Teorema Paley-Wiener

Teorema Paley-Wiener , cunoscută și sub numele de criteriul Paley-Wiener , este o relație matematică care vă permite să determinați dacă un sistem liniar invariant în timp este sau nu cauzal. Teorema ne permite doar să stabilim cauzalitatea și nu oferă indicații despre cum să facem un sistem care nu este cauzal.

Își ia numele de la doi matematicieni, britanicul Raymond EAC Paley (1907 - 1933) și americanul Norbert Wiener (1894 - 1964) care l-au declarat ca parte a cercetărilor lor despre transformarea Fourier pentru funcții analitice ^[1] ; ulterior a apărut semnificația aplicativă pentru studiul circuitelor electrice . ^[2]

Aplicabilitatea teoremei Paley-Wiener necesită ca condiție necesară ca.

$\int _{-\infty }^{+\infty }\left|H(f)\right|^{2}\,\mathrm {d} f<\infty$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left | H (f) \ right | ^ {2} \, \ mathrm {d} f <\ infty}$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left | H (f) \ right | ^ {2} \, \ mathrm {d} f <\ infty}$

sau că răspunsul în frecvență al sistemului este pătrat integrabil sau absolut sumabil.

Dacă această condiție este adevărată, condiția necesară, dar nu suficientă, pentru aplicabilitatea teoremei Paley-Wiener este aceea că

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|ln(\left|H(f)\right|)\right|}{1+(2\pi f)^{2}}}\,\mathrm {d} f<\infty$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ left | ln (\ left | H (f) \ right |) \ right |} {1+ (2 \ pi f) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} f <\ infty}$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ left | ln (\ left | H (f) \ right |) \ right |} {1+ (2 \ pi f) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} f <\ infty}$

În acest caz

$\mathbb {H} (f)=\left|H(f)\right|e^{j\phi (f)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} (f) = \ left | H (f) \ right | e ^ {j \ phi (f)}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} (f) = \ left | H (f) \ right | e ^ {j \ phi (f)}}$

este posibil, sub testarea ipotezelor, să se găsească una $\phi (f)$ ${\ displaystyle \ phi (f)}$ ${\ displaystyle \ phi (f)}$ pentru care filtrul este cauzal.

Un domeniu tipic de aplicare a criteriului se referă la filtre reale. De fapt, filtrele ideale nu sunt cauzale și nu pot fi realizate, astfel încât răspunsul lor în frecvență este zero la intervalele de frecvență ale măsurării diferite de zero: aceasta implică divergența celei de-a doua integrale și, prin urmare, starea necesară a teoremei nu ar fi verificată. Exemple elementare de filtre reale de ordinul doi, de tip RC și CR, pe de altă parte, sunt cauzale, deoarece răspunsurile lor impulsive respectă condițiile teoremei.

Notă

^ REAC Paley, N. Wiener, Fourier transformă în domeniul complex , Amer. Matematica. Soc. Colloq. Publ., Vol. 19, Amer. Matematica. Soc, Providence, RI, 1934; teorema XII. Cartea a fost editată de Wiener după ce Paley a dispărut într-un accident de schi
^ WL Root, Contribuțiile lui Norbert Wiener la teoria comunicării , Bull. Amer. Matematica. Soc. 72 (1966), 126-134

Bibliografie

Teoria semnalului (M. Luise - G. Vitetta) - ediția a III-a Mc Graw - Hill

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] REAC Paley, N. Wiener, Fourier transformă în domeniul complex , Amer. Matematica. Soc. Colloq. Publ., Vol. 19, Amer. Matematica. Soc, Providence, RI, 1934; teorema XII. Cartea a fost editată de Wiener după ce Paley a dispărut într-un accident de schi

[2] WL Root, Contribuțiile lui Norbert Wiener la teoria comunicării , Bull. Amer. Matematica. Soc. 72 (1966), 126-134

[1]

[2]