Sistem staționar dinamic liniar

În teoria sistemelor , un sistem liniar de echilibru dinamic, de asemenea , cunoscut sub numele de sistem invariant in timp liniar sau sistem LTI, este un liniar sistem dinamic de timp-invariante , sub rezerva și anume principiul suprapunerii efectelor și că comportamentul său este constantă în timp. Este un model matematic care este deosebit de important în multe aplicații, în special în electronica și teoria de control .

Descriere

Un sistem staționar (sau invariant de timp) este un sistem a cărui parametri nu depind de timp. Procesul fizic al cărui sistem este modelul matematic , prin urmare, este un sistem de ecuații diferențiale , derivate în raport cu timpul, cu coeficienți constanți:

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\,{\vec {f}}({\vec {x}}(t),{\vec {x}}_{0},{\vec {u}}(t))\qquad {\vec {y}}(t)=\,{\vec {h}}({\vec {x}}(t),{\vec {x}}_{0},{\vec {u}}(t)),

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ {\ vec {f}} ({\ vec {x}} (t), {\ vec {x }} _ {0}, {\ vec {u}} (t)) \ prototipurilor {\ vec {y}} (t) = \ {\ vec {h}} ({\ vec {x}} (t ), {\ vec {x}} _ {0}, {\ vec {u}} (t)),}

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ {\ vec {f}} ({\ vec {x}} (t), {\ vec {x }} _ {0}, {\ vec {u}} (t)) \ prototipurilor {\ vec {y}} (t) = \ {\ vec {h}} ({\ vec {x}} (t ), {\ vec {x}} _ {0}, {\ vec {u}} (t)),}

unde este ${\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ , ${\vec {x}}_{0}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} _ {0}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} _ {0}}$ , ${\vec {u}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ Și ${\vec {y}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ Ele sunt purtători coloană . Vectorul ${\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ Aceasta reprezintă variabilele de stat în funcție de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , Care, în general, nu pot fi fixe sau observate direct, vectorul $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ reprezintă variabilele de stare la momentul inițial $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , ${\vec {u}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ sunt intrări, și anume variabilele pe care acționează pentru a schimba calea sau traiectoria de stat , și ${\vec {y}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ sunt ieșirile, adică variabilele măsurate de la care se poate deduce, în funcție de caracteristicile observabilitate a sistemului, valoarea sau estimarea de stat . Pot exista anumite variabile de intrare, a declarat tulburări sau zgomote, pe care aceasta nu poate acționa în nici un fel. Termenul $d{\vec {x}}(t)/dt$ ${\ D displaystyle {\ vec {x}} (t) / dt}$ ${\ D displaystyle {\ vec {x}} (t) / dt}$ Este , de asemenea, derivate din $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ din ${\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ , și funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ ele nu sunt direct dependente de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Un sistem este , de asemenea , liniar atunci când depinde liniar de variabilele de stare și de variabilele de intrare:

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} (t){\vec {x}}(t)+\mathbf {B} (t){\vec {u}}(t)\qquad {\vec {y}}(t)=\mathbf {C} (t){\vec {x}}(t)+\mathbf {D} (t){\vec {u}}(t),

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ mathbf {A} (t) {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} (t ) {\ vec {u}} (t) \ prototipurilor {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} (t) {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} (t ) {\ vec {u}} (t)}

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ mathbf {A} (t) {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} (t ) {\ vec {u}} (t) \ prototipurilor {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} (t) {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} (t ) {\ vec {u}} (t)}

unde este $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ , $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ , $\mathbf {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ Și $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ Mathbf {D}$ sunt matrici de dimensiuni adecvate , carepremultiply ${\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ Și ${\vec {u}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ . În general, acestea pot varia în timp, dar nu și în cazul unui sistem staționar:

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)\qquad {\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t).

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u }} (t) \ prototipurilor {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} {\ vec {u}} (t). }

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u }} (t) \ prototipurilor {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} {\ vec {u}} (t). }

Printre caracteristicile sistemelor LTI cele mai studiate sunt stabilitate , accesibilitate și observabilitate proprietăți : în cazul în care acestea sunt verificate apoi pentru sistemul de control (adică sistemul obținut prin feedbacking sistemului dinamic LTI cu un controler LTI) există întotdeauna un regulator , care face sistemul de control al asimptotic stabil.

Răspunsul de frecvență al sistemelor LTI pot fi studiate pornind de la caracteristicile funcției de transfer , o funcție complexă care comportamentul polilor este simptomatic al stabilității sistemului îl descrie.

Un sistem liniar staționar este deosebit de important, deoarece, pe lângă oferirea de rezultate practice și teoretice nenumărate, este adesea folosit pentru a liniariza chiar și sisteme non-liniare sau non-staționare, în scopul de a facilita calcul și aplicații. În cazul variabilelor continue liniare și sistemele staționare sunt descrise de ecuații algebrice în domeniul de timp , dacă statică, altfel ai ecuații diferențiale ordinare dacă dinamic. În plus, sistemele liniare și staționare pot fi studiate în domeniul de frecvență .

În cazul general și cu singura dependența de o variabilă de timp, fie $\mathbf {u} _{in}(t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {în} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {în} (t)}$ orice solicitare de intrare. Este $\mathbf {Z}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Z}}$ un operator care rezumă toate operațiile pe care sistemul poate efectua la solicitarea de intrare $\mathbf {u} _{in}(t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {în} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {în} (t)}$ . Apoi, relația care leagă intrarea și ieșirea unui sistem este, în general:

\mathbf {u} _{out}(t)=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in}(t)).

{\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {out} (t) = \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {în} (t)).}

{\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {out} (t) = \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {în} (t)).}

Sistemele liniare sunt supuse principiului superpoziției , care este un sistem liniar dacă următoarele proprietăți:

\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}}+\mathbf {u} _{in_{2}})=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}})+\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{2}})\qquad \mathbf {Z} (c\mathbf {u} _{in})=c\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in}),

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {1}} + \ mathbf {u} _ {in_ {2}}) = \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {1}}) + \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {2}}) \ prototipurilor \ mathbf {Z} (c \ mathbf {u} _ {în}) = c \ mathbf {Z } (\ mathbf {u} _ {în})}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {1}} + \ mathbf {u} _ {in_ {2}}) = \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {1}}) + \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {2}}) \ prototipurilor \ mathbf {Z} (c \ mathbf {u} _ {în}) = c \ mathbf {Z } (\ mathbf {u} _ {în})}

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este un număr arbitrar. Sistemele timp invariant, de asemenea , cunoscut sub numele de staționare sau statice, sunt , de asemenea , cele pentru sisteme , cum ar fi răspunsul depinde numai de intrare valorile instantanee:

\mathbf {u} _{out}(t-t_{0})=\mathbf {Z} \mathbf {u} _{in}(t-t_{0})

{\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {out} (t-T_ {0}) = \ mathbf {Z} \ mathbf {u} _ {în} (t-T_ {0})}

{\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {out} (t-T_ {0}) = \ mathbf {Z} \ mathbf {u} _ {în} (t-T_ {0})}

chiar dacă parametrii de sistem sunt independent de timp.

Există , de asemenea , sisteme statice în electronice digitale și sunt numite combinatorică . În schimb , există sisteme dinamice liniare , în care producția este dependentă atât de valorile de intrare instantanee din istoria trecută a semnalului de intrare. În mod similar , în digital electronică sunt sisteme dinamice , care sunt numite secvențial . În electronică , inclusiv sistemele liniare sunt considerabil elemente de circuit importante , cum ar fi rezistori , condensatori , inductori , în timp ce între sistemele neliniare există sunt dioda și tranzistorul .

Sisteme de timp continuu

Ieșirea $y(t)$ ${\ Y displaystyle (t)}$ $YT)$ a unui sistem dinamic liniar timp invariant timp continuu supus unui semnal de intrare ${\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ este descrisă de convoluție :

y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\vec {x}}(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau

{\ Displaystyle y (t) = x (t) * h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ vec {x}} (t- \ tau) \ cdot h (\ tau ) \, \ operatorname {d} \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \, \ operatorname {d} \ tau}

{\ Displaystyle y (t) = x (t) * h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ vec {x}} (t- \ tau) \ cdot h (\ tau ) \, \ operatorname {d} \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \, \ operatorname {d} \ tau}

unde este $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ este răspunsul sistemului la impulsul, adică, atunci când intrarea $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este o funcție delta Dirac . Ieșirea $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ prin urmare, este proporțională cu media de intrare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ponderată în funcție de funcția $h(-\tau )$ ${\ Displaystyle h (- \ tau)}$ $h (- \ tau)$ , Mutat de un timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Dacă funcția $h(\tau )$ ${\ Displaystyle h (\ tau)}$ $h (\ tau)$ nu este nimic când $\tau <0$ ${\ displaystyle \ tau <0}$ $\ tau <0$ asa de $y(t)$ ${\ Y displaystyle (t)}$ $YT)$ aceasta depinde numai de valorile asumate de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ înaintea timpului $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , Iar sistemul este numit de cauzalitate.

Pentru a arăta modul în care răspunsul la impuls determină complet comportamentul sistemului LTI, fie $O_{t}$ ${\ Displaystyle O_ {t}}$ ${\ Displaystyle O_ {t}}$ acțiunea sistemului la momentul respectiv $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Pentru invarianta timp avem:

O_{t}\{x(u-\tau )\}=y(t-\tau )\equiv O_{t-\tau }\{x\}\qquad h(t)\equiv O_{t}\{\delta (u)\}

{\ Displaystyle O_ {t} \ {x (u- \ tau) \} = y (t- \ tau) \ echiv O_ {t- \ tau} \ {x \} \ prototipurilor h (t) \ echiv O_ { t} \ {\ delta (u) \}}

{\ Displaystyle O_ {t} \ {x (u- \ tau) \} = y (t- \ tau) \ echiv O_ {t- \ tau} \ {x \} \ prototipurilor h (t) \ echiv O_ { t} \ {\ delta (u) \}}

de la care:

h(t-\tau )\equiv O_{t-\tau }\{\delta (u)\}=O_{t}\{\delta (u-\tau )\}

{\ Displaystyle h (t- \ tau) \ echiv O_ {t- \ tau} \ {\ delta (u) \} = O_ {t} \ {\ delta (u- \ tau) \}}

{\ Displaystyle h (t- \ tau) \ echiv O_ {t- \ tau} \ {\ delta (u) \} = O_ {t} \ {\ delta (u- \ tau) \}}

astfel încât să obținem:

{\begin{aligned}{\vec {x}}(t)*h(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\operatorname {d} \tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau )\}\operatorname {d} \tau \\&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\operatorname {d} \tau \right\}\\&=O_{t}\left\{x(u)\right\}=y(t)\\\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ vec {x}} (t) * h (t) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \ operatorname {d} \ tau \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot O_ {t} \ {\ delta (u- \ tau) \} \ operatorname {d} \ tau \\ & = O_ {t} \ left \ {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot \ delta (u- \ tau) \ operatorname { d} \ tau \ dreapta \} \\ & = O_ {t} \

din

stânga \ {x (u) \ dreapta \} = y (t) \\\ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ vec {x}} (t) * h (t) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \ operatorname {d} \ tau \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot O_ {t} \ {\ delta (u- \ tau) \} \ operatorname {d} \ tau \\ & = O_ {t} \ left \ {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot \ delta (u- \ tau) \ operatorname { d} \ tau \ dreapta \} \\ & = O_ {t} \ din stânga \ {x (u) \ dreapta \} = y (t) \\\ end {aliniat}}}

Funcție de transfer

O " eigenfunction $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ a unui operator liniar $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este o funcție care este transformat de către operator în aceeași funcție înmulțită cu un număr $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , Said eigenvalue :

{\mathcal {H}}f=\lambda f.

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} f = \ lambda f.}

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} f = \ lambda f.}

Pentru un sistem de timp LTI continuu pentru funcțiile proprii sunt funcții exponențiale $Ae^{st}$ ${\ Displaystyle Ae ^ {st}}$ $Ae ^ {{st}}$ , cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ . Într-adevăr, fie el $x(t)=Ae^{st}$ ${\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {st}}$ $x (t) = Ae ^ {{st}}$ Intrarea e $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ Răspunsul sistemului la delta Dirac. Eliberarea este dată de:

\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau =Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau =Ae^{st}H(s).

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) Ae ^ {s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} h (\ tau) \, Ae ^ {st} e ^ {- s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = Ae ^ {st} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } h (\ tau) \, e ^ {-. s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = Ae ^ {st} H (s)}

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) Ae ^ {s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} h (\ tau) \, Ae ^ {st} e ^ {- s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = Ae ^ {st} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } h (\ tau) \, e ^ {-. s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = Ae ^ {st} H (s)}

Transformata Laplace:

H(s)\equiv {\mathcal {L}}\{h(t)\}\equiv \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t

{\ Displaystyle H (s) \ echiv {\ mathcal {L}} \ {h (t) \} \ echiv \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \ , \ operatorname {d} t}

{\ Displaystyle H (s) \ echiv {\ mathcal {L}} \ {h (t) \} \ echiv \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \ , \ operatorname {d} t}

Este funcția de transfer a sistemului, făcând astfel posibilă obținerea valorilor proprii din răspunsul la impuls Dirac. Pentru fiecare $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ieșirea este, prin urmare, produsul de la intrare $Ae^{st}$ ${\ Displaystyle Ae ^ {st}}$ $Ae ^ {{st}}$ pentru o depinde numai de parametrul constant $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , Eigenvalue sistemului LTI privind vectorul propriu $Ae^{st}$ ${\ Displaystyle Ae ^ {st}}$ $Ae ^ {{st}}$ (element al unui spațiu vectorial funcțional). De interes special este cazul în care intrarea este o exponențială complexă $\exp({j\omega t})$ ${\ Displaystyle \ exp ({j \ omega t})}$ $\ Exp ({j \ omega t})$ , cu $\omega \in \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ omega \ în \ mathbb {R}}$ $\ Omega \ în {\ mathbb {R}}$ Și $j\equiv {\sqrt {-1}}$ ${\ Displaystyle j \ echiv {\ sqrt {-1}}}$ ${\ Displaystyle j \ echiv {\ sqrt {-1}}}$ . Funcția de transfer este dată în acest caz prin transformata Fourier :

H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}.

{\ Displaystyle H (j \ omega) = {\ mathcal {F}} \ {h (t) \}.}

{\ Displaystyle H (j \ omega) = {\ mathcal {F}} \ {h (t) \}.}

In timp ce transformata Laplace este folosit pentru semnale care sunt nule înainte de o anumită perioadă de timp $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , De obicei zero, transformata Fourier permite tratarea durata infinită a funcțiilor, cu solicitarea (spre deosebire de transformata Laplace în sisteme stabile) să fie summable pătrat .

Datorită proprietăților de convoluție, în domeniul de transformare integrala este redus la o multiplicare:

y(t)=(h*x)(t)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\operatorname {d} \tau \equiv {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s){X}(s)\}.

{\ Y displaystyle (t) = (h * x) (t) \ echiv \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) x (\ tau) \, \ operatorname {d} \ tau \ echiv {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {H (s) {X} (e) \}}.

{\ Y displaystyle (t) = (h * x) (t) \ echiv \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) x (\ tau) \, \ operatorname {d} \ tau \ echiv {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {H (s) {X} (e) \}}.

Acest fapt permite să transforme ecuațiile diferențiale și integralele care guvernează de obicei sistemele dinamice LTI in ecuatii algebrice.

Răspuns în frecvență domeniu

Descrierea unui sistem LTI în domeniul timp (în albastru) și în domeniul de frecvență (The transformatei Laplace este prezentată în roșu).

Sistemele liniare și staționare pot fi studiate în domeniul de frecvență analiza răspunsului la intrările de undă sinusoidală pură , frecvența care nu este schimbat , ca rezultat al transformării liniare efectuate de sistem (de exemplu, derivare sau l ' integrare a semnal). Acest lucru permite să reprezinte un semnal periodic ca o combinație liniară a semnalelor sinusoidale cu ajutorul seriei Fourier . În cazul funcțiilor neperiodice utilizând transformata Fourier sau transformata Laplace .

Studiul sistemelor liniare și staționare în domeniul de frecvență trece prin metodele simbolice și / sau metoda operatorului , de asemenea , util pentru studierea sistemelor în cascadă. Scopul este de a determina o funcție de transfer care determină complet răspunsul sistemului.

Legătura dintre răspunsul în timp și răspunsul în frecvență este de o importanță considerabilă. sunt obținute aceste relații exact doar în cazurile simple, în special, sunt legăturile între impulsiv sau intrările unitare și diferitele cut-off sau rezonanță frecvențele, iar amplitudinea și valorile de fază în ceea ce privește frecvența. Mai precis, există legături simple între timpul de creștere a semnalelor, lățimea de bandă și faza a unui sistem. În cazul sistemelor de prima ordinea în care sunt conexiuni exacte, în cazul sistemelor de ordinul al doilea sau mai mare decât al doilea acestea sunt utile pentru o aproximare.

Sisteme de timp discrete

Același subiect în detaliu: sistem dinamic liniar staționar discret .

Un sistem de timp discret transformă secvența în intrare $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {X \}$ într-o altă succesiune $\{y\}$ ${\ Displaystyle \ {y \}}$ $\ {Y \}$ , Dat de convoluție discret cu răspunsul $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ la delta Kronecker :

y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k].

{\ Y displaystyle [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot h [nk] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [nk] \ cdot h [k].}

{\ Y displaystyle [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot h [nk] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [nk] \ cdot h [k].}

Elementele $\{y\}$ ${\ Displaystyle \ {y \}}$ $\ {Y \}$ poate depinde de orice element de $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {X \}$ . Obișnuit $y[n]$ ${\ Y displaystyle [n]}$ $y [n]$ depinde mai mult pe elementele în apropierea timpului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Cele mai multe semnale discrete sunt obținute dintr-un semnal în timp continuu prin luarea în considerare valoarea sa luate la momente precise de timp, de obicei, separate printr-un interval de timp fix $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Procedura care permite obținerea unui semnal discret dintr - un continuu se numește eșantionare, și este baza de conversie analog-digital (ADC). Acesta transformă o funcție continuă ${\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ în semnalul discret:

x[n]\equiv x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,

{\ Displaystyle x [n] \ echiv x (nT) \ prototipurilor \ forall \, n \ în \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle x [n] \ echiv x (nT) \ prototipurilor \ forall \, n \ în \ mathbb {Z}}

cu $1/T$ ${\ displaystyle 1 / T}$ ${\ Displaystyle 1 / T}$ rata de eșantionare . În teorema de eșantionare limitează suma la frecvența maximă a semnalului continuu, care nu poate fi superior $1/(2T)$ ${\ Displaystyle 1 / (2T)}$ ${\ Displaystyle 1 / (2T)}$ Dacă doriți pentru a evita pierderea de informații (fenomenul aliasing ).

Ca și în cazul sistemelor continue de timp, în cazul în care $O_{n}$ ${\ Displaystyle O_ {n}}$ ${\ Displaystyle O_ {n}}$ este operatorul de transformare la momentul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

y[n]\equiv O_{n}\{x\},

{\ Y displaystyle [n] \ echiv O_ {n} \ {x \}}

{\ Y displaystyle [n] \ echiv O_ {n} \ {x \}}

succesiunea:

h[n]\equiv O_{n}\{\delta [m]\}

{\ H displaystyle [n] \ echiv O_ {n} \ {\ delta [m] \}}

{\ H displaystyle [n] \ echiv O_ {n} \ {\ delta [m] \}}

caracterizează complet sistemul. Pentru a arăta acest lucru, având în vedere invarianta timp:

O_{n}\{x[m-k]\}=y[n-k]\equiv O_{n-k}\{x\}

{\ Displaystyle O_ {n} \ {x [mk] \} = y [nk] \ echiv O_ {nk} \ {x \}}

{\ Displaystyle O_ {n} \ {x [m-k] \} = y [n-k] \ echiv O_ {n-k} \ {x \}}

și având în vedere că identitatea este validă:

x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],

{\ Displaystyle x [m] \ echiv \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot \ delta [mk]}

{\ Displaystyle x [m] \ echiv \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot \ delta [m-k],}

avem:

y[n]=O_{n}\{x\}=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k]\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k]\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n-k}\{\delta [m]\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k].

{\ Displaystyle y [n] = O_ {n} \ {x \} = O_ {n} \

din

stânga \ {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot \ delta [ mk] \ drept \} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot O_ {n} \ {\ delta [mk] \} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot O_ {nk} \ {\ delta [m] \} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot h [ nk].}

{\ Displaystyle y [n] = O_ {n} \ {x \} = O_ {n} \ din stânga \ {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot \ delta [ mk] \ drept \} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot O_ {n} \ {\ delta [mk] \} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot O_ {nk} \ {\ delta [m] \} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot h [ nk].}

Operatorul $O_{n}$ ${\ Displaystyle O_ {n}}$ ${\ Displaystyle O_ {n}}$ returnează o ieșire proporțională cu media ponderată a $x[k]$ ${\ Displaystyle x [k]}$ ${\ Displaystyle x [k]}$ cu funcție de greutate dată de $h[-k]$ ${\ Displaystyle h [-k]}$ ${\ Displaystyle h [-k]}$ . De sine $h[k]=0$ ${\ Displaystyle h [k] = 0}$ ${\ Displaystyle h [k] = 0}$ pentru valori de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ negativ sistemul este cauzal.

Funcție de transfer

Cele de tip exponențială $z^{n}=e^{sTn}$ ${\ Displaystyle z ^ {n} = e ^ {sTn}}$ $z ^ {n} = e ^ {{sTn}}$ , cu $n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$ $n \ în {\ mathbb {Z}}$ , Sunt funcții proprii ale unui operator Temporizarea liniar. Într-adevăr, a declarat $T\in \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle T \ în \ mathbb {R}}$ $T \ în {\ mathbb {R}}$ e perioada de eșantionare $z=e^{sT}$ ${\ Displaystyle z = e ^ {sT}}$ $z = e ^ {{sT}}$ , cu $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ în $\mathbf {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ , să presupunem $x[n]=\,\!z^{n}$ ${\ Displaystyle x [n] = \, \! Z ^ {n}}$ $x [n] = \, \! z ^ {n}$ intrarea sistemului. De sine $h[n]$ ${\ H displaystyle [n]}$ $h [n]$ este răspunsul impulsiv, avem:

y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)

{\ Y displaystyle [n] = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [nm] \, z ^ {m} = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [m] \ z ^ {(nm)} = z ^ {n} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [m] \, z ^ {- m} = z ^ { n} H (z)}

y [n] = \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ {{\ infty}} h [nm] \, z ^ {m} = \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ { {\ infty}} h [m] \, z ^ {{(nm)}} = z ^ {n} \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ {{\ infty}} h [m] \ , z ^ {{-}} m = z ^ {n} H (z)

Functia:

H(z)\equiv \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}

{\ H displaystyle (z) \ echiv \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [m] z ^ {- m}}

{\ H displaystyle (z) \ echiv \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [m] z ^ {- m}}

doar depinde de parametrul $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ și este eigenvalue asociată cu vectorul propriu (eigenfunction) $z^{n}$ ${\ displaystyle z ^ {n}}$ $z ^ {n}$ a sistemului LTI.

Z transformatei :

H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}

{\ H displaystyle (z) = {\ mathcal {Z}} \ {h [n] \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} h [n] z ^ {- n}}

H (z) = {\ mathcal {Z}} \ {h [n] \} = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} h [n] z ^ {{- n}}

este funcția de transfer a sistemului. De interes special este cazul în care sunt funcțiile proprii sinusoidale $e^{j\omega n}$ ${\ Displaystyle e ^ {j \ omega n}}$ $e ^ {{j \ omega n}}$ , cu $\omega \in \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ omega \ în \ mathbb {R}}$ $\ Omega \ în {\ mathbb {R}}$ , Care poate fi scrisă ca $z^{n}$ ${\ displaystyle z ^ {n}}$ $z ^ {n}$ , unde este $z=e^{j\omega }$ ${\ Displaystyle z = e ^ {j \ omega}}$ $z = e ^ {{j \ omega}}$ . Pentru astfel de funcții, funcția de transfer este dat detransformata Fourier intimp discret :

H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}.

{\ Displaystyle H (e ^ {j \ omega}) = {\ mathcal {F}} \ {h [n] \}.}

{\ Displaystyle H (e ^ {j \ omega}) = {\ mathcal {F}} \ {h [n] \}.}

Datorită proprietăților convoluției, o multiplicare se obține în domeniul de transformare:

y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z){\vec {X}}(z)\},

{\ Y displaystyle [n] = (h * x) [n] = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [nm] x [m] = {\ mathcal {Z}} ^ { -1} \ {H (z) {\ vec {X}} (z) \}}

{\ Y displaystyle [n] = (h * x) [n] = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [nm] x [m] = {\ mathcal {Z}} ^ { -1} \ {H (z) {\ vec {X}} (z) \}}

care, în mod similar cazului continuu, este de utilitate considerabilă în analiza sistemelor LTI.

descriere Matrix

Un sistem LTI este descris de o ecuație cum ar fi:

\left\{{\begin{matrix}{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)\\{\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t)\end{matrix}}\right.

{\ Displaystyle \

din

stânga \ {{\ begin {matrix} {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t) \\ {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} { \ vec {u}} (t) \ end {matrix}} \ dreapta.}

{\ Displaystyle \ din stânga \ {{\ begin {matrix} {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t) \\ {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} { \ vec {u}} (t) \ end {matrix}} \ dreapta.}

in care $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ , $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ , $\mathbf {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ Și $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ Mathbf {D}$ Eu nu sunt funcție de timp, ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} \ în \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} \ în \ mathbb {R} ^ {n}}$ , ${\vec {u}}\in \mathbb {R} ^{q}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} \ în \ mathbb {R} ^ {q}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} \ în \ mathbb {R} ^ {q}}$ Și ${\vec {y}}\in \mathbb {R} ^{p}$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} \ în \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} \ în \ mathbb {R} ^ {p}}$ ; De asemenea, matricea $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ are dimensiune $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ , $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ are dimensiune $n\times q$ ${\ Displaystyle n \ ori q}$ ${\ Displaystyle n \ ori q}$ , $\mathbf {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ are dimensiune $p\times n$ ${\ P \ displaystyle ori n}$ $p \ ori n$ Și $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ Mathbf {D}$ are dimensiune $p\times q$ ${\ Displaystyle p \ ori q}$ ${\ Displaystyle p \ ori q}$ .

Solutia ecuației matricei

Dorind să rezolve ecuația precedentă, următoarele cazuri trebuie să se facă distincție:

$\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ admite numai valori proprii reale cu multiplicitate algebrică egală cu multiplicitatea geometrică pentru fiecare valoare proprie.
$\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ admite numai valori proprii complex conjugate .
$\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ admite ambele valori proprii reale și complexe conjugate.

valori proprii reale cu multiplicitate algebrică egal cu multiplicitatea geometrică

Luați în considerare transformarea coordonatei:

{\vec {x}}(t)=\mathbf {P} {\vec {z}}(t),

{\ Displaystyle {\ vec {x}} (t) = \ mathbf {P} {\ vec {z}} (t)}

{\ Displaystyle {\ vec {x}} (t) = \ mathbf {P} {\ vec {z}} (t)}

cu $\mathbf {P}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P}}$ $\ Mathbf {P}$ matrice dimensiune $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ Cui coloane sunt vectorii proprii ai $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ liniar independente generarea fiecărui eigenspace în raport cu fiecare eigenvalue și ${\vec {z}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {z}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {z}} (t)}$ vector de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Are asta ${\vec {z}}(t)=\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {z}} (t) = \ mathbf {P} ^ {- 1} {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {z}} (t) = \ mathbf {P} ^ {- 1} {\ vec {x}} (t)}$ , unde este $\mathbf {P} ^{-1}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {- 1}}$ Este matricea inversă a $\mathbf {P}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P}}$ $\ Mathbf {P}$ , in timp ce:

{\frac {d({\vec {z}}(t))}{dt}}=\mathbf {P} ^{-1}{\frac {d({\vec {x}}(t))}{dt}}=\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t))=\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} {\vec {z}}(t)+\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} {\vec {u}}(t).

{\ Displaystyle {\ frac {d ({\ vec {z}} (t))} {dt}} = \ mathbf {P} ^ {- 1} {\ frac {d ({\ vec {x}} ( t))} {dt}} = \ mathbf {P} ^ {- 1} (\ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t )) = \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} {\ vec {z}} (t) + \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} { \ vec {u}} (t).}

{\ Displaystyle {\ frac {d ({\ vec {z}} (t))} {dt}} = \ mathbf {P} ^ {- 1} {\ frac {d ({\ vec {x}} ( t))} {dt}} = \ mathbf {P} ^ {- 1} (\ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t )) = \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} {\ vec {z}} (t) + \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} { \ vec {u}} (t).}

Din teoria diagonalizare a matricelor avem că $\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} =\mathbf {\Lambda }$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} = \ mathbf {\ Lambda}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} = \ mathbf {\ Lambda}}$ , unde este $\mathbf {\Lambda }$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Lambda}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Lambda}}$ Este matricea diagonală unde diagonalei principale sunt autovalorile $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ repetate, în cele din urmă fiecare cu propria sa multiplicitate. Prin urmare, se obține următoarea ecuație diferențială matrice:

{\frac {d({\vec {z}}(t))}{dt}}=\mathbf {\Lambda } {\vec {z}}(t)+\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} {\vec {u}}(t).

{\ Displaystyle {\ frac {d ({\ vec {z}} (t))} {dt}} = \ mathbf {\ Lambda} {\ vec {z}} (t) + \ mathbf {P} ^ { -1} \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t).}

{\ Displaystyle {\ frac {d ({\ vec {z}} (t))} {dt}} = \ mathbf {\ Lambda} {\ vec {z}} (t) + \ mathbf {P} ^ { -1} \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t).}

În special, în cazul în care valorile proprii ale $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ acestea sunt reale și distincte pe matricea diagonală $\mathbf {\Lambda }$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Lambda}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Lambda}}$ vor exista $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ valori proprii distincte de $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ .

Multiply ambele părți ale ecuației pentru matricea exponențială $e^{-\mathbf {\Lambda } t}$ ${\ Displaystyle e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t}}$ ${\ Displaystyle e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t}}$ , Care are pe diagonala exponențială principală $e^{-\lambda _{i}t}$ ${\ Displaystyle e ^ {- \ lambda _ {i} t}}$ ${\ Displaystyle e ^ {- \ lambda _ {i} t}}$ (cu $\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$ valorile proprii $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ ), Avem următoarea ecuație diferențială:

{\frac {d}{dt}}(e^{-\mathbf {\Lambda } t}{\vec {z}}(t))=e^{-\mathbf {\Lambda } t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} {\vec {u}}(t).

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} (e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t} {\ vec {z}} (t)) = e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t)}.

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} (e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t} {\ vec {z}} (t)) = e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t)}.

Prin integrarea obținem, alegând ca primitivele cele care anulează în $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ și înmulțirea ecuației de $e^{\mathbf {\Lambda } t}$ ${\ Displaystyle e ^ {\ mathbf {\ Lambda} t}}$ ${\ Displaystyle e ^ {\ mathbf {\ Lambda} t}}$ :

{\vec {z}}(t)=e^{\mathbf {\Lambda } t}(\int e^{-\mathbf {\Lambda } t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} dt+{\vec {c}}).

{\ Displaystyle {\ vec {z}} (t) = e ^ {\ mathbf {\ Lambda} t} (\ int e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} dt + {\ vec {c}}).}

{\ Displaystyle {\ vec {z}} (t) = e ^ {\ mathbf {\ Lambda} t} (\ int e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} dt + {\ vec {c}}).}

Deci avem:

{\vec {x}}(t_{0})=\mathbf {P} {\vec {z}}(t_{0})=Pe^{\mathbf {\Lambda } t_{0}}{\vec {x}},

{\ Displaystyle {\ vec {x}} (T_ {0}) = \ mathbf {P} {\ vec {z}} (T_ {0}) = Pe ^ {\ mathbf {\ Lambda} T_ {0}} {\ vec {x}}}

{\ Displaystyle {\ vec {x}} (T_ {0}) = \ mathbf {P} {\ vec {z}} (T_ {0}) = Pe ^ {\ mathbf {\ Lambda} T_ {0}} {\ vec {x}}}

din care vectorul este derivat ${\vec {x}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ Vec {x}}$ . Prin urmare, soluția ecuației diferențiale de matrice este:

{\vec {x}}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0})+\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } t}\int _{t_{0}}^{t}e^{-\mathbf {\Lambda } \tau }\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau .

{\ Displaystyle {\ vec {x}} (t) = \ mathbf {P} e ^ {\ mathbf {\ Lambda} (t-T_ {0})} \ mathbf {P} ^ {- 1} {\ vec {x}} (T_ {0}) + \ mathbf {P} e ^ {\ mathbf {\ Lambda} t} \ int _ {T_ {0}} ^ {t} e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} \ tau} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} u (\ tau) d \ tau}.

{\vec {x}}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0})+\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } t}\int _{t_{0}}^{t}e^{-\mathbf {\Lambda } \tau }\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau .

Essendo $Pe^{\mathbf {\Lambda } t}$ $Pe^{\mathbf {\Lambda } t}$ $Pe^{\mathbf {\Lambda } t}$ costante rispetto a $\tau$ $\tau$ $\tau$ , si ottiene:

{\vec {x}}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau

{\vec {x}}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau

{\vec {x}}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau

Si nota che larisposta libera nello stato , ottenuta ponendo ${\vec {u}}(t)=0$ ${\vec {u}}(t)=0$ ${\vec {u}}(t)=0$ , è:

{\vec {x}}_{l}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0}),

{\vec {x}}_{l}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0}),

{\vec {x}}_{l}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0}),

cioè basta moltiplicare la matrice $\mathbf {P}$ $\mathbf {P}$ $\mathbf{P}$ degli autovettori di $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ , la matrice esponenziale $e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}$ $e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}$ $e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}$ , l'inversa di $\mathbf {P}$ $\mathbf {P}$ $\mathbf{P}$ ed il vettore di stato ${\vec {x}}(t_{0})$ ${\vec {x}}(t_{0})$ ${\vec {x}}(t_{0})$ .

La risposta forzata nello stato è invece ottenuta ponendo ${\vec {x}}(t_{0})=0$ ${\vec {x}}(t_{0})=0$ ${\vec {x}}(t_{0})=0$ , cioè:

{\vec {x}}_{f}(t)=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau .

{\vec {x}}_{f}(t)=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau .

{\vec {x}}_{f}(t)=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau .

Inoltre, la risposta libera nell'uscita per ${\vec {u}}(t)=0$ ${\vec {u}}(t)=0$ ${\vec {u}}(t)=0$ è:

{\vec {y}}_{l}(t)=\mathbf {C} Pe^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0}),

{\vec {y}}_{l}(t)=\mathbf {C} Pe^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0}),

{\vec {y}}_{l}(t)=\mathbf {C} Pe^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0}),

mentre la risposta forzata nell'uscita per ${\vec {x}}(t_{0})=0$ ${\vec {x}}(t_{0})=0$ ${\vec {x}}(t_{0})=0$ è:

y_{f}(t)=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {C} \mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau +\mathbf {D} {\vec {u}}(t).

y_{f}(t)=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {C} \mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau +\mathbf {D} {\vec {u}}(t).

y_{f}(t)=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {C} \mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau +\mathbf {D} {\vec {u}}(t).

Autovalori complessi coniugati

Volendo analizzare il caso in cui $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ ammette autovalori complessi coniugati, si supponga che essa sia una matrice di dimensione 2 e siano $\alpha +j\omega$ $\alpha +j\omega$ $\alpha +j\omega$ e $\alpha -j\omega$ $\alpha -j\omega$ $\alpha -j\omega$ i due autovalori complessi coniugati di $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ . Siano inoltre ${\vec {u}}_{a}+j{\vec {u}}_{b}$ ${\vec {u}}_{a}+j{\vec {u}}_{b}$ ${\vec {u}}_{a}+j{\vec {u}}_{b}$ e ${\vec {u}}_{a}-j{\vec {u}}_{b}$ ${\vec {u}}_{a}-j{\vec {u}}_{b}$ ${\vec {u}}_{a}-j{\vec {u}}_{b}$ i due autovettori complessi coniugati corrispondenti. Applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:

(\mathbf {A} -(\alpha +j\omega )\mathbf {I} )(({\vec {u}}_{a}+j{\vec {u}}_{b})={\vec {0}},

(\mathbf {A} -(\alpha +j\omega )\mathbf {I} )(({\vec {u}}_{a}+j{\vec {u}}_{b})={\vec {0}},

(\mathbf {A} -(\alpha +j\omega )\mathbf {I} )(({\vec {u}}_{a}+j{\vec {u}}_{b})={\vec {0}},

dove $\mathbf {I}$ $\mathbf {I}$ $\mathbf{I}$ è la matrice identica di dimensione 2. Si possono separare parte reale e parte immaginaria nella forma:

((\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{a}+\omega {\vec {u}}_{b})+j((\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{b}+\omega {\vec {u}}_{a}))={\vec {0}}.

((\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{a}+\omega {\vec {u}}_{b})+j((\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{b}+\omega {\vec {u}}_{a}))={\vec {0}}.

((\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{a}+\omega {\vec {u}}_{b})+j((\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{b}+\omega {\vec {u}}_{a}))={\vec {0}}.

Affinché l'equazione sia vera è necessario che parte reale e parte immaginaria si annullino entrambe, pertanto si ha il sistema:

(\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{a}+\omega {\vec {u}}_{b}={\vec {0}}\qquad (\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{b}+\omega {\vec {u}}_{a}={\vec {0}},

(\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{a}+\omega {\vec {u}}_{b}={\vec {0}}\qquad (\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{b}+\omega {\vec {u}}_{a}={\vec {0}},

(\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{a}+\omega {\vec {u}}_{b}={\vec {0}}\qquad (\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{b}+\omega {\vec {u}}_{a}={\vec {0}},

che può essere posto nella forma:

\mathbf {A} ({\vec {u}}_{a}{\vec {u}}_{b})=({\vec {u}}_{a}{\vec {u}}_{b})\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right).

\mathbf {A} ({\vec {u}}_{a}{\vec {u}}_{b})=({\vec {u}}_{a}{\vec {u}}_{b})\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right).

\mathbf {A} ({\vec {u}}_{a}{\vec {u}}_{b})=({\vec {u}}_{a}{\vec {u}}_{b})\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right).

Se si pone $\mathbf {T} ^{-1}$ $\mathbf {T} ^{-1}$ $\mathbf {T} ^{-1}$ uguale alla matrice le cui colonne sono la parte reale e immaginaria dei due autovettori complessi coniugati si ha che:

\mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {T} ^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right).

\mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {T} ^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right).

\mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {T} ^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right).

Ragionando come nel caso degli autovalori reali e distinti si ottiene:

{\frac {d({\vec {z}}(t))}{dt}}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right){\vec {z}}(t)+\mathbf {T} \mathbf {B} {\vec {u}}(t)

{\frac {d({\vec {z}}(t))}{dt}}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right){\vec {z}}(t)+\mathbf {T} \mathbf {B} {\vec {u}}(t)

{\frac {d({\vec {z}}(t))}{dt}}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right){\vec {z}}(t)+\mathbf {T} \mathbf {B} {\vec {u}}(t)

e quindi in tal caso la soluzione dell'equazione differenziale matriciale è:

{\vec {x}}(t)=\mathbf {T} ^{-1}e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {T} ^{-1}e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-\tau )}\mathbf {T} \mathbf {B} u(\tau )d\tau .

{\vec {x}}(t)=\mathbf {T} ^{-1}e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {T} ^{-1}e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-\tau )}\mathbf {T} \mathbf {B} u(\tau )d\tau .

{\vec {x}}(t)=\mathbf {T} ^{-1}e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {T} ^{-1}e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-\tau )}\mathbf {T} \mathbf {B} u(\tau )d\tau .

Sviluppando in serie di Taylor la matrice esponenziale :

e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}

e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}

e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}

per l' identità di Eulero si ha che:

e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}=e^{\alpha (t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-t_{0})&\sin \omega (t-t_{0})\\-\sin \omega (t-t_{0})&\cos \omega (t-t_{0})\end{array}}\right).

e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}=e^{\alpha (t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-t_{0})&\sin \omega (t-t_{0})\\-\sin \omega (t-t_{0})&\cos \omega (t-t_{0})\end{array}}\right).

e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}=e^{\alpha (t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-t_{0})&\sin \omega (t-t_{0})\\-\sin \omega (t-t_{0})&\cos \omega (t-t_{0})\end{array}}\right).

Per cui, sostituendo si ha:

{\vec {x}}(t)=\mathbf {T} ^{-1}e^{\alpha (t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-t_{0})&\sin \omega (t-t_{0})\\-\sin \omega (t-t_{0})&\cos \omega (t-t_{0})\end{array}}\right)\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0})+x_{f}(t).

{\vec {x}}(t)=\mathbf {T} ^{-1}e^{\alpha (t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-t_{0})&\sin \omega (t-t_{0})\\-\sin \omega (t-t_{0})&\cos \omega (t-t_{0})\end{array}}\right)\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0})+x_{f}(t).

{\vec {x}}(t)=\mathbf {T} ^{-1}e^{\alpha (t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-t_{0})&\sin \omega (t-t_{0})\\-\sin \omega (t-t_{0})&\cos \omega (t-t_{0})\end{array}}\right)\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0})+x_{f}(t).

Autovalori reali e complessi coniugati

Si supponga che la matrice $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ di ordine n ammetta $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ autovalori reali distinti $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}$ a cui corrispondono $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ autovettori distinti $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}.$ $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}.$ $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}.$ Allora si hanno le seguenti equazioni:

\mathbf {A} v_{1}=\lambda _{1}v_{1}\qquad Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}\quad \dots \quad \mathbf {A} v_{k}=\lambda _{k}v_{k}.

\mathbf {A} v_{1}=\lambda _{1}v_{1}\qquad Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}\quad \dots \quad \mathbf {A} v_{k}=\lambda _{k}v_{k}.

\mathbf {A} v_{1}=\lambda _{1}v_{1}\qquad Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}\quad \dots \quad \mathbf {A} v_{k}=\lambda _{k}v_{k}.

Supponendo inoltre che $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ ammetta $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ coppie di autovalori complessi coniugati la cui p-esima coppia è $\alpha _{p}+j\omega _{p}$ $\alpha _{p}+j\omega _{p}$ $\alpha _{p}+j\omega _{p}$ e $\alpha _{p}-j\omega _{p}$ $\alpha _{p}-j\omega _{p}$ $\alpha _{p}-j\omega _{p}$ , a cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati ${\vec {u}}_{a_{p}}+j{\vec {u}}_{b_{p}}$ ${\vec {u}}_{a_{p}}+j{\vec {u}}_{b_{p}}$ ${\vec {u}}_{a_{p}}+j{\vec {u}}_{b_{p}}$ e ${\vec {u}}_{a_{p}}-j{\vec {u}}_{b_{p}}$ ${\vec {u}}_{a_{p}}-j{\vec {u}}_{b_{p}}$ ${\vec {u}}_{a_{p}}-j{\vec {u}}_{b_{p}}$ , allora per quanto visto nel caso precedente si ha per la $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ -esima coppia:

\mathbf {A} ({\vec {u}}_{a_{p}}{\vec {u}}_{b_{p}})=({\vec {u}}_{a_{p}}{\vec {u}}_{b_{p}})\left({\begin{array}{cc}\alpha _{p}&\omega _{p}\\-\omega _{p}&\alpha _{p}\end{array}}\right)

\mathbf {A} ({\vec {u}}_{a_{p}}{\vec {u}}_{b_{p}})=({\vec {u}}_{a_{p}}{\vec {u}}_{b_{p}})\left({\begin{array}{cc}\alpha _{p}&\omega _{p}\\-\omega _{p}&\alpha _{p}\end{array}}\right)

\mathbf {A} ({\vec {u}}_{a_{p}}{\vec {u}}_{b_{p}})=({\vec {u}}_{a_{p}}{\vec {u}}_{b_{p}})\left({\begin{array}{cc}\alpha _{p}&\omega _{p}\\-\omega _{p}&\alpha _{p}\end{array}}\right)

Posto $\mathbf {T} ^{-1}$ $\mathbf {T} ^{-1}$ $\mathbf {T} ^{-1}$ uguale alla matrice le cui colonne sono i $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie delle $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ coppie di autovettori complessi coniugati, cioè:

\mathbf {T} ^{-1}=(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k},{\vec {u}}_{a_{1}},{\vec {u}}_{b_{1}},{\vec {u}}_{a_{2}},{\vec {u}}_{b_{2}},...,{\vec {u}}_{a_{p}},{\vec {u}}_{b_{p}})

\mathbf {T} ^{-1}=(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k},{\vec {u}}_{a_{1}},{\vec {u}}_{b_{1}},{\vec {u}}_{a_{2}},{\vec {u}}_{b_{2}},...,{\vec {u}}_{a_{p}},{\vec {u}}_{b_{p}})

\mathbf {T} ^{-1}=(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k},{\vec {u}}_{a_{1}},{\vec {u}}_{b_{1}},{\vec {u}}_{a_{2}},{\vec {u}}_{b_{2}},...,{\vec {u}}_{a_{p}},{\vec {u}}_{b_{p}})

allora dalle precedenti equazioni si ha la matrice diagonale a blocchi :

\mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {T} ^{-1}={\mbox{diag}}\left(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k},\left({\begin{array}{cc}\alpha _{1}&\omega _{1}\\-\omega _{1}&\alpha _{1}\end{array}}\right),...,\left({\begin{array}{cc}\alpha _{p}&\omega _{p}\\-\omega _{p}&\alpha _{p}\end{array}}\right)\right)

\mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {T} ^{-1}={\mbox{diag}}\left(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k},\left({\begin{array}{cc}\alpha _{1}&\omega _{1}\\-\omega _{1}&\alpha _{1}\end{array}}\right),...,\left({\begin{array}{cc}\alpha _{p}&\omega _{p}\\-\omega _{p}&\alpha _{p}\end{array}}\right)\right)

\mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {T} ^{-1}={\mbox{diag}}\left(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k},\left({\begin{array}{cc}\alpha _{1}&\omega _{1}\\-\omega _{1}&\alpha _{1}\end{array}}\right),...,\left({\begin{array}{cc}\alpha _{p}&\omega _{p}\\-\omega _{p}&\alpha _{p}\end{array}}\right)\right)

pertanto:

x_{l}(t)=\mathbf {T} ^{-1}{\mbox{diag}}\left(e^{\lambda _{1}(t-t_{0})},e^{\lambda _{2}(t-t_{0})},\ldots ,e^{\lambda _{k}(t-t_{0})},\ldots ,e^{\alpha _{p}(t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega _{p}(t-t_{0})&\sin \omega _{p}(t-t_{0})\\-\sin \omega _{p}(t-t_{0})&\cos \omega _{p}(t-t_{0})\end{array}}\right)\right)\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0}).

x_{l}(t)=\mathbf {T} ^{-1}{\mbox{diag}}\left(e^{\lambda _{1}(t-t_{0})},e^{\lambda _{2}(t-t_{0})},\ldots ,e^{\lambda _{k}(t-t_{0})},\ldots ,e^{\alpha _{p}(t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega _{p}(t-t_{0})&\sin \omega _{p}(t-t_{0})\\-\sin \omega _{p}(t-t_{0})&\cos \omega _{p}(t-t_{0})\end{array}}\right)\right)\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0}).

x_{l}(t)=\mathbf {T} ^{-1}{\mbox{diag}}\left(e^{\lambda _{1}(t-t_{0})},e^{\lambda _{2}(t-t_{0})},\ldots ,e^{\lambda _{k}(t-t_{0})},\ldots ,e^{\alpha _{p}(t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega _{p}(t-t_{0})&\sin \omega _{p}(t-t_{0})\\-\sin \omega _{p}(t-t_{0})&\cos \omega _{p}(t-t_{0})\end{array}}\right)\right)\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0}).

Proprietà dei sistemi LTI

Lo stato ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ di un sistema LTI può essere esplicitato in funzione dell'ingresso ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ applicando la trasformata di Laplace all' equazione differenziale che lo definisce:

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)

Da cui, trasformando e ipotizzando che $x(0^{-})=0$ $x(0^{-})=0$ $x(0^{-})=0$ , si ha:

s{\vec {X}}(s)=\mathbf {A} {\vec {X}}(s)+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

s{\vec {X}}(s)=\mathbf {A} {\vec {X}}(s)+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

s{\vec {X}}(s)=\mathbf {A} {\vec {X}}(s)+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

da cui:

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ){\vec {X}}(s)=\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ){\vec {X}}(s)=\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ){\vec {X}}(s)=\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

e quindi:

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

essendo ${\vec {X}}(s)$ ${\vec {X}}(s)$ ${\vec {X}}(s)$ e ${\vec {U}}(s)$ ${\vec {U}}(s)$ ${\vec {U}}(s)$ le trasformate di ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ e ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ , $I$ ${\displaystyle I}$ $I$ la matrice unità di dimensione $n\times n$ $n\times n$ $n \times n$ , e $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}$ $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}$ $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}$ la matrice inversa di $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )$ $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )$ $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )$ . Lo stato può essere ricavato antitrasformando:

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s).

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s).

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s).

Poiché l'uscita del sistema è data da ${\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t)$ ${\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t)$ ${\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t)$ , trasformando si ha:

{\vec {Y}}(s)=\mathbf {C} {\vec {X}}(s)+\mathbf {D} {\vec {U}}(s),

{\vec {Y}}(s)=\mathbf {C} {\vec {X}}(s)+\mathbf {D} {\vec {U}}(s),

{\vec {Y}}(s)=\mathbf {C} {\vec {X}}(s)+\mathbf {D} {\vec {U}}(s),

cioè:

{\vec {Y}}(s)=(\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} ){\vec {U}}(s)

{\vec {Y}}(s)=(\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} ){\vec {U}}(s)

{\vec {Y}}(s)=(\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} ){\vec {U}}(s)

La matrice $\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D}$ $\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D}$ $\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D}$ è la matrice di trasferimento o funzione di trasferimento del sistema.

Esempio

Nel caso del circuito elettrico lineare mostrato in figura il vettore di stato ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ è costituito dalla corrente $x_{1}$ $x_{1}$ $x_1$ che passa attraverso l'induttore di induttanza $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ e dalla tensione $x_{2}$ $x_{2}$ $x_2$ ai capi del condensatore di capacità $C_{1}$ $C_{1}$ $C_{1}$ , dove l'ingresso ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ è la tensione del generatore mentre il vettore delle uscite ${\vec {y}}(t)$ ${\vec {y}}(t)$ ${\vec {y}}(t)$ è dato, ad esempio, dalle correnti che passano attraverso il resistore di resistenza $R_{1}$ $R_{1}$ $R_{1}$ e resistore di resistenza $R_{2}$ $R_{2}$ $R_{2}$ . Applicando le equazioni costitutive dei bipoli nonché le equazioni topologiche o leggi di Kirchhoff si ha:

{\begin{array}{c}{\vec {u}}(t)=L{\frac {d(x_{1}(t))}{dt}}+R_{1}i_{2}(t)\\R_{1}i_{2}(t)=R_{2}C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}+x_{2}(t)\\i_{2}(t)=x_{1}(t)-C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}.\end{array}}

{\begin{array}{c}{\vec {u}}(t)=L{\frac {d(x_{1}(t))}{dt}}+R_{1}i_{2}(t)\\R_{1}i_{2}(t)=R_{2}C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}+x_{2}(t)\\i_{2}(t)=x_{1}(t)-C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}.\end{array}}

{\begin{array}{c}{\vec {u}}(t)=L{\frac {d(x_{1}(t))}{dt}}+R_{1}i_{2}(t)\\R_{1}i_{2}(t)=R_{2}C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}+x_{2}(t)\\i_{2}(t)=x_{1}(t)-C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}.\end{array}}

Pertanto, sostituendo l'ultima relazione nelle precedenti e ponendo:

{\vec {x}}(t)=\left({\begin{array}{c}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{array}}\right),

{\vec {x}}(t)=\left({\begin{array}{c}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{array}}\right),

{\vec {x}}(t)=\left({\begin{array}{c}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{array}}\right),

in tal caso si ha che:

\mathbf {A} =\left({\begin{array}{cc}{\frac {{-R}_{1}R_{2}}{L(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {{-R}_{1}}{L(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}\end{array}}\right)

\mathbf {A} =\left({\begin{array}{cc}{\frac {{-R}_{1}R_{2}}{L(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {{-R}_{1}}{L(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}\end{array}}\right)

\mathbf {A} =\left({\begin{array}{cc}{\frac {{-R}_{1}R_{2}}{L(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {{-R}_{1}}{L(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}\end{array}}\right)

{\vec {B}}=\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{L}}\\0\end{array}}\right)

{\vec {B}}=\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{L}}\\0\end{array}}\right)

{\vec {B}}=\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{L}}\\0\end{array}}\right)

\mathbf {C} =\left({\begin{array}{cc}{\frac {R_{2}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {1}{(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{(R_{1}+R_{2})}}\end{array}}\right)

\mathbf {C} =\left({\begin{array}{cc}{\frac {R_{2}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {1}{(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{(R_{1}+R_{2})}}\end{array}}\right)

\mathbf {C} =\left({\begin{array}{cc}{\frac {R_{2}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {1}{(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{(R_{1}+R_{2})}}\end{array}}\right)

{\vec {D}}=\left({\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right).

{\vec {D}}=\left({\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right).

{\vec {D}}=\left({\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right).

Si supponga per esempio di voler determinare l'andamento della seconda variabile di stato a partire da un dato istante $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ , ipotizzando che il valore iniziale della stessa fosse nullo e l'andamento dell'ingresso coincida con un impulso di Dirac centrato in $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ . Nel dominio di Laplace l'ingresso ha dunque valore identicamente unitario, quindi avremo:

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}\,U(s)=

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}\,U(s)=

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}\,U(s)=

=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}=

=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}=

=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}=

={\frac {1}{LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2}+(R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1}}}\left({\begin{array}{cc}sC_{1}R_{1}L+sC_{1}R_{2}L+L&-C_{1}R_{1}\\LR_{1}&LsC_{1}R_{1}+C_{1}R_{2}R_{1}+LsC_{1}R_{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{L}}\\0\end{array}}\right).

={\frac {1}{LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2}+(R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1}}}\left({\begin{array}{cc}sC_{1}R_{1}L+sC_{1}R_{2}L+L&-C_{1}R_{1}\\LR_{1}&LsC_{1}R_{1}+C_{1}R_{2}R_{1}+LsC_{1}R_{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{L}}\\0\end{array}}\right).

={\frac {1}{LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2}+(R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1}}}\left({\begin{array}{cc}sC_{1}R_{1}L+sC_{1}R_{2}L+L&-C_{1}R_{1}\\LR_{1}&LsC_{1}R_{1}+C_{1}R_{2}R_{1}+LsC_{1}R_{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{L}}\\0\end{array}}\right).

Pertanto:

X_{2}(s)={\frac {R_{1}}{(LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2})+((R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1})}}.

X_{2}(s)={\frac {R_{1}}{(LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2})+((R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1})}}.

X_{2}(s)={\frac {R_{1}}{(LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2})+((R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1})}}.

Antitrasformando per passare al dominio del tempo :

x_{2}(t)=R_{1}{\frac {e^{-s_{1}t}-e^{-s_{2}t}}{s_{2}-s_{1}}},\,t>t_{0}.

x_{2}(t)=R_{1}{\frac {e^{-s_{1}t}-e^{-s_{2}t}}{s_{2}-s_{1}}},\,t>t_{0}.

x_{2}(t)=R_{1}{\frac {e^{-s_{1}t}-e^{-s_{2}t}}{s_{2}-s_{1}}},\,t>t_{0}.

Dove:

s_{1}={\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}^{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}+C_{1}R_{1}R_{2}+L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}},

s_{1}={\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}^{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}+C_{1}R_{1}R_{2}+L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}},

s_{1}={\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}^{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}+C_{1}R_{1}R_{2}+L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}},

s_{2}=-{\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}-C_{1}R_{1}R_{2}-L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}}.

s_{2}=-{\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}-C_{1}R_{1}R_{2}-L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}}.

s_{2}=-{\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}-C_{1}R_{1}R_{2}-L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}}.

Dalla terza equazione topologico-costitutiva del modello matematico del sistema si ricava anche la prima variabile di stato:

x_{1}(t)=i_{2}(t)+C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}.

x_{1}(t)=i_{2}(t)+C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}.

x_{1}(t)=i_{2}(t)+C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}.

Stabilità

Di un sistema LTI possono essere studiati diversi tipi di stabilità , come la stabilità interna o quella esterna . Facendo riferimento ai sistemi causali, ovvero nei sistemi in cui le uscite non dipendono dai valori futuri degli ingressi, la funzione di trasferimento ha un polinomio a denominatore di grado non inferiore al grado del polinomio a numeratore. Se gli zeri dei denominatori, che sono i poli della funzione di trasferimento, appartengono al semipiano a parte reale positiva del piano complesso , il sistema è instabile e la risposta all'impulso tende ad un valore infinito al crescere del tempo.

Se invece i poli della funzione di trasferimento appartengono al semipiano a parte reale negativa del piano complesso , il sistema è asintoticamente stabile e la risposta impulsiva tende asintoticamente a zero al crescere del tempo. Se, infine, i poli della funzione di trasferimento appartengono alla retta verticale a parte reale nulla del piano complesso ed hanno molteplicità singola, il sistema è semplicemente stabile e la risposta all'impulso è maggiorata in valore assoluto da un certo valore al crescere del tempo.

Per determinare come variano le posizioni dei poli e degli zeri al variare di particolari parametri, che generalmente rappresentano i guadagni ed altre caratteristiche associate al compensatore dinamico che si vuole progettare per stabilizzare il sistema, si usano particolari grafici, quali ad esempio il diagramma di Bode , il diagramma di Nyquist e il luogo delle radici .

Raggiungibilità

Un sistema lineare tempo invariante è raggiungibile se per ogni stato iniziale $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ lo stato generico $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ è raggiungibile, cioè se per ogni stato iniziale $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ esiste un ingresso ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ che permette al sistema di raggiungere lo stato generico $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ .

Il criterio di Kalman stabilisce che un sistema LTI di dimensione $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ è completamente raggiungibile se e solo se:

\operatorname {rk} (\mathbf {R} )=\operatorname {rk} [{\begin{matrix}\mathbf {B} |\mathbf {A} B|\mathbf {A} ^{2}\mathbf {B} |\ldots |\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \\\end{matrix}}]=n,

\operatorname {rk} (\mathbf {R} )=\operatorname {rk} [{\begin{matrix}\mathbf {B} |\mathbf {A} B|\mathbf {A} ^{2}\mathbf {B} |\ldots |\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \\\end{matrix}}]=n,

\operatorname {rk} (\mathbf {R} )=\operatorname {rk} [{\begin{matrix}\mathbf {B} |\mathbf {A} B|\mathbf {A} ^{2}\mathbf {B} |\ldots |\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \\\end{matrix}}]=n,

dove $\operatorname {rk} (\mathbf {R} )$ $\operatorname {rk} (\mathbf {R} )$ $\operatorname {rk} (\mathbf {R} )$ indica il rango di $\mathbf {R}$ $\mathbf {R}$ ${\mathbf {R}}$ , che se è pari a $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ rende il determinante diverso da zero. Qualora risulti che $\operatorname {rk} (\mathbf {R} )=p<n$ $\operatorname {rk} (\mathbf {R} )=p<n$ $\operatorname {rk} (\mathbf {R} )=p<n$ allora vi sono autovalori raggiungibili, quindi modificabili (in numero pari a $n-p$ ${\displaystyle np}$ $n-p$ ) e autovalori non raggiungibili, detti autovalori fissi (in numero pari a $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ ). Il sistema si dice in tal caso non completamente raggiungibile.

Ad esempio, in un sistema con un ingresso ( $m=1$ ${\displaystyle m=1}$ $m=1$ ) ed una variabile di stato ( $n=1$ ${\displaystyle n=1}$ $n=1$ ) le matrici $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ e $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{B}$ si riducono a scalari e l'equazione di stato relativa è:

x'(t)=Ax(t)+Bu(t),

{\displaystyle x'(t)=Ax(t)+Bu(t),}

x'(t)=Ax(t)+Bu(t),

avendo indicato con $x'(t)$ ${\displaystyle x'(t)}$ $x'(t)$ la derivata prima di ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ rispetto al tempo. Anche la matrice di raggiungibilità (o matrice di Kalman ) è uno scalare $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ : se $b\neq 0$ $b\neq 0$ $b\neq 0$ il sistema è completamente raggiungibile poiché $\operatorname {rk} (R)=n$ $\operatorname {rk} (R)=n$ $\operatorname {rk} (R)=n$ , mentre se è nullo il sistema non è completamente raggiungibile e l'equazione di stato diventa:

x'(t)=Ax(t).

{\displaystyle x'(t)=Ax(t).}

x'(t)=Ax(t).

Un'equazione differenziale di questo tipo è un sistema autonomo .

Un sistema lineare tempo invariante è quindi raggiungibile quando tutti i suoi stati sono raggiungibili, ovvero quando la matrice di raggiungibilità ha rango massimo. Un modo per stabilirlo è il test di Popov-Belevitch-Hautus, anche detto PBH test di raggiungibilità, il quale stabilisce che il rango della matrice ottenuta affiancando la matrice degli ingressi sullo stato $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{B}$ alla matrice $s\mathbf {I}$ $s\mathbf {I}$ $s\mathbf {I}$ , a cui è sottratta la matrice della dinamica del sistema lineare $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ , deve essere pari al numero totale degli stati $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ al variare di $s$ ${\displaystyle s}$ $s$ :

rk[{\begin{matrix}s\mathbf {I} -\mathbf {A} |\mathbf {B} \\\end{matrix}}]=n\qquad \forall s\in \mathbb {C} .

rk[{\begin{matrix}s\mathbf {I} -\mathbf {A} |\mathbf {B} \\\end{matrix}}]=n\qquad \forall s\in \mathbb {C} .

rk[{\begin{matrix}s\mathbf {I} -\mathbf {A} |\mathbf {B} \\\end{matrix}}]=n\qquad \forall s\in \mathbb {C} .

Esso deriva dalla trasformata di Laplace dell'equazione:

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t),

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t),

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t),

cioè:

s{\vec {X}}(s)-vec{x}(0^{-})=\mathbf {A} {\vec {X}}(s)+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

s{\vec {X}}(s)-vec{x}(0^{-})=\mathbf {A} {\vec {X}}(s)+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

s{\vec {X}}(s)-vec{x}(0^{-})=\mathbf {A} {\vec {X}}(s)+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

da cui, essendo sempre possibile moltiplicare uno scalare per la matrice identità:

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ){\vec {X}}(s)=vec{x}(0^{-})+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ){\vec {X}}(s)=vec{x}(0^{-})+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ){\vec {X}}(s)=vec{x}(0^{-})+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

essendo ${\vec {X}}(s)$ ${\vec {X}}(s)$ ${\vec {X}}(s)$ e ${\vec {U}}(s)$ ${\vec {U}}(s)$ ${\vec {U}}(s)$ le trasformate di ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ e ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ . Lo stato del sistema, nel dominio di Laplace, è quindi definito come:

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}vec{x}(0^{-})+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s).

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}vec{x}(0^{-})+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s).

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}vec{x}(0^{-})+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s).

Stabilizzabilità

Un sistema lineare tempo invariante è stabilizzabile se esiste una matrice di retroazione dallo stato che rende asintoticamente stabile il sistema complessivo. Questo è possibile se e solo se:

Il sistema è completamente raggiungibile.
Il sistema non è completamente raggiungibile e gli autovalori non raggiungibili sono asintoticamente stabili.

Gli autovalori si dicono asintoticamente stabili se hanno parte reale negativa (nei sistemi a tempo continuo) o se hanno modulo minore di 1 (nei sistemi a tempo discreto). In particolare, la completa raggiungibilità di un sistema garantisce la stabilizzabilità in quanto il sottosistema non raggiungibile non esiste e quindi con la retroazione dallo stato è possibile allocare arbitrariamente gli autovalori della matrice $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ .

Osservabilità e rilevabilità

Un sistema si dice completamente osservabile se e solo se ogni stato non nullo genera un'uscita libera non identicamente nulla, ovvero quando la matrice di osservabilità ha rango massimo, ed in tal caso è verificato il PBH test di osservabilità. L'uscita di un sistema è somma del contributo dell'evoluzione libera, dipendente dallo stato iniziale, ed evoluzione forzata, dipendente unicamente dall'ingresso.

Un sistema LTI di dimensione $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ è completamente osservabile se e solo se:

rk(O)=rk{\begin{vmatrix}\mathbf {C} \\\mathbf {C} \mathbf {A} \\\mathbf {C} \mathbf {A} ^{2}\\...\mathbf {C} \mathbf {A} ^{n-1}\\\end{vmatrix}}=n

rk(O)=rk{\begin{vmatrix}\mathbf {C} \\\mathbf {C} \mathbf {A} \\\mathbf {C} \mathbf {A} ^{2}\\...\mathbf {C} \mathbf {A} ^{n-1}\\\end{vmatrix}}=n

rk(O)=rk{\begin{vmatrix}\mathbf {C} \\\mathbf {C} \mathbf {A} \\\mathbf {C} \mathbf {A} ^{2}\\...\mathbf {C} \mathbf {A} ^{n-1}\\\end{vmatrix}}=n

oppure se è soddisfatto il PBH test di osservabilità:

rk{\begin{vmatrix}s\mathbf {I} -\mathbf {A} \\\mathbf {C} \end{vmatrix}}=n\qquad \forall s\in \mathbb {C}

rk{\begin{vmatrix}s\mathbf {I} -\mathbf {A} \\\mathbf {C} \end{vmatrix}}=n\qquad \forall s\in \mathbb {C}

rk{\begin{vmatrix}s\mathbf {I} -\mathbf {A} \\\mathbf {C} \end{vmatrix}}=n\qquad \forall s\in \mathbb {C}

Se i test di osservabilità di cui sopra falliscono, non necessariamente non si può osservare il sistema. Con riferimento alla decomposizione di Kalman rispetto alla osservabilità, se gli autovalori della parte inosservabile $\mathbf {A} _{11}$ $\mathbf {A} _{11}$ $\mathbf {A} _{11}$ si trovano già in una parte del piano complesso delimitata da un'ascissa passante per $-a$ ${\displaystyle -a}$ $-a$ , detto $\mathbb {C} b$ $\mathbb {C} b$ $\mathbb {C} b$ , allora il sistema è detto $\mathbb {C} b$ $\mathbb {C} b$ $\mathbb {C} b$ rilevabile .

Risposta al gradino di Heaviside

Se $\sigma (t)$ $\sigma (t)$ $\sigma (t)$ è il gradino di Heaviside unitario di ingresso e $\mathbf {Z}$ $\mathbf {Z}$ ${\mathbf Z}$ è l'insieme delle operazioni che il sistema effettua su tale ingresso, si definisce la risposta unitaria :

g(t)=\mathbf {Z} \sigma (t)

g(t)=\mathbf {Z} \sigma (t)

g(t)=\mathbf {Z} \sigma (t)

Ricordando che la funzione delta di Dirac è la derivata del gradino di heaviside:

\delta (t)={\frac {d\sigma (t)}{dt}}

\delta (t)={\frac {d\sigma (t)}{dt}}

\delta (t)={\frac {d\sigma (t)}{dt}}

e che quindi la risposta impulsiva è legata alla risposta unitaria da:

h(t)=\mathbf {Z} \left({\frac {d\sigma (t)}{dt}}\right)=\left({\frac {d\mathbf {Z} \sigma (t)}{dt}}\right)={\frac {dg(t)}{dt}}

h(t)=\mathbf {Z} \left({\frac {d\sigma (t)}{dt}}\right)=\left({\frac {d\mathbf {Z} \sigma (t)}{dt}}\right)={\frac {dg(t)}{dt}}

h(t)=\mathbf {Z} \left({\frac {d\sigma (t)}{dt}}\right)=\left({\frac {d\mathbf {Z} \sigma (t)}{dt}}\right)={\frac {dg(t)}{dt}}

la risposta unitaria è data dall'integrale:

g(t)=\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau

g(t)=\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau

g(t)=\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau

Nella rappresentazione dinamica dei segnali ogni segnale deterministico può essere rappresentato mediante gradini di Heaviside:

{\vec {u}}_{in}(t)={\vec {u}}_{in}(0)\sigma (t)+\int _{-\infty }^{t}{\frac {d{\vec {u}}_{in}(t)}{d\tau }}\cdot \sigma (t-\tau )\cdot d\tau

{\vec {u}}_{in}(t)={\vec {u}}_{in}(0)\sigma (t)+\int _{-\infty }^{t}{\frac {d{\vec {u}}_{in}(t)}{d\tau }}\cdot \sigma (t-\tau )\cdot d\tau

{\vec {u}}_{in}(t)={\vec {u}}_{in}(0)\sigma (t)+\int _{-\infty }^{t}{\frac {d{\vec {u}}_{in}(t)}{d\tau }}\cdot \sigma (t-\tau )\cdot d\tau

allora la risposta ad un tale segnale rappresentato secondo la funzione di Heaviside è:

{\vec {u}}_{out}(t)={\vec {u}}_{in}(0)g(t)+\int _{-\infty }^{t}{\frac {d{\vec {u}}_{in}(t)}{d\tau }}\cdot g(t-\tau )\cdot d\tau

{\vec {u}}_{out}(t)={\vec {u}}_{in}(0)g(t)+\int _{-\infty }^{t}{\frac {d{\vec {u}}_{in}(t)}{d\tau }}\cdot g(t-\tau )\cdot d\tau

{\vec {u}}_{out}(t)={\vec {u}}_{in}(0)g(t)+\int _{-\infty }^{t}{\frac {d{\vec {u}}_{in}(t)}{d\tau }}\cdot g(t-\tau )\cdot d\tau

Dopo aver ottenuto la funzione di trasferimento del sistema tramite l'applicazione della trasformata di Laplace , applicare un ingresso a gradino corrisponde a moltiplicare la F. di T. per ${\frac {1}{s}}$ ${\frac {1}{s}}$ ${\frac {1}{s}}$

Bibliografia

( EN ) Phillips, Cl, Parr, JM, & Riskin, EA, Signals, systems and Transforms , Prentice Hall, 2007, ISBN 0-13-041207-4 .
( EN ) Hespanha,JP, Linear System Theory , Princeton university press, 2009, ISBN 0-691-14021-9 .
E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi , Edizioni Libreria Progetto, Padova , 2003.
A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni , Pitagora Editrice, Bologna , 1998.
OM Grasselli, Proprietà strutturali dei sistemi lineari e stazionari , Pitagora Editrice, Bologna, 1978.

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems – Short primer on the mathematical analysis of (electrical) LTI systems.
( EN ) ECE 209: Sources of Phase Shift – Gives an intuitive explanation of the source of phase shift in two common electrical LTI systems.
( EN ) JHU 520.214 Signals and Systems course notes . An encapsulated course on LTI system theory. Adequate for self teaching.

Controllo di autorità	LCCN ( EN ) sh85077184 · GND ( DE ) 4213494-8

Portale Controlli automatici : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Controlli automatici