Transformarea Steinmetz

În analiza funcțională , transformata Steinmetz , al cărei nume se datorează lui Charles Proteus Steinmetz , este un operator funcțional liniar care se asociază cu o funcție $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ de variabilă reală, o funcție $F(s)$ ${\ displaystyle F (s)}$ $F (e)$ de variabilă reală. Se încadrează în categoria transformărilor integrale .

Definiție

Având o funcție $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ definit pe mulțimea continuă $-\pi /\omega \leq t\leq \pi /\omega$ ${\ displaystyle - \ pi / \ omega \ leq t \ leq \ pi / \ omega}$ ${\ displaystyle - \ pi / \ omega \ leq t \ leq \ pi / \ omega}$ , funcția este definită ca transformată ${\mathfrak {s}}\left\{f\right\}(\omega )$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} (\ omega)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} (\ omega)}$ dat de:

{\mathfrak {s}}\left\{f\right\}(\omega )={\frac {\omega }{\pi }}\int _{-{\frac {\pi }{\omega }}}^{\frac {\pi }{\omega }}\mathrm {e} ^{-i\omega t}f(t)\,dt.

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} (\ omega) = {\ frac {\ omega} {\ pi}} \ int _ {- {\ frac {\ pi} {\ omega}}} ^ {\ frac {\ pi} {\ omega}} \ mathrm {e} ^ {- i \ omega t} f (t) \, dt.}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} (\ omega) = {\ frac {\ omega} {\ pi}} \ int _ {- {\ frac {\ pi} {\ omega}}} ^ {\ frac {\ pi} {\ omega}} \ mathrm {e} ^ {- i \ omega t} f (t) \, dt.}

Uneori transformarea este indicată în formular ${\mathfrak {s}}\left\{f(t)\right\}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {f (t) \ right \}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {f (t) \ right \}}$ , fiind $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ numărul lui Napier și parametrul $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ un număr real .

Această transformare integrală transformă ecuațiile integrale și ecuațiile diferențiale în ecuații polinomiale , care sunt mai imediate de rezolvat.

Răspunsul (ieșirea) unui sistem dinamic liniar poate fi, de asemenea, calculat ca produs de convoluție al răspunsului său de impuls unitar cu semnalul de intrare. Prin dezvoltarea acestui calcul, convoluția devine o multiplicare , ceea ce simplifică adesea problema.

Transformata Steinmetz poate fi utilizată și pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale .

Transformarea inversă

Inversul transformării Steinmetz ' ${\mathfrak {s}}^{-1}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {s}} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {s}} ^ {- 1}}$ , numită antitransform, este funcția:

f(t)={\mathfrak {s}}^{-1}\left\{g\right\}(t),

{\ displaystyle f (t) = {\ mathfrak {s}} ^ {- 1} \ left \ {g \ right \} (t),}

{\ displaystyle f (t) = {\ mathfrak {s}} ^ {- 1} \ left \ {g \ right \} (t),}

unde este ${\mathfrak {s}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {s}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {s}}}$ este transformata Steinmetz. Dovedim că dacă o funcție $g(s)$ ${\ displaystyle g (s)}$ $g (s)$ are transformarea inversă $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ , adică $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție continuă în bucăți care îndeplinește condiția:

{\mathfrak {s}}\{f\}(\omega )=g(\omega )

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {f \} (\ omega) = g (\ omega)}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {f \} (\ omega) = g (\ omega)}

asa de $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ este determinat în mod unic:

{\mathfrak {s}}^{-1}\left\{g\right\}(t)=\Re {(g(\omega )\mathrm {e} ^{i\omega t})}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} ^ {- 1} \ left \ {g \ right \} (t) = \ Re {(g (\ omega) \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}) }}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} ^ {- 1} \ left \ {g \ right \} (t) = \ Re {(g (\ omega) \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}) }}

Proprietate

Liniaritate :

{\mathfrak {s}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathfrak {s}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathfrak {s}}\left\{g(t)\right\}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {af (t) + bg (t) \ right \} = a {\ mathfrak {s}} \ left \ {f (t) \ right \} + b {\ mathfrak {s}} \ left \ {g (t) \ right \}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {af (t) + bg (t) \ right \} = a {\ mathfrak {s}} \ left \ {f (t) \ right \} + b {\ mathfrak {s}} \ left \ {g (t) \ right \}}

Derivat :

{\mathfrak {s}}\{f^{'}\}=i\omega {\mathfrak {s}}\{f\}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {f ^ {'} \} = i \ omega {\ mathfrak {s}} \ {f \}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {f ^ {'} \} = i \ omega {\ mathfrak {s}} \ {f \}}

{\mathfrak {s}}\{f^{''}\}=-\omega ^{2}{\mathfrak {s}}\{f\}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {f ^ {''} \} = - \ omega ^ {2} {\ mathfrak {s}} \ {f \}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {f ^ {''} \} = - \ omega ^ {2} {\ mathfrak {s}} \ {f \}}

{\mathfrak {s}}\left\{f^{(n)}\right\}=i^{n}\omega ^{n}{\mathfrak {s}}\left\{f\right\}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {f ^ {(n)} \ right \} = i ^ {n} \ omega ^ {n} {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ dreapta \}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {f ^ {(n)} \ right \} = i ^ {n} \ omega ^ {n} {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ dreapta \}}

Integral :

{\mathfrak {s}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}=-{i \over \omega }{\mathfrak {s}}\{f(t)\}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {\ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, d \ tau \ right \} = - {i \ over \ omega} {\ mathfrak {s}} \ {f (t) \}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {\ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, d \ tau \ right \} = - {i \ over \ omega} {\ mathfrak {s}} \ {f (t) \}}

Traducere complexă:

{\mathfrak {s}}\left\{e^{at}f(t)\right\}={\mathfrak {s}}\left\{f\right\}(\omega -a)

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {e ^ {at} f (t) \ right \} = {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} (\ omega -a) }

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {e ^ {at} f (t) \ right \} = {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} (\ omega -a) }

{\mathfrak {s}}^{-1}\left\{{\mathfrak {s}}\left\{f\right\}(s-a)\right\}=e^{at}f(t)

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} ^ {- 1} \ left \ {{\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} (sa) \ right \} = e ^ {at} f ( t)}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} ^ {- 1} \ left \ {{\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} (sa) \ right \} = e ^ {at} f ( t)}

Traducere în timp:

{\mathfrak {s}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-a\omega }{\mathfrak {s}}\left\{f\right\}(s)

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {f (ta) u (ta) \ right \} = e ^ {- a \ omega} {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \ } (s)}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ left \ {f (ta) u (ta) \ right \} = e ^ {- a \ omega} {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \ } (s)}

{\mathfrak {s}}^{-1}\left\{e^{-as}{\mathfrak {s}}\left\{f\right\}\right\}=f(t-a)u(t-a)

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} ^ {- 1} \ left \ {e ^ {- as} {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} \ right \} = f (ta) u (ta)}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} ^ {- 1} \ left \ {e ^ {- as} {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} \ right \} = f (ta) u (ta)}

unde este

u(t)

{\ displaystyle u (t)}

tu (t)

Este unitatea de funcție pas sau funcția pas Heaviside .

Înmulțirea cu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ la puterea a n-a:

{\mathfrak {(}}-1)^{n}\ {\mathfrak {s}}\{\,t^{n}f(t)\}={\frac {d^{n}}{ds^{n}}}[{\mathfrak {s}}\left\{f\right\}(s)]

{\ displaystyle {\ mathfrak {(}} - 1) ^ {n} \ {\ mathfrak {s}} \ {\, t ^ {n} f (t) \} = {\ frac {d ^ {n} } {ds ^ {n}}} [{\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} (s)]}

{\ displaystyle {\ mathfrak {(}} - 1) ^ {n} \ {\ mathfrak {s}} \ {\, t ^ {n} f (t) \} = {\ frac {d ^ {n} } {ds ^ {n}}} [{\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} (s)]}

Produs de convoluție :

{\mathfrak {s}}\{f*g\}={\mathfrak {s}}\{f\}{\mathfrak {s}}\{g\}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {f * g \} = {\ mathfrak {s}} \ {f \} {\ mathfrak {s}} \ {g \}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {f * g \} = {\ mathfrak {s}} \ {f \} {\ mathfrak {s}} \ {g \}}

Funcția perioadei periodice $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ :

{\mathfrak {s}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {f \} = {1 \ over 1-e ^ {- ps}} \ int _ {0} ^ {p} e ^ {- st} f (t) \ , dt}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {f \} = {1 \ over 1-e ^ {- ps}} \ int _ {0} ^ {p} e ^ {- st} f (t) \ , dt}

Valoarea inițială și teorema valorii finale

Același subiect în detaliu: Teorema limitelor .

În mod similar cu ceea ce se face pentru transformata Laplace , de asemenea pentru transformata Steinmetz este posibil să se enunțe două teoreme care ne permit să cunoaștem valoarea inițială și valoarea finală a funcției începând de la transformarea ei. Se păstrează pentru funcții de clasă $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ , cauzal (adică zero pentru t <0) și cu abscisă de convergență $A<\infty$ ${\ displaystyle A <\ infty}$ $A <\ infty$ :

Teorema valorii inițiale:

f(0)=\lim _{t\rightarrow 0}f(t)=\lim _{\omega \rightarrow \infty }\omega \,\,{\mathfrak {s}}\left\{f\right\}(\omega )

{\ displaystyle f (0) = \ lim _ {t \ rightarrow 0} f (t) = \ lim _ {\ omega \ rightarrow \ infty} \ omega \, \, {\ mathfrak {s}} \ left \ { f \ right \} (\ omega)}

{\ displaystyle f (0) = \ lim _ {t \ rightarrow 0} f (t) = \ lim _ {\ omega \ rightarrow \ infty} \ omega \, \, {\ mathfrak {s}} \ left \ { f \ right \} (\ omega)}

Teorema valorii finale: dacă există $f(\infty )$ ${\ displaystyle f (\ infty)}$ $f (\ infty)$ , asa de:

f(\infty )=\lim _{t\rightarrow \infty }f(t)=\lim _{\omega \rightarrow 0}\omega \,\,{\mathfrak {s}}\left\{f\right\}(\omega )

{\ displaystyle f (\ infty) = \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} f (t) = \ lim _ {\ omega \ rightarrow 0} \ omega \, \, {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} (\ omega)}

{\ displaystyle f (\ infty) = \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} f (t) = \ lim _ {\ omega \ rightarrow 0} \ omega \, \, {\ mathfrak {s}} \ left \ {f \ right \} (\ omega)}

Am transformat câteva funcții notabile

Taxă :

{\mathfrak {s}}\{\,\omega t+\theta \}=-2i

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ omega t + \ theta \} = - 2i}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ omega t + \ theta \} = - 2i}

Delta Dirac :

{\mathfrak {s}}\{\,\delta (\omega t+\theta )\}=-{\frac {\mathrm {e} ^{-i\theta }}{\pi }}(2\Theta (\omega )-1)\Theta (\pi -\theta )\Theta (\pi +\theta )(\Theta (-\theta )-\Theta (\theta ))

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ delta (\ omega t + \ theta) \} = - {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- i \ theta}} {\ pi}} (2 \ Theta (\ omega) -1) \ Theta (\ pi - \ theta) \ Theta (\ pi + \ theta) (\ Theta (- \ theta) - \ Theta (\ theta))}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ delta (\ omega t + \ theta) \} = - {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- i \ theta}} {\ pi}} (2 \ Theta (\ omega) -1) \ Theta (\ pi - \ theta) \ Theta (\ pi + \ theta) (\ Theta (- \ theta) - \ Theta (\ theta))}

Funcția pasului Heaviside :

{\mathfrak {s}}\{\,\Theta (t)\}={\frac {2i}{\pi }}\left(\Theta \left(-{\frac {1}{\theta }}\right)-\Theta \left({\frac {1}{\theta }}\right)\right)\qquad (\omega \neq 0)

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ Theta (t) \} = {\ frac {2i} {\ pi}} \ left (\ Theta \ left (- {\ frac {1} {\ theta}} \ right) - \ Theta \ left ({\ frac {1} {\ theta}} \ right) \ right) \ qquad (\ omega \ neq 0)}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ Theta (t) \} = {\ frac {2i} {\ pi}} \ left (\ Theta \ left (- {\ frac {1} {\ theta}} \ right) - \ Theta \ left ({\ frac {1} {\ theta}} \ right) \ right) \ qquad (\ omega \ neq 0)}

Funcție exponențială :

{\mathfrak {s}}\{\,{\mathrm {e} ^{\omega t+\theta }}\}=-{\frac {\mathrm {e} ^{\pi }-\mathrm {e} ^{-\pi }}{2\pi }}(\mathrm {e} ^{\theta }+\mathrm {e} ^{-\theta }+i(\mathrm {e} ^{\theta }-\mathrm {e} ^{-\theta }))

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, {\ mathrm {e} ^ {\ omega t + \ theta}} \} = - {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ pi} - \ mathrm {e} ^ {- \ pi}} {2 \ pi}} (\ mathrm {e} ^ {\ theta} + \ mathrm {e} ^ {- \ theta} + i (\ mathrm {e} ^ { \ theta} - \ mathrm {e} ^ {- \ theta}))}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, {\ mathrm {e} ^ {\ omega t + \ theta}} \} = - {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ pi} - \ mathrm {e} ^ {- \ pi}} {2 \ pi}} (\ mathrm {e} ^ {\ theta} + \ mathrm {e} ^ {- \ theta} + i (\ mathrm {e} ^ { \ theta} - \ mathrm {e} ^ {- \ theta}))}

Sân :

{\mathfrak {s}}\{\,\sin(\omega t+\theta )\}=\mathrm {e} ^{i(\theta -{\frac {\pi }{2}})}=\sin(\theta )-i\cos(\theta )

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ sin (\ omega t + \ theta) \} = \ mathrm {e} ^ {i (\ theta - {\ frac {\ pi} {2}} )} = \ sin (\ theta) -i \ cos (\ theta)}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ sin (\ omega t + \ theta) \} = \ mathrm {e} ^ {i (\ theta - {\ frac {\ pi} {2}} )} = \ sin (\ theta) -i \ cos (\ theta)}

{\mathfrak {s}}\{\,\sin ^{2}(\omega t+\theta )\}=0

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ sin ^ {2} (\ omega t + \ theta) \} = 0}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ sin ^ {2} (\ omega t + \ theta) \} = 0}

Cosinus :

{\mathfrak {s}}\{\,\cos(\omega t+\theta )\}=\mathrm {e} ^{i\theta }=\cos(\theta )+i\sin(\theta )

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ cos (\ omega t + \ theta) \} = \ mathrm {e} ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta)}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ cos (\ omega t + \ theta) \} = \ mathrm {e} ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta)}

{\mathfrak {s}}\{\,\cos ^{2}(\omega t+\theta )\}=0

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ cos ^ {2} (\ omega t + \ theta) \} = 0}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ cos ^ {2} (\ omega t + \ theta) \} = 0}

Sinus hiperbolic :

{\mathfrak {s}}\{\,\sinh(\omega t+\theta )\}=-{\frac {\mathrm {e} ^{\pi }-\mathrm {e} ^{-\pi }}{4\pi }}(\mathrm {e} ^{\theta }+\mathrm {e} ^{-\theta }+i(\mathrm {e} ^{\theta }-\mathrm {e} ^{-\theta }))=-{\frac {\sinh(\pi )}{\pi }}(\cosh(\theta )+i\sinh(\theta ))

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ sinh (\ omega t + \ theta) \} = - {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ pi} - \ mathrm {e} ^ { - \ pi}} {4 \ pi}} (\ mathrm {e} ^ {\ theta} + \ mathrm {e} ^ {- \ theta} + i (\ mathrm {e} ^ {\ theta} - \ mathrm {e} ^ {- \ theta})) = - {\ frac {\ sinh (\ pi)} {\ pi}} (\ cosh (\ theta) + i \ sinh (\ theta))}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ sinh (\ omega t + \ theta) \} = - {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ pi} - \ mathrm {e} ^ { - \ pi}} {4 \ pi}} (\ mathrm {e} ^ {\ theta} + \ mathrm {e} ^ {- \ theta} + i (\ mathrm {e} ^ {\ theta} - \ mathrm {e} ^ {- \ theta})) = - {\ frac {\ sinh (\ pi)} {\ pi}} (\ cosh (\ theta) + i \ sinh (\ theta))}

{\mathfrak {s}}\{\,\sinh ^{2}(\omega t+\theta )\}=-{\frac {\sinh(2\pi )}{5\pi }}(2\cosh(2\theta )+i\sinh(2\theta ))

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ sinh ^ {2} (\ omega t + \ theta) \} = - {\ frac {\ sinh (2 \ pi)} {5 \ pi}} (2 \ cosh (2 \ theta) + i \ sinh (2 \ theta))}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ sinh ^ {2} (\ omega t + \ theta) \} = - {\ frac {\ sinh (2 \ pi)} {5 \ pi}} (2 \ cosh (2 \ theta) + i \ sinh (2 \ theta))}

Cosinus hiperbolic :

{\mathfrak {s}}\{\,\cosh(\omega t+\theta )\}=-{\frac {\mathrm {e} ^{\pi }-\mathrm {e} ^{-\pi }}{4\pi }}(\mathrm {e} ^{\theta }+\mathrm {e} ^{-\theta }+i(\mathrm {e} ^{\theta }-\mathrm {e} ^{-\theta }))=-{\frac {\sinh(\pi )}{\pi }}(\cosh(\theta )+i\sinh(\theta ))

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ cosh (\ omega t + \ theta) \} = - {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ pi} - \ mathrm {e} ^ { - \ pi}} {4 \ pi}} (\ mathrm {e} ^ {\ theta} + \ mathrm {e} ^ {- \ theta} + i (\ mathrm {e} ^ {\ theta} - \ mathrm {e} ^ {- \ theta})) = - {\ frac {\ sinh (\ pi)} {\ pi}} (\ cosh (\ theta) + i \ sinh (\ theta))}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ cosh (\ omega t + \ theta) \} = - {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ pi} - \ mathrm {e} ^ { - \ pi}} {4 \ pi}} (\ mathrm {e} ^ {\ theta} + \ mathrm {e} ^ {- \ theta} + i (\ mathrm {e} ^ {\ theta} - \ mathrm {e} ^ {- \ theta})) = - {\ frac {\ sinh (\ pi)} {\ pi}} (\ cosh (\ theta) + i \ sinh (\ theta))}

{\mathfrak {s}}\{\,\cosh ^{2}(\omega t+\theta )\}=-{\frac {\sinh(2\pi )}{5\pi }}(2\cosh(2\theta )+i\sinh(2\theta ))

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ cosh ^ {2} (\ omega t + \ theta) \} = - {\ frac {\ sinh (2 \ pi)} {5 \ pi}} (2 \ cosh (2 \ theta) + i \ sinh (2 \ theta))}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ cosh ^ {2} (\ omega t + \ theta) \} = - {\ frac {\ sinh (2 \ pi)} {5 \ pi}} (2 \ cosh (2 \ theta) + i \ sinh (2 \ theta))}

Funcția de eroare :

{\mathfrak {s}}\{\,\operatorname {erf} (t)\}=-{\frac {i}{\pi }}\left[2\operatorname {erf} \left({\frac {\pi }{\omega }}\right)+\mathrm {e} ^{-{\frac {\omega ^{2}}{4}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\pi }{\omega }}-i{\frac {\omega }{2}}\right)+\operatorname {erf} \left({\frac {\pi }{\omega }}+i{\frac {\omega }{2}}\right)\right)\right]

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ operatorname {erf} (t) \} = - {\ frac {i} {\ pi}} \ left [2 \ operatorname {erf} \ left ({ \ frac {\ pi} {\ omega}} \ right) + \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ omega ^ {2}} {4}}} \ left (\ operatorname {erf} \ left ( {\ frac {\ pi} {\ omega}} - i {\ frac {\ omega} {2}} \ right) + \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {\ pi} {\ omega}} + i {\ frac {\ omega} {2}} \ right) \ right) \ right]}

{\ displaystyle {\ mathfrak {s}} \ {\, \ operatorname {erf} (t) \} = - {\ frac {i} {\ pi}} \ left [2 \ operatorname {erf} \ left ({ \ frac {\ pi} {\ omega}} \ right) + \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ omega ^ {2}} {4}}} \ left (\ operatorname {erf} \ left ( {\ frac {\ pi} {\ omega}} - i {\ frac {\ omega} {2}} \ right) + \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {\ pi} {\ omega}} + i {\ frac {\ omega} {2}} \ right) \ right) \ right]}

Relația cu celelalte se transformă

Transformata Steinmetz este strâns legată de transformata Fourier . Spre deosebire de aceasta, însă, domeniul de integrare depinde de variabila de transfer:

2\omega {\mathcal {F}}\{\,f\}(\omega )={\frac {\omega }{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {e} ^{-i\omega t}f(t)\,dt

{\ displaystyle 2 \ omega {\ mathcal {F}} \ {\, f \} (\ omega) = {\ frac {\ omega} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ mathrm {e} ^ {- i \ omega t} f (t) \, dt}

{\ displaystyle 2 \ omega {\ mathcal {F}} \ {\, f \} (\ omega) = {\ frac {\ omega} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ mathrm {e} ^ {- i \ omega t} f (t) \, dt}

Elemente conexe

linkuri externe

Scurtă prezentare ^{[ link rupt ]} a transformării
Discutarea transformării de către Cristofolini de la Universitatea din Bologna
Utilizare în polarizarea electromagnetică

Portal electrotehnic

Portalul de matematică