ {P} (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (x + nP) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f ( x-nP)}

Această expresie se numește însumare periodică și dacă $f_{P}$ ${\ displaystyle f_ {P}}$ ${\ displaystyle f_ {P}}$ pot fi reprezentate într-o serie Fourier complexă, coeficienții acestei serii sunt proporționali cu valorile transformatei Fourier a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ „eșantionat” la intervale $\scriptstyle 1/P$ ${\ displaystyle \ scriptstyle 1 / P}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle 1 / P}$ . ^[1] ^[2]

În mod similar, o serie Fourier ai cărei coeficienți sunt obținuți prin eșantionare $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este echivalent cu suma periodică a transformatei Fourier a lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , cunoscută sub numele de transformată Fourier discretă .

Dacă reprezentați o funcție periodică folosind domeniul $\mathbb {R} /(P\cdot \mathbb {Z} )$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} / (P \ cdot \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} / (P \ cdot \ mathbb {Z})}$ ( spațiul coeficient ) poate fi scris:

\varphi _{P}:\mathbb {R} /(P\cdot \mathbb {Z} )\to \mathbb {R} \qquad \varphi _{P}(x)=\sum _{\tau \in x}f(\tau )

{\ displaystyle \ varphi _ {P}: \ mathbb {R} / (P \ cdot \ mathbb {Z}) \ to \ mathbb {R} \ qquad \ varphi _ {P} (x) = \ sum _ {\ tau \ in x} f (\ tau)}

{\ displaystyle \ varphi _ {P}: \ mathbb {R} / (P \ cdot \ mathbb {Z}) \ to \ mathbb {R} \ qquad \ varphi _ {P} (x) = \ sum _ {\ tau \ in x} f (\ tau)}

Aplicațiile reluării lui Poisson

Un rezultat fundamental important al formulei de însumare este furnizarea unui criteriu care garantează reconstructibilitatea unui semnal eșantionat . Acesta leagă eșantioanele unei forme de undă generice din domeniul timpului de repetările transformării sale în domeniul frecvenței: alegând un interval de eșantionare suficient de rapid, nu vor exista suprapuneri în domeniul frecvenței și va fi întotdeauna posibilă reconstituirea semnalului eșantionat .

Adăugarea este utilă și pentru determinarea sumei de serii precum:

S\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

{\ displaystyle S \ equiv \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

{\ displaystyle S \ equiv \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

sau, de asemenea:

S\equiv -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{4}}}={\frac {7\pi ^{4}}{720}}

{\ displaystyle S \ equiv - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n ^ {4}}} = {\ frac {7 \ pi ^ {4}} {720}}}

{\ displaystyle S \ equiv - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n ^ {4}}} = {\ frac {7 \ pi ^ {4}} {720}}}

În general, reluarea Poisson este utilă deoarece o serie care converge încet în spațiul direct poate fi transformată într-o serie convergentă mult mai rapidă în spațiul Fourier (dacă luăm exemplul funcțiilor gaussiene, o mare varianță gaussiană în spațiul direct se transformă într-o gaussiană cu varianță mică în spațiul Fourier). Aceasta este ideea fundamentală din spatele însumării lui Ewald .

Notă

^ Mark Pinsky, Introducere în analiza Fourier și Wavelets , Brooks / Cole, 2001, ISBN 978-0-534-37660-4 .
^ Antoni Zygmund, seria Trigonometrică (ediția a doua) , Cambridge University Press, 1988, ISBN 978-0-521-35885-9 .

Bibliografie

(EN) Matthew R. Watkins, pagina despre legăturile dintre teoria numerelor și fizica teoretică.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Mark Pinsky, Introducere în analiza Fourier și Wavelets , Brooks / Cole, 2001, ISBN 978-0-534-37660-4 .

[2] Antoni Zygmund, seria Trigonometrică (ediția a doua) , Cambridge University Press, 1988, ISBN 978-0-521-35885-9 .

[1]

[2]